On désigne ordinairement un angle, soit par la lettre placée au sommet, soit par trois lettres appartenant à ses côtés, en plaçant au milieu la lettre qui appartient au sommet; mais cette notation est insuffisante pour définir l'angle avec précision.  Considérons une droite limitée en O et indéfinie dans un sens; faisons la tourner dans un plan à partir d'une position fixe OA, et toujours dans le même sens, elle engendrera des portions de plans successives qui seront des angles; elle pourra repasser par sa position initiale OA et continuer à tourner; elle engendrera ainsi le plan une fois, deux fois, etc.; pour définir un angle avec précision, il convient de dire de quelle façon il a été engendré et si le côté mobile qui l'a engendré a recouvert tout le plan 0 fois, 1 fois, 2 fois, etc. 

Deux angles sont dits égaux  : 

1° quand on peut faire coïncider leurs côtés; 

2° quand ils sont engendrés par un côté mobile qui a décrit le plan le même nombre de fois et la mince portion du plan.

Angles adjacents. On appelle angles adjacents ceux qui ont même sommet et un côté commun.

Angles opposés par le sommet. Deux angles sont opposés par le sommet quand ils ont même sommet et que les côtés de l'un sont les prolongements des côtés de l'autre.

Angle droit. Lorsqu'une droite en rencontre une autre, de manière à former avec elle des angles adjacents égaux, ces angles portent le nom d'angles droits, et les droites sont dites perpendiculaires.

Angles obtus-aigus. Un angle aigu est un angle moindre qu'un droit, un angle obtus est un angle compris entre un droit et deux droits.

Angles complémentaires, supplémentaires. Deux angles sont complémentaires quand leur somme fait un droit; deux angles sont supplémentaires quand leur somme fait deux droits.

Angle de parallélisme. On appelle géométrie non-euclidienne une géométrie démontrée sans le secours du postulatum d'Euclide. Dans cette manière d'envisager la théorie de l'espace, on admet que par un point P on peut mener une infinité de droites ne rencontrant pas une droite donnée D, quoique situées dans un même plan avec elle; toutes ces droites sont contenues dans un angle dont les côtés sont dits parallèles à la droite D et marquent la limite des droites qui, passant par le point P, rencontrent ou ne rencontrent pas D. L'angle de ces parallèles est ce que l'on appelle l'angle de parallélisme relatif au point P. Admettre que l'angle du parallélisme est nul, c'est admettre le postulatum d'Euclide.

Angle au centre. On appelle angle au centre un angle qui a son sommet au centre d'une circonférence. L'angle au centre plus grand ou plus petit que quatre droits a pour mesure l'arc plus grand ou plus petit qu'une circonférence comprise entre ses côtés. Cette proposition sert de base à la théorie des instruments qui servent à mesurer les angles.

Angles inscrits. On appelle angle inscrit un angle qui a son sommet sur une circonférence. L'angle inscrit a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés lorsque l'on mesure l'angle au centre à l'aide de l'arc compris entre ses côtés.

Angle dièdre. On appelle angle dièdre la portion de l'espace comprise entre deux plans qui se coupent et qui, limités dans un sens par leur intersection, sont indéfinis dans l'autre sens. Des considérations analogues à celles que nous avons développées plus haut permettent de considérer un angle dièdre comme une quantité-mesurable. L'arête d'un dièdre est l'intersection des plans qui lui servent de limites, ces plans eux-mêmes sont ses faces.

Angle dièdre droit. C'est l'angle formé par deux plans perpendiculaires, c. -à-d. se rencontrant de manière à former deux angles adjacents égaux.

Angle plan. On appelle angle plan d'un dièdre l'angle formé par deux perpendiculaires à l'arête menées par un même point de cette arête dans chacune des faces. Un angle dièdre quelconque a pour mesure l'angle plan qui lui correspond.

Angle solide ou polyèdre. On appelle angle solide la portion de l'espace comprise entre plus de deux plans passant par un même point et limités à leurs intersections successives. Ces intersections sont ce que l'on appelle les arêtes de l'angle solide. Le point commun à tous ces plans, qui est aussi un point par lequel passent les arêtes, est le sommet de l'angle polyèdre ; les portions de plans qui forment l'angle polyèdre limité aux arêtes sont ce que l'on appelle les faces de ce polyèdre. Les dièdres formés par les faces sont les dièdres de l'angle solide.

Angle trièdre. Un angle trièdre est un angle solide à trois faces.

Angles trièdres supplémentaires. On appelle ainsi deux angles trièdres qui sont tels que les arêtes de l'un sont perpendiculaires aux faces de l'autre; on démontre que si les arêtes d'un trièdre T sont perpendiculaires aux faces d'un autre trièdre T', les arêtes de T' sont perpendiculaires aux faces de T. De plus, les dièdres de T sont les suppléments des faces de T', les dièdres de T' sont aussi les suppléments des faces de T.

Angle trièdre trirectangle. C'est un trièdre dont les dièdres sont droits et dont les faces sont des angles droits.

Angle sous lequel on voit une droite (ou, correctement dit, un segment de droite). Soit O un point, AB un segment de droite, l'angle AOB est l'angle sous lequel on voit le segment AB du point O.

Angle sous lequel on voit un cercle. C'est l'angle des tangentes menées de ce point au cercle.

Angle de deux droites quelconques. C'est l'angle de deux droites menées par un point O parallèlement à ces droites.

Angle de deux courbes ou de deux surfaces. On appelle angle de deux courbes en un point M commun à ces courbes, l'angle des tangentes en M à ces courbes. On appelle angle de deux surfaces en un point M commun à ces deux surfaces, l'angle dièdre des plans tangents en M à ces surfaces.

Angle de contingence. On appelle angle de contingence d'une courbe en un point M, l'angle infiniment petit formé par la tangente en M et la tangente au point infiniment voisin.

Astronomie et géodésie. - La mesure des angles est un des principaux objets de l'astronomie de position et de la géodésie. Les astronomes mesurent les distances zénitales méridiennes ou extra méridiennes des astres et les géodésiens déterminent les angles des triangles qu'ils tracent à la surface de la Terre. Les opérations des géodésiens s'effectuent donc dans un plan voisin du plan de l'horizon, c. -à-d. dans des conditions d'observation défavorables. Les rayons lumineux rasent parfois le sol d'assez près, lorsque, sur le passage de la triangulation, la région ne présente point d'élévation susceptible de devenir un centre de station. Souvent encore, le rayon lumineux rase le sommet d'un plateau interposé entre deux stations. Dans ce cas, les valeurs observées pour un même angle présentent des écarts anormaux.