Gnomonique. - La gnomonique est l'art de construire des cadrans solaires ou même des cadrans lunaires destinés à fournir l'heure au moyen de l'ombre d'une tige (appelée style) parallèle à l'axe terrestre sur une surface donnée. La différence essentielle entre le gnomon et le cadran solaire tient précisément à cette obliquité du style sur le plan de l'horizon. 

Le gnomon. -Cet iInstrument  était destiné à la détermination des hauteurs du Soleil et de la Luneau-dessus de l'horizon. Le gnomon des anciens se composait d'une tige verticale de longueur connue dressée sur un plan horizontal. On mesurait la longueur de l'ombre projetée par la tige, et, par une construction graphique, on déduisait la valeur de l'angle formé par le rayon lumineux avec le plan de l'horizon. Il est bien clair, d'ailleurs, que le rapport de la longueur du style à celle de l'ombre donne la tangente de l'angle cherché. Il convient de remarquer, tout d'abord, que le résultat obtenu était entaché d'une erreur égale au demi-diamètre de l'astre, car l'ombre mesurée se rapporte au bord supérieur de l'astre et non pas à son centre. 

La figure ci-dessous montre cet inconvénient sans qu'il soit besoin d'entrer dans aucune explication. Cette source d'erreur paraît avoir été connue de bonne heure; aussi, dans le but d'y remédier, donna-t-on au gnomon la forme d'un obélisque surmonté d'une boule. La longueur de l'ombre, prise depuis le centre de l'ombre de la boule jusqu'au pied de l'obélisque, se rapportait très sensiblement au centre de l'astre. Donc, pas de rectification à opérer. 

On trouve cette disposition sur des médailles de l'époque de Philippe de Macédoine. Enfin, le gnomon permettait de déterminer assez exactement la direction de la ligne méridienne et, par suite, de la tracer sur le sol à partir du pied du style. Il suffisait pour cela de mesurer dans la même journée deux ombres d'égale longueur, circonstance qui se produit lorsque le Soleil occupe des positions symétriques par rapport au méridien. Cette méthode est d'une application plus rigoureuse, à l'époque des solstices, parce qu'à cet instant de l'année la variation de la déclinaison du Soleil est très faible (L'Année et les saisons). Ayant ainsi repéré, une fois pour toutes, la direction de la méridienne sur le sol, on pouvait prendre chaque jour la hauteur du Soleil en mesurant la longueur de l'ombre au moment où la pointe du style se projetait sur la ligne méridienne. 

Ératosthène construisit une sorte de gnomon connu sous le nom de scaphé, composé d'un style vertical dressé au fond d'une calotte sphérique creuse, de telle manière que la pointe coïncidait avec le centre de la sphère. L'ombre du style se projetait donc intérieurement sur la calotte sphérique; un cercle divisé d'égal diamètre s'appliquait à l'intérieur et donnait immédiatement l'angle formé par le rayon lumineux avec l'horizontale. On voit que cet appareil, s'il était d'un usage plus commode, comportait l'erreur d'un demi-diamètre signalée plus haut. La tradition a conservé le souvenir de gnomons de grande dimension. L'un fut établi à Rome à l'époque d'Auguste, dans le Champ de Mars, en utilisant dans ce but un obélisque de 105 pieds de hauteur rapporté d'Égypte; un autre de 165 pieds fut installé à Samarcande vers 1430.

Les savants du XVIIe et même du XVIIIe siècle remirent les gnomons en honneur, en les perfectionnant toutefois. Ils ne cherchèrent plus à mesurer l'ombre projetée par un style, mais, au contraire, ils déduisaient la hauteur du Soleil de la position de son image obtenue en laissant passer les rayons lumineux au travers d'une petite ouverture circulaire percée dans un mur élevé, à l'intérieur d'un édifice. Il est bien entendu que la distance de l'image était comptée depuis la projection sur le sol du centre de l'ouverture. On utilisait plus spécialement dans ce but les églises. Citons parmi les plus célèbres : le gnomon de l'église Santa Petrona à Bologne, installé par Cassini en 1655, dans lequel l'ouverture était située à 71 pieds au-dessus du sol; celui de l'église des Chartreux de Rome, réglé par Bianchini; celui de l'église Saint-Sulpice de Paris, organisé par Le Monnier; enfin, celui installé à l'observatoire de Paris en 1732, dans la grande salle du deuxième étage, par Cassini Il. Les cadrans du XVIIe et  du XVIIIe siècle, bien que beaucoup plus précis que ceux des anciens, puisqu'ils pouvaient donner à l'époque de leur installation les hauteurs méridiennes avec une approximation de 20" d'arc et les passages à 1 seconde de temps près, n'offrent guère qu'un intérêt historique, car depuis bien longtemps les instruments d'observation ont acquis une précision telle qu'il ne saurait être question d'utiliser les observations gnomoniques toujours douteuses, par suite des effets de tassement du sol ou des murs, postérieurs au tracé de la méridienne.

Ce qui fait que le gnomon ne peut servir, commodément au moins, à la détermination de l'heure, c'est que la variation incessante de la déclinaison du Soleil a pour effet de changer chaque jour la direction et la longueur de l'ombre du style sur le plan de l'horizon lorsque le Soleil traverse les mêmes plans horaires, c.-à-d. pour les mêmes intervalles de temps égaux avant ou après le passage au méridien aux différents jours de l'année. En effet, si z est la distance zénithale (Le repérage des astres) à un instant donné, AH l'angle horaire correspondant, A l'azimut de l'astre, D sa distance polaire, L la colatitude, la formule fondamentale (ci-dessous)  montre que pour des valeurs égales à AH, z varie si D varie :

Enfin, la formule suivante fait également voir que pour des valeurs égales de AH, A est différent si D n'est pas constant, comme il arrive au cours de l'année : :

On conçoit toute l'importance du rôle que jouaient les cadrans solaires dans la vie des anciens, puisque c'était pour eux le moyen le plus exact de connaître l'heure. Ils ne pouvaient le suppléer que par l'emploi des clepsydres.

L'histoire des cadrans solaires - D'après Hérodote (§ 109, livre II), l'usage des cadrans solaires s'introduisit de Babylone en Grèce. Il écrit en effet :

" A l'égard du pôle, du cadran solaire et de la division du jour en douze parties, les Grecs les tiennent des Babyloniens ". 

Suidas et Diogène Laërce en attribuent, il est vrai, l'invention à Anaximandre qui vivait environ 550 ans av. J.-C.  Ajoutons que l'on trouve également dans l'Ancien Testament une mention  au "cadran du roi Achaz", qui laisse voir que cet instrument était déjà en usage chez les Juifs au VIIIe siècle avant notre ère. Il est aussi possible qu'il était connu des Égyptiens, bien que les auteurs n'en fassent pas mention. Quoi qu'il en soit. leur usage était déjà commun chez les Grecs au temps d'Eudoxe de Cnide (370 av. J.-C), mais il ne le devint que beaucoup plus tard chez les Romains, qui donnèrent au cadran solaire les noms de solarium et de sciothericum horologium. 

Le premier qui parut à Rome y fut apporté, suivant plusieurs auteurs, par L. Papirius Cursor, (293 av. J.-C) qui le plaça devant le temple de Quirinus, et, suivant d'autres, par Marcus Val. Messala (vers l'an 252), qui le fit établir sur une colonne élevée devant les rostres. Mais comme ce cadran avait été pris aux habitants de Catane et construit pour cette ville, dont la latitude diffère de celle de Rome de 4,5° environ, Il ne pouvait donner à Rome que des indications fort peu exactes. Enfin, vers l'an 163 avant notre ère, le censeur P. Marcius Philippus le remplaça par un autre qui avait été établi pour le méridien du lieu. Toutefois, comme les cadrans solaires ne pouvaient servir quand le temps était couvert, le censeur Publius Scipion Nasica fit construire, en l'an 159 av. J.-C., une clepsydre publique qui donnait l'heure en tout temps, et aussi bien le jour que la nuit, et à laquelle l'habitude fit néanmoins appliquer la dénomination de solarium.

A partir de ce moment, les cadrans solaires se multiplièrent à Rome. On en établit sur le plupart des places publiques. On se mit même sur la façade des temples et des basiliques. Tous les citoyens riches en avaient dans leurs villas; aussi les fouilles pratiquées dans les temps modernes ont-elles fait découvrir un assez grand nombre de cadrans solaires de diverses formes. On trouve dans Vitruve la description de la plupart des cadrans solaires usités de son temps, mais il ne donne pas la théorie de leur construction. Cette théorie paraît même n'avoir revêtu un caractère scientifique qu'au siècle suivant, entre les mains des astronomes de l'école d'Alexandrie, dont les principes furent recueillis, pour la première fois au Moyen Âge, par Bède le Vénérable. 

Parmi les modernes, le jésuiteClavius, qui vivait au XVIe siècle, est le premier qui ait écrit un traité complet de gnomonique. Le sujet a encore exercé la sagacité des divers savants de la fin du XVIIe et même du XVIIIe siècle : Dechales et Ozanam, Wolf, Picard, La Hire (1683), Welperus (1625), Sébastien Munster (1651), Sturmius (1672), Rivard (1741), Deparcieux (1741), dom Bedos, etc., ont publié depuis des travaux du même genre.

Cadrans équinoxiaux.
Dans cette première espèce, un limbe gradué de 15° en 15° sur la face supérieure et sur sa face inférieure est maintenu par un support, parallèlement au plan de l'équateur. Le style parallèle à la ligne des pôles est perpendiculaire au limbe et passe par son centre. L'ombre du style est délimitée par deux plans qui lui sont tangents, ainsi qu'au globe solaire; par conséquent, la pointe du style correspondra au centre du Soleil. Or, le Soleil décrit en un jour dans l'espace un cercle dont le centre est sur la ligne des pôles, c.-à-d. sur l'axe da style prolongé. Le plan du limbe sera donc une section droite du cylindre sur lequel le Soleil est censé se mouvoir, et, comme la vitesse angulaire est constante, la trace des plans horaires sur le plan du limbe, c.-à-d. les rayons aboutissant à l'ombre de la pointe du style décriront des angles de 15° par heure. En partageant en soixante parties égales l'intervalle de chaque division, on obtiendra les points correspondant aux minutes. La division du cercle devra avoir pour origine la trace du méridien sur le plan du limbe; enfin, la numérotation devra être inverse sur la partie occidentale du limbe à partir du méridien, c.-à-d. porter 11 heures, 10 heures, 9 heures, etc. Enfin, on remarquera que la partie supérieure du limbe servira pendant six mois, de l'équinoxe du printemps à l'équinoxe d'automne, parce que, pendant cette période, le Soleil se maintient dans l'hémisphère Nord, tandis que la partie inférieure du limbe servira de l'équinoxe d'automne à l'équinoxe du printemps, parce que, pendant cette partie de l'année le Soleil se meut dans l'hémisphère Sud. Il convient d'ajouter que l'heure indiquée par tous les cadrans solaires est l'heure vraie locale (Les jours et les nuits) et que, pour en déduire l'heure moyenne locale, il faut d'abord corriger l'heure observée de l'équation du temps, puis enfin de la différence de longitude exprimée en temps, pour ramener cette heure moyenne locale en heure civile ou légale.

Cadrans solaires horizontaux. 
Soit C le point où le style parallèle à la ligne des pôles perce le plan horizontal; il suffira évidemment de construire les traces sur ce plan des différents plans horaires du Soleil. Imaginons donc qu'un plan parallèle à l'équateur coupe ce plan horizontal. L'intersection sera une droite XY perpendiculaire à la trace NS (Nord-Sud) du méridien. Si l'on peut connaître les intersections des plans horaires avec XY, le problème sera résolu puisque l'on n'aura plus qu'à joindre ces intersections à C, pour avoir les lignes d'ombre correspondantes sur le plan horizontal.

fig. 1 - Cadran solaire horizontal.

Déterminons donc le point A où le style perce le plan équatorial considéré, puis nous rabattrons ce plan sur le plan horizontal : A se rabattra sur NS en A₁ à une distance A₁B, telles que A₁B = AB dans l'espace. On tracera alors en A₁ une série de droites faisant à partir de A₁C des angles 15°, 30°, 45°, 60°, etc. En prolongeant ces droites jusqu'à XY, on aura les points d'intersections cherchés; on les joindra à C et l'on aura les lignes d'ombre que l'on numérotera I, Il,  III, IV à l'est du méridien et XI, X, IX, etc., à l'ouest. La détermination de la distance AB est très simple, car le triangle de l'espace ABC est rectangle en A et l'on connaît l'hypoténuse BC ainsi qu'un angle aigu, l'angle ACB qui est égal à la latitude du lieu. D'où la règle pratique : mener une perpendiculaire XY à la méridienne du pied du style, par un point quelconque B de CA₁; décrire une demi-circonférence sur BC ; faire en C avec CB un angle BCA₂ égal à la latitude; joindre BA₂; prendre BA₁ = BA₂ sur le prolongement, de BC; tracer autour du point A₁ une série de droites faisant entre elles, à partir de BA₁ des angles de 15°; prolonger ces droites jusqu'à la rencontre de XY en m, n, p, q, r, m', n', p', q', r'; joindre ces points à C ; les lignes obtenues sont les lignes d'ombre; on les renferme habituellement dans un cadre rectangulaire.

Cadrans solaires verticaux.
Si l'on dispose d'un mur vertical, exactement orienté perpendiculairement au méridien, la même construction donnera les lignes d'ombre, avec la seule différence qu'il faudra faire au point O, où le style perce le plan vertical, un angle BOA'₂ égal à 90° - latitude. La figure ci-dessous dispensera d'entrer dans de plus longs détails, car le raisonnement est identique, lorsque l'on a rabattu le point A en A'₁. Mais il est assez rare que l'on ait à sa disposition un mur exactement orienté Est-Ouest faisant face au Sud; de telle sorte qu'il convient d'indiquer une méthode qui convienne à un mur orienté d'une façon quelconque, c.-à-d., suivant une vieille expression, un mur déclinant.

fig. 2 - Cadran solaire vertical
face au Sud.

Soit donc OB la verticale passant par le pied du style sur le mur (fig. 3) : ce sera précisément la trace du méridien sur ce mur. Soit HH' l'intersection de ce mur avec le plan horizontal du point B; enfin, considérons le plan équatorial passant par le point B; il coupe le plan du mur suivant XY. Nous allons encore chercher les intersections de XY avec les traces des plans horaires sur ce plan équatorial. Appelons A la trace du style sur le plan équatorial; abaissons AQ perpendiculairement sur le plan du mur. Le triangle ABQ sera rectangle en Q : c'est ce triangle qu'il faudra rabattre sur le plan du mur. Remarquons de suite que le triangle rectangle méridien OCB peut être rabattu en OBC₁ puisque nous connaissons OB et l'angle COB = 90 - latitude. Enfin BA étant perpendiculaire à OC sera obtenu en vraie grandeur en abaissant BA₁ perpendiculaire sur OC₁. Soit BZ, la trace du méridien sur le plan de l'horizon, définie par l'azimut du plan du mur. Cet azimut est supposé connu; c'est l'angle du plan du mur avec, le méridien (angle reporté sur la figure en vraie grandeur en BMZ). La trace du style sur le plan horizontal sera en C sur BZ, il suffira de prendre BC = BC₁; abaissons CP perpendiculaire sur HH'; joignons OP, ce sera la projection de OC sur le mur; par suite, en menant XY perpendiculaire à OP, on aura la trace du plan équatorial sur le plan du mur, car le plan OAQ est perpendiculaire au plan équatorial puisqu'il contient la droite AO perpendiculaire à ce plan par hypothèse de plus, OAQ est perpendiculaire au plan du mur puisqu'il contient AQ perpendiculaire à et plan; donc, l'intersection BQ du plan équatorial et du plan du mur est perpendiculaire au plan OAQ, c.-à-d. à OP. Rabattons maintenant le plan équatorial sur le plan du mur : le triangle rectangle ABQ, rectangle en Q, se placera de telle sorte que A tombe en A₂ à une distance A₂B = A₁B. Le rabattement de la ligne méridienne sera évidemment A₂B. On mènera donc autour de A₂ une série de lignes faisant des angles de 15°, 30°, 45° avec A₂B jusqu'à la rencontre de XY ; on joindra les points d'intersection à O et l'on obtiendra les lignes d'ombre.

On voit que ce cadran ne donnera qu'une partie des heures de la journée, suivant la direction du mur. La petite figure de l'espace, jointe au tracé géométrique, aidera beaucoup à l'intelligence de la méthode.

fig. 3 - Cadran solaire déclinant.

Cadrans solaires déclinants et inclinés.
Les cadrans déclinants sont ceux qui sont tracés sur un plan oblique tombant entre le zénith et le pôle et coupant l'horizon suivant la ligne Est-Ouest; si le plan oblique tombe entre le zénith et l'horizon S, le cadran est dit incliné. Parmi les premiers, il convient de mentionner particulièrement les cadrans polaires, c.-à-d. ceux dont la surface est parallèle à la ligne des pôles (Axe du monde). On construira très aisément ce cadran en rabattant le plan perpendiculaire à la ligne des pôles passant par la pointe du style. Celui-ci coupe la surface suivant une droite XY parallèle à la ligne EO et le point A se rabat en A₁ à une distance OA₁ = d, d étant la distance de la pointe au plan. Il suffira de mener en A₁ de chaque côté de A la série des droites formant les angles de 45°, 30°, 45°, 60°, 90° avec A; les points de rencontre avec XY seront des points des lignes d'ombre, et, comme ces lignes seront des parallèles à la ligne des pôles, c.-à-d. à NS, il suffira de mener une série de parallèles à NS.

fig. 4.

Il faut remarquer qu'un tel cadran ne peut servir que de 6 heures du matin à 6 heures du soir, car l'angle horaire de 90° ou 6 heures contiendra un quart du parallèle céleste décrit par le Soleil en 24 heures. L'Instrument. pour être complet, devra donc être constitué par une plaque (habituellement métallique) présentant en dessous des lignes d'ombre identiquement placées; seulement les lignes correspondant à 7 heures et 8 heures du matin sur le cadran supérieur seront cette fois 7 et 8 heures du soir et les lignes 4 heures et 5 heures du soir sur le cadran supérieur seront 4 heures et 5 heures du matin. Il suffit évidemment de tracer ces deux lignes puisque, avant 4 et après 8 heures, le Soleil est caché en toute saison, au moins aux latitudes moyennes.

Nous ne donnerons pas ici la théorie et la construction des cadrans inclinés et déclinants parce qu'ils sont vraiment d'un usage trop rare, non plus que des cadrans déinclinés, c.-à-d. tracés sur une surface oblique coupant l'horizon suivant une ligne différente de la ligne Est-Ouest. Nous nous bornerons également à mentionner les cadrans verticaux méridiens.

Cadrans lunaires.
On peut se servir assez approximativement du cadran solaire équinoxial, comme d'un cadran lunaire, en opérant sur l'heure marquée une correction additive donnée par la formule 45mn X âge de la lune (Lunaison). Si le produit dépasse 12 heures, on retranchera 12 heures pour avoir l'heure cherchée. Ce procédé est basé sur cette remarque que le jour de la nouvelle lune, la Lune passe au méridien en même temps que le Soleil et, 12 heures plus tard, le jour de la pleine lune. Chaque jour, elle retarde sur le Soleil de 45 minutes en moyenne; par conséquent, le produit 45 mn X âge de la lune, exprime le retard pour le jour considéré. On sait que l'âge de la lune est le nombre de jours écoulés depuis la nouvel lune; ce nombre se prendra dans le calendrier. (Ch. de Villedeuil).