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Echiquier (mathématiques). - On donne le nom d'échiquiers arithmétiques à des tableaux numériques, habituellement de forme carrée ou rectangulaire, présentant des cases analogues à celles d'un papier quadrillé. Dans chacune de ces cases est inscrit un nombre qui se forme d'après une loi déterminée. Ed. Lucas a montré le premier toute l'utilité de l'échiquier dans un grand nombre de recherches arithmétiques, soit pour simplifier des démonstrations de théorèmes connus, soit pour en découvrir de nouveaux, soit pour résoudre certains problèmes; il y a lieu surtout de citer sa théorie des permutations figurées. Plus tard, Delannoy imagina de faire varier la forme de l'échiquier; par la considération d'échiquiers triangulaires, pentagonaux, hexagonaux, il parvint à résoudre simplement des problèmes difficiles, et notamment des questions de probabilités. Citons seulement ici quelques exemples : 
1° sur un damier dont la largeur présente un nombre donné de cases et dont la longueur est indéfinie, par combien de chemins différents un pion qui ne recule jamais peut-il se rendre d'une case donnée à une autre?

2° problème sur la durée du jeu : Pierre et Paul jouent l'un contre l'autre à chances égales; en entrant au jeu, chacun d'eux possède n €, et, à chaque partie, le perdant donne 1 euro au gagnant. Le jeu se termine dès que l'un des joueurs est ruine. Quelle est la probabilité que le jeu se terminera après la µe partie? 

3° A et B jouent l'un contre l'autre, avec les probabilités respectives p et q, de sorte que p + q = 1; A possède a € et B possède b € en entrant au jeu; à chaque partie le perdant donne 1 € au gagnant. Quelle est la probabilité que A ruinera B avant la µe partie? 


Ces questions ont été étudiées par des mathématiciens de grande valeur, parmi lesquels nous pouvons citer Huyghens, Moivre, Laplace, Lagrange, Ampère, Bertrand, Bouché, Hermann Laurent, et conduisent, par les méthodes ordinaires, à des formules extrêmement compliquées, parfois illusoires. L'échiquier, au contraire, donne des solutions presque immédiates et relativement simples.

L'un des exemples les plus simples d'échiquiers arithmétiques est fourni par la table de Pythagore; le triangle arithmétique de Pascal, le carré arithmétique de Fermat sont aussi des échiquiers arithmétiques. Les questions de cette nature tiennent de près à la géométrie des quinconces ou des tissus. Il y a lieu de mentionner aussi l'échiquier anallagmatique de Sylvester; c'est un carré formé de cases noires et blanches, de telle sorte que, pour deux lignes on deux colonnes quelconques, le nombre total des variations de couleur soit toujours égal au nombre des permanences. Ed. Lucas a fait remarquer l'analogie qui existe entre l'échiquier anallagmatique et les formules qui donnent la décomposition du produit de sommes de 2n carrés. D'un échiquier anallagmatique on peut déduire un grand nombre d'autres : 

1 ° par la permutation des colonnes et des lignes; 

2° par le changement des couleurs des cases d'une ligne ou d'une colonne quelconque. (A. Laisant).

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