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Suite récurrente (mathématiques). - Lorsque dans une série ou suite indéfinie de termes u0, u1, l'un quelconque d'entre eux, un+p peut s'exprimer en fonction des p qui le précèdent sous la forme :

[1]   un+p =a1un+p+p-1 + a2un+p+p-2 + ... + apun

a1, a2... ap étant des coefficients donnés constants, on dit que cette suite est récurrente. La relation [1] est appelée relation de récurrence ou échelle de récurrence de la suite, et celle-ci est dite de l'ordre p. Sous une forme symbolique, la relation [1] peut s'écrire :

 un(up-a, up-1 -...- ap) = 0
et, si l'on pose :
f(x) = xp - a, xp-1 -... - ap

la relation de récurrence devient unf(u) = 0. L'échelle de récurrence est alors f(u)=0, et peut être multipliée par un, quel que soit l'entier n, toujours sous forme symbolique, les exposants des lettres u devant être transformés en indices.

Une série récurrente du premier ordre n'est autre qu'une progression par quotient, puisque un+1  = a1un,. Une série récurrente d'ordre 2 est définie par :

un+2 = a1un+1 + 1 + a2un,

c.-à-d. que son échelle de récurrence est :

f(u) = u2 - a1u - a2 = 0.

Toute suite récurrente d'ordre p n'est complètement définie que si l'on donne ses p premiers termes, en dehors de son échelle. Par exemple, la suite du 2e ordre la plus 
connue et la plus étudiée, celle de Fibonacci, est définie par ses deux premiers termes 0, 1, et par son échelle de récurrence  u2 - u - 1 = 0.. C'est donc 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

Les suites récurrentes jouissent de propriétés importantes et ont fait l'objet de nombreux travaux. Elles intéressent à la fois l'arithmétique et l'algèbre. On peut les étendre aux quantités imaginaires. 

Nous nous bornerons ici, à titre d'exemple, à indiquer l'intéressante proposition que voici : lorsque le rapport (un+1)/un tend vers une limite, n augmentant indéfiniment, cette limite n'est autre que la racine de plus grand module de l'équation f (x) =0, f (u) = 0 étant l'échelle de récurrence. Ainsi, pour la série de Fibonacci, l'échelle de récurrence conduit à l'équation x2 - x - 1 = 0, dont les racines sont réelles, et la plus grande est :

 
 Il s'ensuit que les fractions 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8,... tendent vers :
= 1,6180339..., un nombre connu sous le nom de nombre d'or.
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