C'est la double marche suivie dans les sciences mathématiques. Pour le géomètre, l'analyse consiste à chercher la valeur d'une inconnue par ses caractères essentiels, avec le seul secours du calcul et de la transformation des formules. Ainsi, étant donné ce problème : inscrire un carré dans un triangle, on trouve par l'analyse que le côté du carré est une quatrième proportionnelle à trois lignes connues : au contraire, la synthèse met d'abord en avant la proposition elle-même, puis elle la démontre par la construction et l'examen d'une figure. Au problème proposé elle répond : le côté du carré inscrit est une quatrième proportionnelle à la somme de la base et de la hauteur du triangle, donné à sa base et à sa hauteur.

L'analyse et la synthèse, considérées comme méthodes, sont toutes deux naturelles; loin de s'exclure, elles se prêtent un mutuel appui; elles sont l'une pour l'autre un moyen de vérification et de preuve. Dans les sciences d'observation et d'expérimentation, ces deux procédés ne sont ne les deux parties d'une seule et même méthode : l'analyse donne pour résultats les matériaux d'une science; la synthèse est nécessaire pour arriver à une science réelle et complète; la synthèse seule ne donne qu'une hypothèse sans valeur scientifique. La première ne donne que des faits isolés; la seconde les réunit par les rapports qui leur sont communs, et la méthode donne ainsi à l'esprit un, tout connu dans ses parties et dans son ensemble. (R.).