Il convient de distinguer le chemin, qui est la séquence géométrique de positions (sans notion de temps), la trajectoire proprement dite qui est le chemin paramétré dans le temps (inclut vitesse, accélération, etc.), le déplacement qui est le vecteur allant de la position initiale à la position finale (Δr = rf - ri), et la distance parcourue, qui est a longueur totale de la trajectoire (scalaire, toujours positive). Par exemple, une personne qui fait un tour complet autour d'un stade a une trajectoire circulaire, un déplacement nul (retour au point de départ), mais une distance parcourue égale à la circonférence. 

Soit un espace euclidien ⁿ. On appelle trajectoire la courbe paramétrée décrite par une fonction f : I  → ⁿ, t →  f(t), où I est un intervalle réel et f est supposée au moins continue, généralement dérivable. La variable t est interprétée comme le paramètre d'évolution, typiquement le temps. Chaque point f(t) ⁿ est la position de l'objet ou du système à la date t. L'ensemble des points atteints, appelé support de la trajectoire, est {f(t) | t  I} ⁿ. Lorsque f est de classe C¹ ( =  fonction numérique d'une variable réelle définie et dérivable sur un intervalle donné, et dont la dérivée est continue sur ce même intervalle), la vitesse est définie comme la dérivée v(t) = f'(t) ⁿ, qui indique la direction et la rapidité de déplacement. La norme ||v(t)|| donne la vitesse scalaire instantanée, et le vecteur accélération est a(t) = f′′(t). Dans un cadre plus abstrait, si M est une variété différentiable de dimension n, une trajectoire est une application différentiable f : I → M, où chaque f(t) est un point de la variété. Cela permet de décrire des mouvements dans des espaces non euclidiens, comme une sphère ou un espace de configuration.

Mécanique classique.
En mécanique, la trajectoire une courbe qui décrit la position de l'objet à chaque instant. Pour formaliser cette notion, on utilise généralement des coordonnées dans un repère, par exemple cartésien, polaire ou sphérique.

La position de l'objet à un instant t est donnée par un vecteur r(t), où les composantes dépendent des coordonnées choisies. Par exemple, dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un repère orthonormé (O, i, j, k), on peut écrire : r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k , où x(t), y(t), et z(t) sont les fonctions décrivant respectivement les positions en abscisse, ordonnée et cote à l'instant t.

Le mouvement de l'objet est gouverné par les lois de Newton, qui s'écrivent sous forme différentielle. La deuxième loi de Newton stipule que la force F appliquée sur l'objet est égale au produit de sa masse m par son accélération a (F = ma), si m est constante. 
L'accélération étant la dérivée seconde de la position par rapport au temps, on obtient l'équation : md²r/dt² = F(r, t). Cette équation est une équation différentielle ordinaire (EDO) vectorielle, qu'il faut résoudre pour déterminer la trajectoire exacte, ce qui nécessite des conditions initiales : la position initiale r(0) et la vitesse initiale v(0). Une fois ces conditions fournies, on peut calculer les positions successives r(t) = (x(t), y(t), z(t)) pour tout t et tracer la trajectoire correspondante.

Dans certains cas, on peut éliminer le temps pour obtenir une relation directe entre les coordonnées spatiales : f(x, y, z) = 0. Dans le cas d'un mouvement sous l'action d'une force centrale (comme pour un objet soumis à la gravitation), la trajectoire peut être une conique (parabole, ellipse, hyperbole ou droite). En particulier, pour un projectile sous l'effet de la pesanteur, la trajectoire est une parabole si on néglige l'effet de la résistance de l'air : y = xtan(θ) − gx²/ (2v0²​cos²(θ)​). La trajectoire apparaît ainsi comme la solution géométrique de l'équation du mouvement, qui dépend des forces agissant sur l'objet et des conditions initiales. Elle peut être représentée graphiquement dans un espace à trois dimensions ou projetée dans un plan selon les besoins.

Types de trajectoires.
Selon les forces en jeu et les conditions initiales, on observe différents types de trajectoires : 
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Relation de la trajectoire avec les forces appliquées.
En mécanique newtonienne, la trajectoire est déterminée par  les conditions initiales (position et vitesse initiales) et les forces appliquées (F = dp/dt ou F= ma, si m est contante), où p est la quantité de mouvement et m la masse. La résolution de l'équation différentielle du mouvement permet d'obtenir r(t) , donc la trajectoire. Par exemple, dans un champ gravitationnel uniforme, l'accélération g est constante et la trajectoire parabolique. 

Trajectoire dans l'espace des phases.
Une trajectoire dans l'espace des phases représente l'évolution d'un système dynamique à travers une représentation qui combine les positions et les vitesses (ou les impulsions) des objets ou des particules du système. Chaque point dans cet espace correspond à un état particulier du système, défini par les coordonnées et les vitesses associées aux différentes composantes. Une trajectoire est donc la trace temporelle de cette évolution, montrant comment l'état du système change avec le temps. Dans ce cadre, les lois de mouvement du système se traduisent par des courbes ou des surfaces dans cet espace multidimensionnel, permettant d'analyser les comportements qualitatifs et quantitatifs du système, comme les points fixes, les cycles limites ou les bifurcations.

Trajectoire des ondes.
La trajectoire d'une onde est le chemin ou le parcours suivi par l'énergie de cette onde à travers un milieu. Elle dépend des propriétés du milieu dans lequel l'onde se propage, comme sa densité, sa composition ou encore ses propriétés optiques. Dans le cas des ondes lumineuses, par exemple, la trajectoire peut être influencée par la réfraction ou la réflexion lorsque l'onde traverse une interface entre deux milieux différents. Pour les ondes mécaniques, telles que les ondes sonores, la trajectoire dépend de la structure du milieu et des obstacles éventuels. La trajectoire peut également être modifiée par des phénomènes tels que la diffraction ou la réfraction.

Trajectoire en mécanique céleste.
En astronomie, les trajectoires des corps célestes sont régies par la loi de l'attraction universelle ou par les équations de la relativité générale (pour des précisions extrêmes). Selon l'énergie mécanique totale, la trajectoire peut être : 

• Elliptique (énergie < 0 → orbite fermée),

• Parabolique (énergie = 0 → trajectoire limite),

• Hyperbolique (énergie > 0 → trajectoire ouverte).

Trajectoire en physique quantique.
En mécanique quantique, le concept de trajectoire classique disparaît. Selon le principe d'indétermination de Heisenberg, on ne peut pas connaître simultanément position et vitesse avec précision. Les particules sont décrites par des fonctions d'onde, et leur "chemin" est remplacé par des probabilités de présence. Certaines interprétations (comme celle de Bohm) réintroduisent des trajectoires cachées, mais ce n'est pas le cadre standard. 

Trajectoire en robotique et contrôle.
Dans la robotique, la planification de trajectoire consiste à générer un chemin lisse, réalisable et sécurisé pour un robot ou un bras articulé entre une position de départ et une position d'arrivée, en respectant des contraintes (vitesse, accélération, obstacles).