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On pourrait définir
l'algèbre comme cette branche des mathématiques
par son objet qui est de résoudre d'une manière générale
les questions relatives aux structures ou simplement, pour s'en tenir à
l'algèbre élémentaire, aux
nombres,
au moyen des relations que l'on peut établir
entre les quantités connues et les inconnues
qui entrent dans la question. On ajoutera qu'à cet effet, on emploie
les lettres de l'alphabet pour désigner les grandeurs sur lesquelles
on doit raisonner, et on représente par des caractères particuliers,
appelés signes algébriques, les opérations à
faire sur ces grandeurs. On facilite ainsi les raisonnements
et on les abrège en même temps qu'on en augmente la généralité.
Les premières lettres de l'alphabet sont réservées
aux quantités connues, les dernières lettres x, y, z, aux
quantités inconnues. Le signe + indique
l'addition de deux nombres et s'énonce
plus. Le signe - indique qu'un nombre doit être soustrait
d'un autre et s'énonce moins.
En fait, il est assez difficile de donner
une bonne définition de l'algèbre.
Pour Lagrange (Traité de la résolution
des équations numériques),
«
son objet n'est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités
que l'on cherche, mais le système d'opérations à faire
sur les quantités données pour en déduire les valeurs
que l'on cherche d'après les conditions du problème; le tableau
de ces opérations représentées par les caractères
algébriques est ce qu'on appelle une formule ».
Ces quelques lignes ne définissent
pas bien l'objet de l'algèbre, il me semble, mais elles contiennent
une bonne définition du mot formule. On pourrait croire, en effet,
que le seul but de l'algèbre est la mise en équation des
problèmes et la résolution des équations au moyen
de formules algébriques; J.- A. Serret
dit, dans son Traité d'algèbre supérieure,
que
«
l'algèbre, à proprement parler, est l'analyse des équations
».
Le livre de Serret ne traite, en effet, que
de questions relatives, directement ou indirectement, à la théorie
des équations; cependant, d'après la définition de
Lagrange, la résolution numérique des équations serait
plutôt du ressort de l'arithmétique. Pour Euler,
«
l'algèbre on l'analyse consiste dans un traité complet de
la science des nombres et dans un examen soigneux des différentes
manières de calculer qui peuvent se présenter-».
Pour Euler et pour Lagrange, il est évident
que le mot algèbre n'a pas le même sens. Euler ne distingue
pas l'algèbre de l'arithmétique; les plus anciens livres
d'algèbre, ceux de Diophante et de Brahmegupta,
sont bien plutôt des livres d'arithmologie.
«
En algèbre, dit Bertrand, on étudie
les opérations, indépendamment des nombres sur lesquels elles
s'exécutent: c'est là le caractère distinctif de cette
science. La ligne de démarcation entre l'algèbre et l'arithmétique
est, du reste, en quelque sorte, insaisissable-»
Duhamel, dans sa
Méthode
sur les sciences du raisonnement, ne distingue pas l'algèbre
de l'arithmétique, il les confond sous le nom de science des nombres.
En présence d'un désaccord aussi sensible entre d'éminents
géomètres, on comprendra que nous nous abstenions de donner
une définition qui se voudrait définitive de l'algèbre,
nous dirons cependant quelles ont été les matières
traitées dans les ouvrages modernes qui portent en titre le mot
algèbre. Ces matières étaient vers 1900 : le calcul
des quantités algébriques, l'analyse combinatoire ( Analyse
mathématique), les progressions et les logarithmes,
enfin la théorie des équations.
Les manuels parus au XXe siècle
ont placé les logarithmes dans l'analyse, mais ont rangé
dans l'algèbre la théories des ensembles et l'étude
des structures, chapitres qui irriguent désormais de leurs concepts
la totalité des mathématiques. On trouvera ainsi dans l'ouvrage
d'Algèbre de Michel Queysanne (1964), destiné aux
étudiants de premier cycle, les thèmes suivants : théorie
des ensembles, entiers naturels (et analyse combinatoire), structures algébriques
(lois de composition, groupes, corps, espace vectoriels, etc.), matrices
et déterminants, équations linéaires, polynômes,
fractions rationnelles, équations algébriques. |
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