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Les fonctions

En termes gĂ©nĂ©raux, une application est un moyen d'associer d'une manière unique  tous les Ă©lĂ©ments d'un ensemble donnĂ©, appelĂ© son domaine de dĂ©finition, Ă  des Ă©lĂ©ments de ce mĂŞme ensemble ou d'un autre ensemble (Ensembles et relations). Lorsque les Ă©lĂ©ments ainsi mis en relation sont des nombres,  ont donne gĂ©nĂ©ralement Ă  l'application concernĂ©e le nom de fonction
Si ce n'était cet usage, qui peut avoir ses exceptions, les mots fonction et application sont synonymes. Il s'ensuit, que les différentes propriétés attachées aux applications en général peuvent se rencontrer avec les mêmes définitions, dans l'étude des fonctions.
Une fonction de D dans E  (D et E Ă©tant donc des ensembles de nombres), est ainsi un objet mathĂ©matique, que l'on peut noter f, et tel que quel que soit x appartenant Ă  D, il existe un Ă©lĂ©ment unique y appartenant Ă  E, tel que y soit l'image de x par f (on dit aussi que y est la valeur de f en x) : 
f : D, ! y E | y = f(x)
x est appelée la variable indépendante, y est la variable dépendante.

L'intĂ©rĂŞt de cette classe particulière d'applications que sont les fonctions est que certaines propriĂ©tĂ©s des fonctions ou certaines opĂ©rations que l'on fait entre les fonctions rĂ©sultent des propriĂ©tĂ©s des nombres sur lesquels elles agissent et sur les opĂ©rations possibles entre ces nombres. Ainsi les propriĂ©tĂ©s des opĂ©rations telles que l'addition , la multiplication, la dĂ©rivation ou l'intĂ©gration de fonctions, par exemple, sont-elles directement attachĂ©es aux propriĂ©tĂ©s de l'ensemble  des nombres rĂ©els (ou, mieux dit, aux propriĂ©tĂ©s du corps commutatif totalement ordonnĂ© (, +, .)).

Définitions générales et notations.
Fonctions réelles d'une variable réelle.
Dans ce qui suit les diverses notions attachées aux fonctions seront introduites à partir de l'étude de fonctions réelles d'une variable réelle (= fonctions numériques) c'est-à-dire de fonctions f associant de façon unique un nombre réel x à un autre nombre réel y. Il existe aussi des s fonctions impliquant davantage de variables ou des variables qui ne sont pas exclusivement des nombres réels.

Exemples de fonctions qui ne sont pas des fonctions rĂ©elles d'une variable rĂ©elle : une fonction telle que  y = f(x1, x2,.., xn) est une fonction de n variables; une fonction telle que y = f(x), lorsque x et y sont des nombres complexes est une fonction complexe de variable complexe. Les vecteurs ne sont pas des nombres, mais peuvent se dĂ©finir Ă  partir de nombres (leurs coordonnĂ©es); on peut alors se trouver dans les situations suivantes (entre autres) : lorsque l'argument x est un rĂ©el et l'image y est un vecteur, la fonction telle que f(x) = y est une fonction vectorielle; les champs scalaires se dĂ©finissent comme des fonctions dont l'argument est un vecteur et l'image un nombre (scalaire); dans le cas de champs vectoriels, l'argument et l'image sont des vecteurs; etc.
Une fonction rĂ©elle Ă  une variable rĂ©elle est une application dont le domaine de dĂ©finition (= ensemble de dĂ©part de la fonction) et l'ensemble image ( = ensemble d'arrivĂ©e) sont des sous-ensembles de l'ensemble  des nombres rĂ©els. Ces sous-ensembles (nĂ©cessairement non vides) pourront ĂŞtre des intervalles de  ou des rĂ©unions d'intervalles.

Si l'on note D (ou Df) le sous-ensemble de  des Ă©lĂ©ments x sur lesquels agit la fonction f (autrement dit si D est le domaine de dĂ©finition de f), alors on appellera ensemble image de f le sous ensemble de  de toutes les images des Ă©lĂ©ments x de D par la fonction f. On le notera f(D), Im(f) ou Imf.

Sauf nĂ©cessitĂ© particulière, dans ce qui suit, on admettra, pour ne pas avoir Ă  se rĂ©pĂ©ter, que lorsqu'on qu'on parle d'une fonction f, celle-ci est dĂ©finie sur un intervalle D auquel appartiennent les nombre rĂ©els x, x0, x1, etc. 
Graphe d'une fonction. Représentation graphique.
Le sous-ensemble {(x, f (x)) |  x  D}  du produit cartĂ©sien D X f(D) est appelĂ© le graphe de f. Dans le cas de beaucoup des fonctions rĂ©elles d'une ou plusieurs variables rĂ©elles, on peut reprĂ©senter un tel graphe sous la forme d'une courbe (Ă©ventuellement avec plusieurs composantes disjointes) qui peut ĂŞtre tracĂ©e sur le plan oĂą l'abscisse est la valeur de la variable x et l'ordonnĂ©e la valeur f(x). C'est ce qu''on appellera une  reprĂ©sentation graphique de la fonction, et l'on dira que la courbe a pour Ă©quation y = f(x). Les Ă©lĂ©ments du graphe sont appelĂ©s points. Ils ont pour coordonnĂ©es (x, f(x)).
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Figure 1 - Représentation graphique d'une fonction.
Df est le domaine de dĂ©finition de f; 
Imf est l'ensemble image de f.

Quelques familles de fonctions.
Fonctions algébriques.
Les fonctions algébriques sont des fonctions dans lesquelles les différents termes (variables numériques) sont liés entre eux par par des symboles opératoires (+, x, etc.) ou peuvent se ramener à des expressions n'utilisant que ces symboles. Par exemple, la fonction f(x) = (x²+1)/(x-1) est une fonction algébrique. Figurent parmi les fonctions algébriques :

• Les fonctions polynomiales. - Ce sont des fonctions f telles que, pour tout x du domaine de dĂ©finition,  f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + an - 2xn -2 + ... + a1x + a0 , oĂą n un entier positif et les coefficients ai sont des rĂ©els (ou des nombres complexes), avec an non nul. Le nombre n indique le degrĂ© de la fonction polynomiale. Lorsque n = 3 on parle de fonction cubique. La fonction f(x) = ax² + bx + c, (avec a0), par exemple, est une fonction du second degrĂ©. Sa courbe reprĂ©sentative est une parabole.
f(x) = ax² + bx + c peut aussi s'Ă©crire : f(x) = a(x+b/2a)² -/4a, oĂą -= b²-4ac est appelĂ© discriminant. Le mĂ©rite de cette forme du trinĂ´me; dite forme canonique, est de faire apparaĂ®tre des termes d'un intĂ©rĂŞt particulier. Ainsi, le point de coordonnĂ©es (-b/2a, -/4a) correspond-il au point oĂą la parabole (courbe de f) atteint son maximum ou son minimum. Ces mĂŞmes coordonnĂ©es permettent aussi de dĂ©cider (Ă  partir d'une discussion sur le signe de ) s'il existe ou pas des valeurs de x (appelĂ©es racines de l'Ă©quation) telles que f(x) =0, et de les calculer Ă©ventuellement.

Les fonctions du second degrĂ© (aussi appelĂ©es trinĂ´mes du second degrĂ©), sont un cas particulier (pour les fonctions d'une variable rĂ©elle) des fonctions quadratiques qui sont des fonctions polynomiales de degrĂ© 2  Ă  un nombre quelconque de variables (par ex., la fonction Ă  deux variables : f(x, y) = x² + 2xy).

Une fonction puissance de degré n est une fonction polynomiale de la forme : f(x) = xn, où x est un réel non nul et n un entier positif.

• Les fonctions rationnelles. - Ce sont des fonctions polynomiales définies par une relation de la forme f(x) = p(x) / q(x) (où p et q sont des fonctions polynomiales et où au moins un des coefficients de q(x) est non nul).

• Les fonctions irrationnelles. - Ce sont les fonctions qui font appel au symbole racine : n , avec n entier positif.

Fonctions affines.
On appelle fonction affine une fonction f  telle que f(x) = ax + b (c'est donc une fonction polynomiale de degrĂ© 1). La courbe reprĂ©sentative d'une telle fonction est une droite : la constante a est son coefficient directeur (= pente) et la constante b est son ordonnĂ©e Ă  l'origine (elle coupe l'axe des ordonnĂ©es au point (0, b)). 
On remarquera que la somme de deux fonctions affines f et g (telles que f(x) = ax+b et g(x) = a'x+b') est une fonction affine h (telle que h(x)= (ax+b)+ (a'x+b') = (a+a')x+ b+b'), dont le coefficient directeur est la somme des coefficients directeurs et dont l'ordonnée à l'origine est la somme des ordonnées à l'origine.

De même, la composée fog de deux fonctions affines est aussi une fonction affine; elle est telle que fog(x) = f(g(x)) = a(a'x+b') + b = aa'x+ab'+b. Et l'on notera au passage que fog ≠ gof.

Lorsque a ou b sont égaux à zéro ou quand a est égal à 1, on donne des noms particuliers aux fonctions affines concernées :
• Dans le cas ou a  = 0 (f(x) = b), f est une fonction constante.

• Dans le cas ou b = 0 (f(x) = ax), f est une homothĂ©tie ou fonction linĂ©aire de coefficient a. 

• Dans le cas oĂą a = 1 et b = 0,  f correspond Ă  f(x) = x. C'est la fonction identique (sur le domaine de dĂ©finition D) : IdD

• Dans le cas ou a =1 et b0, (f(x) = x + b), f est une translation.

Les fonctions affines sont les fonctions les plus simples, mais on verra plus bas qu'elles jouent un rôle central dans la définition de notions aussi fondamentales que celles de limite ou de dérivée.

Fonctions spéciales.
Les fonctions spéciales suivantes ont plus ou moins de parentés avec les fonctions affines.

• Fonction valeur absolue. - C'est la fonction, notée |x|, qui associe x à x si x est supérieur ou égal à zéro (|x| = x) et à -x si x est inférieur à zéro (|x| = -x).

• Fonction signe. - C'est la fonction, notée sgn(x), qui associe à x les valeurs -1, 0 ou 1, selon le signe de x : sgn(x) =-1 si x < 0; sgn(x) = 0, si x = 0; sgn(x) = +1 si x > 0.

• Fonction en escalier. - Une fonction f dĂ©finie sur un intervalle fermĂ© [a, b] est appelĂ©e fonction en escalier (ou fonction constante par morceaux) sur [a, b] s'il existe une subdivision S = (x0, ..., xn) de [a, b] telle que f est constante sur chacun des n intervalles ]x0, x1[, ... ]xn-1, xn[. On dit alors aussi que f est Ă©tagĂ©e sur S . On donne le nom de pas (ou module) de la subdivision S, le plus grand des rĂ©els strictements positifs  x1-x0, ... , xn-1- xn-1 (autrement dit, le pas ou module est la largeur de la plus large marche de l'escalier). Ce nombre est aussi le pas de la fonction f. 

On fera appel plus bas à la notion de fonction en escalier pour introduire celle d'intégrale d'une fonction.

Fonctions transcendantes.
Lorsqu'une fonction numérique n'est pas algébrique on dit qu'elle est transcendante. Exemples, les fonctions exponentielles, logarithmiques, circulaires, etc. :
• Les fonctions exponentielles sont dĂ©finies par une relation de la forme f(x)-= ax, oĂą x, l'exposant, est un rĂ©el, et a , appelĂ©e la base, est un nombre rĂ©el strictement positif diffĂ©rent de 1. 
On appelle exponentielle naturelle la fonction exponentielle dont la base est le nombre irrationnel e = 2,718281828..., appelé nombre d'Euler ou constante de Néper.
• Les fonctions logarithmiques sont des fonctions définies par une relation de la forme f(x) = loga(x) où a (base du logarithme) est un réel strictement positif différent de 1. La fonction log10 se note aussi log.
On parle de logarithme naturel quand la base est le nombre e mentionné ci-dessus. On note cette fonction Log ou ln.
• Les fonctions circulaires (ou trigonomĂ©triques) sont des fonctions dĂ©finies Ă  partir des fonctions sinus et cosinus et dont l’argument est une valeur d’angle, ou un angle de rotation. Parmi les fonctions circulaires, on mentionnera, outre les fonctions sinus (sin) et cosinus (cos), la fonction tangente (tg (x) = sin(x)/cos(x)), la fonction sĂ©cante (sec(x) = 1/ cos (x)), etc.

• Ajoutons Ă  cela un certain nombre de fonctions apparentĂ©es aux fonctions circulaires  : les fonctions trigonomĂ©triques inverses (arcsin, arccos, arctan, etc.); les fonctions hyperboliques (sinh, cosh, tanh, etc) et les fonctions hyperboliques inverses (argsinh, argcosh, etc.).

Quelques qualificatifs pour les fonctions.
Fonctions monotones.
Si l'on considère deux Ă©lĂ©ments distincts quelconques x1 et x2 appartenant au domaine de dĂ©finition de la fonction f, et tels que  x1 < x2, la fonction est dite monotone si l'on a toujours soit f(x1 f(x2), soit f(x2 f (x1). Dans le premier cas la fonction est de plus dite croissante, dans le second, elle est dite dĂ©croissante.
• Lorsque on a  f(x1) < f(x2) ou f(x2)  < f (x1), on dit que f est strictement monotone (croissante ou dĂ©croissante).
• La propriété de monotonie (croissante ou décroissante) peut ne s'observer que pour un sous-ensemble du domaine de définition. Il convient alors de préciser explicitement sur quel(s) intervalle(s) la fonction est monotone (croissante ou décroissante) .
Fonctions réciproques.
Comme toute autre application, une fonction f bijective admet une fonction rĂ©ciproque, notĂ©e  f -1 . (Attention : ici, f-1 est le symbole d'une fonction, pas une puissance de f; pour Ă©viter les confusions on peut aussi noter f* la rĂ©ciproque de f)). Pour trouver la fonction rĂ©ciproque de f, les variables x et y sont interverties dans la formule de f, puis y est exprimĂ© Ă  partir de x = f (x) afin d'obtenir y =  f-1(x). L'expression  y = f (x) est  Ă©quivalente Ă  l'expression x = f-1(y). 

Les égalités suivantes découlent de cette relation :

f (f-1 (y)) = y et f-1(f (x)) = x 
Autre Ă©criture :
(f o f-1)(y) = y et (f-1o f) (x) = x
Le graphe d'une fonction rĂ©ciproque y =  f-1 (x) est obtenu par rĂ©flexion du graphe de y = f (x) par rapport Ă  la droite y = x. 
• Si une fonction f est strictement monotone dans un intervalle de son domaine de dĂ©finition, alors il existe une fonction rĂ©ciproque f-1 pour cet intervalle. 

• Si une fonction non monotone peut ĂŞtre partitionnĂ©e en parties strictement monotones, alors la rĂ©ciproque correspondante existe pour chaque partie. 

Fonctions bornées.
Une fonction est dite bornée s'il existe une valeur b qu'elle prend, telle que quelque soit x, f(x) est toujours soit inférieur ou égal à b, soit supérieur ou égal à b. Dans le premier cas, b est la borne supérieure de la fonction, dans le second, b est sa borne inférieure.

Fonctions paires et impaires.
Une fonction paire est une fonction telle que f(x) = f(-x). Une fonction impaire est une fonction telle que f(x) = -f(-x).

• Sous rĂ©serve que, pour tout x appartenant au domaine de dĂ©finition D de la fonction f,  -x appartiennent aussi Ă  D,  la fonction f peut ĂŞtre Ă©crite comme la somme d'une fonction paire g et d'une fonction impaire h. On a ainsi, pour chaque x appartenant au domaine de dĂ©finition de f
f(x) = g(x) + h(x), où g(x) = ½.[f(x) + f(-x)] et h(x) = ½.[f(x) - f(-x)].
Fonctions périodiques.
Une fonction est périodique si elle satisfait la relation f(x) = f(x+T), où T est une constante non nulle. De cette définition, il suit que la relation f(x) = f(x+n.T), où n est entier relatif non nul, est aussi vérifiée. T, plus petit nombre positif vérifiant ces relations, est appelée la période de la fonction.

Limites et continuité

Limite d'une fonction.
On appelle limite d'une quantitĂ© variable une quantitĂ© fixe dont cette variable s'approche indĂ©finiment, de manière Ă  en diffĂ©rer d'aussi peu que l'on veut. La considĂ©ration de cette notion de limite intervient constamment dans l'Ă©tude des fonctions. 

Limite d'une fonction en un point.
Parler de la limite d'une fonction réelle en un point revient à se demander ce qu'il advient de la valeur f(x) d'une fonction f lorsque la variable x tend vers une valeur x0 donnée.

Pour une variable rĂ©elle quelconque x, tendre vers une valeur donnĂ©e x0 signifie que la valeur absolue  de la diffĂ©rence de x et de x0 ( =| x- x0 |) tend vers zĂ©ro. On Ă©crit cette situation : x  x0 (lire : "x tend vers x0"), ou de manière Ă©quivalente  0.

La limite de la valeur de la fonction f quand x tend vers x0, se notera alors-:

 
lim f(x)      ou, de manière plus Ă©conomique :
x
 lim f , voire : lim f
   x0
Cette limite peut être un nombre, quand f(x) tend vers une valeur butoir; mais elle peut aussi être infinie (±) quand la valeur absolue de f(x) tend indéfiniment vers + ou vers -.

Limite finie en un point.
Admettons, pour commencer, que cette limite soit un nombre (on parlera dans ce cas de limite finie), et que ce nombre soit noté A. La définition de la limite est alors :

lim f(x) = A  [ > 0,  > 0 / | x-x0| <  |f(x)-A| < ]
x
La limite d'une fonction en un point peut ĂŞtre la valeur de la fonction en ce point ou ĂŞtre distincte de cette valeur. 

Limite Ă  droite et limite Ă  gauche.
On a admis implicitement jusqu'ici qu'un fonction a une mĂŞme limite en x0 que l'on approche x0 par des valeurs de x supĂ©rieures  Ă  x0 ou par des valeurs infĂ©rieures. Mais il peut arriver que les limites soit diffĂ©rentes selon que l'on approche x0 par par des valeurs de x supĂ©rieures (limite Ă  droite) ou par par des valeurs de x infĂ©rieurs (limite Ă   gauche). On Ă©crit : x  x0+  lorsque x > x0, et l'on Ă©crit x  x0 lorsque x < x0. D'oĂą les deux notations suivantes :

•  Limite Ă  droite : lim f(x) = P
                               x  x0+

•  Limite Ă  gauche : lim f(x) = M
                                   x  x0

Où P et M sont des nombres réels.

On dit que la fonction f a une limite en x0 si et seulement P et M existent et P = M, dans le cas contraire, on devra toujours préciser "à droite" ou "à gauche".

Limite finie d'une fonction quand x tend vers l'infini.
On peut ĂŞtre conduit Ă  s'interroger sur ce que devient une fonction, non plus seulement quand la variable x tend vers une valeur finie ( x0), mais aussi quand cette variable tend vers ± (x  ±). Les notations 

a) lim f(x) = A et b) lim f(x) = A
    x +       -
signifient  :
a)si pour tout rĂ©el positif donnĂ©  il existe un nombre N > 0 tel que pour tout x > N, la valeur correspondante f (x) est dans l'intervalle a- < f (x) < A + ;

b) et, de façon analogue, que A est la limite de la fonction f (x) quand x tend vers -  si pour tout nombre positif donnĂ©  il existe un nombre positif N > 0 tel que pour tout x < -N la valeur correspondante f(x) appartient Ă  l'intervalle a- < f (x) < A + 

Propriétés des limites.
• Toute quantité croissante (ou décroissante) qui ne peut devenir plus grande (ou plus petite) qu'une quantité donnée fixe, a une limite.
• Si f(x) = k,  [a, b]  lim f(x) = k, x [a, b]
                                               x x

• La limite d'une somme (ou d'un produit) de quantitĂ©s variables en nombre dĂ©terminĂ© est Ă©gale Ă  la somme (ou au produit) des limites de ces quantitĂ©s. La limite d'un quotient est Ă©gale au quotient des limites du dividende et du diviseur (si le diviseur est diffĂ©rent de zĂ©ro). 

Si  lim f(x) = A et lim g(x) = B, on vĂ©rifie que
          x  x0        x

    a)  lim [f(x)±g(x)] = A±B
     x0

       b) lim [f(x).g(x)] = A.B
       x0

            c) si B 0,  lim [f(x)/g(x)] = A/B
                  x0

       d) lim k.f(x) = k.A
       x0

Limites infinies.
On a admis jusqu'ici que la limite d'une fonction en un point Ă©tait un nombre rĂ©el. Mais ce n'est pas toujours le cas. Il peut arriver que, lorsque x s'approche idĂ©finiment de x0, la valeur absolue de f(x) croisse indĂ©finiment. Lorsqu'une valeur tend ainsi Ă  devenir indĂ©finiment grande, on dit qu'elle tend vers "plus l'infini" ou vers "moins l'infini". Ces situations se notent : 
lim f(x) = +
x0

lim f(x) = -
x

Elles signifient que  M > 0,  fonction de M/f(x) > M  (ou < -M, dans le second cas) tant que |x < x0| < 
Note : on peut aussi se trouver dans des situations telles que, par exemple :
lim f(x) = -  ,   lim f(x) = k ,  etc. 
+               -

(Tous les cas de figure sont possibles).

Formes indéterminées.
Les propriétés (somme, produit, rapport) des limites infinies sont analogues à celles des limites finies tant qu'on ne se trouve pas dans les cas où apparaissent certaines expressions, appelées formes indéterminées (F. I.)

Ainsi, notamment, on ne peut pas conclure directement Ă  l'existence de :

• lim (f+g), lorsque lim f = + et lim g = -. (indĂ©termination -)

• lim f.g, lorsque lim f = 0 et lim g = ±. (indĂ©termination  0x

• lim f/g, lorsque lim f =  ± et lim g =  ±  (indĂ©termination/) .

Donner la limite dans ces situations s'appelle lever l'indétermination. Ce n'est pas toujours possible.
Typiquement, l'impossibilité de lever algébriquement l'indétermination intervient quand on travaille sur des fonctions transcendantes ou sur des fonctions mêlant fonctions transcendantes et fonctions algébriques. Ainsi, par exemple, la limite quand x tend vers zéro de (e²x - 1)/x aboutit-elle à l'indétermination 0/0. On peut alors tenter, de résoudre le problème de manière algébrique en réécrivant l'expression et en cherchant la limite quand x tend vers zéro de (e²x/x) - (1/x). Mais cela conduit à une autre forme indéterminée (-).
On verra plus bas, après avoir Ă©tudiĂ© la notion de dĂ©rivĂ©e d'une fonction, comment il peut ĂŞtre possible de sortir d'une telle impasse (règle de L'HĂ´pital). 
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Limites infinies et formes indéterminées

Infinitésimaux.
Le terme d'infinitĂ©simal s'applique Ă  toute quantitĂ© variable qui tend vers 0 (c'est-Ă -dire aussi petite que l'on veut, sans jamais ĂŞtre Ă©gale Ă  0). On appelle fonction infinitĂ©simale au point x0 toute fonction  telle que

lim (x) = 0
x
On est dans une situation similaire lorsqu'on a (x) qui tend vers zĂ©ro quand x tend vers un infini :
lim (x) = 0
±
La fonction  peut ĂŞtre une fonction très banale  :par exemple la fonction sinus ou la fonction identique au point x=0, ou encore la fonction 1/x quand x tend vers l'infini, etc. 

On peut comparer les infinitĂ©simaux entre eux. 

• Deux infinitĂ©simaux, (x) et (x) sont dits comparables lorsque
lim (x) / (x) = A, et A est un nombre dĂ©terminĂ©.
x0
C'est à cette possibilité de comparaison que renvoie la notion d'ordre d'un infinitésimal.
• Lorsque A = 0, (x) est d'ordre supĂ©rieur Ă  (x).

• Lorsque A 0 (et A ±), (x) et (x) sont du mĂŞme ordre.

• Lorsque A = ±(x) est d'ordre infĂ©rieur Ă  (x).

• Lorsque A = 1, (x) et (x) sont Ă©quivalents.

Les infinitésimaux sont l'un des moyens utilisables pour lever les formes indéterminées de type 0/0.

Continuité d'une fonction.
Fonction continue en un point.
Une fonction réelle f d'une variable réelle est continue en x0 si et seulement si sa limite en x0 est la valeur de la fonction en ce point :

lim f(x) = f(x0)
x
Cela signifie que, dans le cas d'une fonction f continue en x0, les valeurs que prend cette fonction pour des points proches de x0 doivent aussi ĂŞtre proches de f(x0).

De la même façon que les limites d'une fonction en un point x0 peuvent être définies à droite (x > x0) ou à gauche (x < x0), il est possible aussi qu'une fonction ne soit continue qu'à droite ou à gauche.

• ContinuitĂ© Ă  droite,  si et seulement si lim f(x) = f(x0)
                                                                       x  x0+

• ContinuitĂ© Ă  gauche,  si et seulement si lim f(x) = f(x0)
                                                                         x  x0-

Fonction continue sur un intervalle.
Une fonction f est continue sur l'intervalle ouvert ]a, b[ si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Une fonction f est continue sur l'intervalle fermé [a, b] si elle est continue si :

1) f est continue sur l'intervalle ouvert ]a, b[;

2) lim f(a) = a et lim f(b) = f(b).

Continuité uniforme.
Une fonction f est dite uniformément continue sur l'intervalle I = [a, b] si sur cet intervalle:
> 0,  > 0 tel que pour tout couple x1, x2 d'Ă©lĂ©ments appartenant Ă  I et vĂ©rifiant |x1---x2| < , on ait |f(x1) - f(x2)| < . Le nombre  associĂ© Ă   ne dĂ©pend pas ici de x, alors que dans la dĂ©finition de la continuitĂ© tout court il peut en dĂ©pendre.

La continuité uniforme implique la continuité tout court, mais la réciproque est fausse.

Prolongement par continuité.
On considère un intervalle I auquel appartient le réel a et la fonction f définie sur I-{a} (c'est-à-dire sur l'intervalle I auquel on a ôté le nombre a). Si f est continue sur cet intervalle et a une limite finie A en a, alors la fonction ƒ définie sur I et telle que, pour tout x de I-{a}, on ait ƒ(x) = f(x) et ƒ(a) = A, est continue en a et sur I. On appelle alors ƒ le prolongement par continuité de f en a.

Propriétés locales des fonctions continues.
On peut attacher aux fonctions continues les propriĂ©tĂ© suivantes : 

• La somme de deux fonctions continues est une fonction continue.

• Le produit de deux fonctions continues est une autre fonction continue.

• Le quotient de deux fonctions continues est une fonction continue en
tout point ou sur tout intervalle dans lequel le dénominateur ne s'annule pas.

• Si f est continue en a, f (a) = b et g est continue en b, alors la composĂ©e  gof (c'est-Ă -dire la fonction telle que g(f (x))) est continue en a.

• ThĂ©orème de Weierstrass. - Si f est continue sur un intervalle fermĂ© [a, b], elle est bornĂ©e sur cet intervalle. De plus, si S est l'ensemble des valeurs f (x) pour x appartenant Ă  [a, b], et M = sup S, il existe un point  appartenant Ă  [a, b] tel que f () = M  et donc idem pour m = inf S). On dit alors qu'une fonction continue dans un intervalle compact (= fermĂ© et bornĂ©) [a, b] y atteint un maximum et un minimum. 

Calcul différentiel

Différentielles et dérivées.

Approche géométrique.
On peut donner un sens géométrique aux notions de différentielle et de dérivée en considérant :

1) le graphe d'une fonction f, c'est-Ă -dire la courbe C d'Ă©quation y = f(x). On admet que f est continue dans le voisinage de x0, c'est-Ă -dire sur un intervalle V centrĂ© sur un point x0, tel que V = ]x0 , x0[,  Ă©tant un rĂ©el strictement positif. 

2) Deux points distincts de cette courbe  P et Q de coordonnĂ©es respectives (x0, f(x0)) et  (x, f(x)), oĂą x0 et x appartiennent Ă  l'intervalle V. Si l'on note h la diffĂ©rence de x et X0 (h =x-x0) les coordonnĂ©es de Q pourront aussi s'Ă©crire : (x0+h, f(x0+h), oĂą |h| < , et (puisque les points sont distincts) h0.

3) Une droite D est sécante de la courbe C au point P et au point Q de coordonnées (x = x0 + h, y = f(x0 + h)), avec h0. Sa pente m peut s'écrire-: m = [f(x0 + h) - f(x0)]/h.


Figure 2. - SĂ©cante et tangente en un point 
d'une courbe représentative d'un fonction continue.

La question est maintenant de savoir ce que devient cette pente lorsque Q se rapproche autant que l'on veut de P, autrement dit quand x se rapproche aussi près que l'on veut de x0, ou encore lorsque h tend vers 0 (h 0). Dans notre exemple, il existe une rĂ©ponse : la droite D tend Ă  se confondre avec la tangente de la courbe C au point P. Et l'on peut exprimer cela de deux façons Ă©quivalentes : 

1) Au voisinage de x0, la droite D et la courbe C tendent Ă  se confondre, autrement dit, si plus une portion de C au voisinage de  x0 est petite et plus elle s'approche d'une segment de droite  : la fonction f peut donc ĂŞtre approchĂ©e autant qu'on le souhaite par une fonction affine. Cela renvoie Ă  la notion de diffĂ©rentiabilitĂ©.

2)  lorsque h tend vers zĂ©ro, la pente de D tend vers une limite finie, qui est aussi la pente de la tangente en x0. Cette condition renvoie Ă  la notion de dĂ©rivabilitĂ©.

Dans le cas des fonctions rĂ©elles Ă  une variable diffĂ©rentiabilitĂ© et dĂ©rivabilitĂ© coĂŻncident : une fonction diffĂ©rentiable (en un point) est dĂ©rivable (en ce point) et rĂ©ciproquement. Cette Ă©quivalence est utile pour choisir sous quel angle on rĂ©soudra tel ou tel problème : l'un sera plus simple Ă  aborder en termes de diffĂ©rentielles, l'autre en termes de dĂ©rivĂ©es. 

Différentiabilité. Différentielle.
La fonction f est différentiable en x0 si les conditions suivantes sont remplies :

a) Il existe un intervalle V = ]x0 , x0[ (on dit : "un intervalle V centrĂ© sur x0 et de rayon ") inclus dans le domaine de dĂ©finition D, b) il existe un rĂ©el m; c) il existe fonction  dĂ©finie sur V, qui a la propriĂ©tĂ© de tendre vers zĂ©ro quand x tend vers x0 (autrement dit :  est un infinitĂ©simal); tels que d) V, f(x) = f(x0) + m.(x-x0) + (x-x0).(x).
On peut alors définir les fonctions suivante :
•  La fonction affine tangente Ă  f au point x0 est la fonction qui Ă  tout x de D associe m.x + f(x0) - m.x0

•  La diffĂ©rentielle de f en x0 (ou fonction linĂ©aire tangente Ă  f au point x0) est la fonction qui Ă  tout x de D associe mx, et que l'on note dfx0; m Ă©tant le coefficient de la diffĂ©rentielle f en x0.

Propriétés des fonctions différentiables.
On considère des rĂ©els k, x, x0, et deux fonctions rĂ©elles, f et g, dĂ©finies sur un voisinage V de  x0 et diffĂ©rentiables en x0. On a alors :
• f + g est différentiable au point x0 et d(f+g)x0 = dfx0 + dgx0

• k.f est diffĂ©rentiable au point x0 et d(k.f)x0  = k.dfx0

• f.g est différentiable au point x0 et d(fg)x0 = f(x0).dgx0 + g(x0).dfx0

• Si g(x) 0 pour tout x appartenant à V, f/g est différentiable au point x0 et :
d(f/g)x0 = [g(x0)dfxx0 - f(x0)dgx0]/g²(x0)

• Si f est diffĂ©rentiable sur un voisinage V de x0 et g est diffĂ©rentiable sur un voisinage W de f(x0), (avec f(V)   W) alors la fonction composĂ©e g o f est diffĂ©rentiable au point x0 et on a : d(g o f)x0 = dg f(x0) o dfx0

Dérivabilité. Nombre dérivé en un point. Fonction dérivée.
Si la limite du rapport f(x) - f(x0) / x - x0, quand x tend vers x0, existe et est finie, on dit que f est dérivable en x0,
=   lim      [f(x) - f(x0)]/(x - x0)
           x  x
est appelĂ© le nombre dĂ©rivĂ© de f en x0. C'est le taux de variation de f en ce point, ou encore la pente de la tangente Ă  la courbe reprĂ©sentative de f  au point de coordonnĂ©es  [x0, f(x0)].
Dire que "f est dĂ©rivable en x0 et de nombre dĂ©rivĂ© " est Ă©quivalent Ă  dire que " f est est diffĂ©rentiable en x0 et le coefficient de sa diffĂ©rentielle est ".
On appelle fonction dĂ©rivĂ©e de f (ou plus simplement dĂ©rivĂ©e de f) la fonction , ordinairement notĂ©e  f' (lire "f prime"), qui, Ă  tout x appartenant Ă  un intervalle I (non vide et inclus dans le domaine de dĂ©finition de f) associe le nombre dĂ©rivĂ© de f en x.
Toute fonction dérivable (différentiable) en un point est continue en ce point. Mais la réciproque est fausse.
DĂ©rivation Ă  droite et Ă  gauche.
De la même façon que l'on a défini plus haut une limite à droite et une limite à gauche, on peut définir les notions de dérivabilité à droite et une dérivabilité à gauche :
• Une fonction f dĂ©finie sur [x0, x0+r, avec r >0 [ (resp. sur ]x0-r, x0]) est dĂ©rivable Ă  droite (resp. Ă  gauche) si et seulement si la fonction qui associe Ă  x la valeur f(x)-f(x0)/x-x0 a une limite finie Ă  droite (resp. Ă  gauche). 

• Une fonction est dérivable seulement si elle a une dérivée à droite, une dérivée à gauche et que ces dérivées coincident en chaque point.

Les dérivées d'une fonction peuvent exister à droite et à gauche d'un point, mais être différentes :
Exemple : ConsidĂ©rons la fonction valeur absolue :  f(x) = |x|, qui est continue sur ; pour toutes les valeurs de x supĂ©rieures Ă  0 (tous les points Ă  droite de zĂ©ro), la dĂ©rivĂ©e est f'(x) = 1, mais pour toutes les valeurs infĂ©rieures Ă  0 (tous les points Ă  gauche de 0), elle est f'(x) = -1. Il n'y a donc pas une limite unique selon que l'on considère x  0+ et x  0-. Bien que f(x) soit continue en 0, qu'elle soit dĂ©rivable Ă  droite de 0 et Ă  gauche de 0, elle n'est pas dĂ©rivable en 0.
On peut aussi se trouver dans le cas oĂą une fonction continue est dĂ©rivable en un point d'un cĂ´tĂ© et pas de l'autre. Et, bien sĂ»r, certaines fonctions peuvent n'ĂŞtre dĂ©rivables ni Ă  gauche ni Ă  droite d'un point donnĂ©. Il existe mĂŞme des fonctions continues sur tout leur domaine de dĂ©finition (qui peut ĂŞtre  tout entier), mais qui ne sont dĂ©rivables nulle part. Karl Weierstrass s'Ă©tait fait une spĂ©cialitĂ© de la recherche de telles fonctions : la première dĂ©couverte, en 1872, porte le nom de fonction de Weierstrass-Hardy. Sa reprĂ©sentation graphique est typiquement ce que les mathĂ©maticiens appellent une fractale : lorsqu'on zoome sur un fragment de courbe (irrĂ©gulier dès le dĂ©part), le mĂŞme motif irrĂ©gulier apparaĂ®t, mĂŞme chose lorsqu'on zoome encore et encore... jusqu'Ă  l'infiniment petit.

Dérivées successives.
Lorsqu'une fonction f est dérivable, sa dérivée peut être (ou ne pas être) elle-même dérivable. Si elle est dérivable, il sera possible de définir une dérivée de la dérivée, qui sera appelée la dérivée seconde de f (la dérivée tout court étant sa dérivée première). La dérivée de la dérivée seconde, si elle existe, s'appellera la dérivée troisième ou dérivée d'ordre 3, etc. Tant que la dérivabilité des dérivées successives sera assurée, on parlera de dérivées d'ordre n de f. On les écrira f(n). Si pour tout entier n strictement positif f est n fois dérivable, on dira que f est indéfiniment dérivable.

Notations de Lagrange, de Leibniz et de Newton.

• Notation de Lagrange. - C'est la notation, employée jusqu'ici pour les dérivées : elle utilise le signe ' (prime) ou, pour les dérivées d'ordre n, l'exposant entre parenthèses (n).

• Notation de Leibniz. - Avec cette notation, dite aussi notation diffĂ©rentielle de la dĂ©rivĂ©e, la dĂ©rivĂ©e d'une fonction f s'Ă©crit df/dx . Si l'on pose y = f(x), on pourra aussi l'Ă©crire dy/dx. 

La notation de Leibniz est souvent utilisĂ©e conjointement Ă  celle de Lagrange. Exemples : 

On peut écrire : f'(x) = dfx/dx, ou de façon équivalente (rencontrée dans le formalisme du calcul intégral) :
dfx = f'(x).dx.
A partir de l'expression de la composĂ©e de deux fonctions diffĂ©rentiables f et g (avec les mĂŞmes conditions que celle mentionnĂ©es plus haut), peut s'Ă©crire : 
d(g o f)x /dx=  = g'(f(x)). f'(x)  = dg f(x) / dfx. dfx/dx
En posant y = f(x) et z = g(x), l'expression de la dĂ©rivĂ©e de g o f prend une forme intĂ©ressante : 
dz/dx = dz/dy.dy/dx
Ajoutons que, dans la notation de Leibniz, la dĂ©rivĂ©e seconde se note d²y/dx² et la dĂ©rivĂ©e nème : dny/dxn. Il s'agit lĂ  d'une convention d'Ă©criture et non pas d'un vrai quotient comme dans le cas de la dĂ©rivĂ©e première. 

• Notation de Newton. - On rencontre aussi parfois en physique (principalement en dynamique) la notation de Newton, qui Ă©crit la dĂ©rivĂ©e sous la forme d'une lettre surmontĂ©e d'un point- =  f'(x). La dĂ©rivĂ©e seconde se note en surmontant la lettre de deux points : . Selon ces conventions, la vitesse (dĂ©rivĂ©e de l'abscisse d'un mobile variant dans le temps) s'Ă©crira  : v = , et l'accĂ©lĂ©ration (dĂ©rivĂ©e de la vitesse par rapport au temps) : a = 

Fonctions de classe C1.
Pour mĂ©moire, notons qu'on dit qu'une  fonction numĂ©rique f d'une variable rĂ©elle dĂ©finie sur un intervalle donnĂ© est de classe C1 si elle est dĂ©rivable sur cet intervalle et si sa dĂ©rivĂ©e f' est continue sur cet intervalle. Cette propriĂ©tĂ© est une condition nĂ©cessaire Ă  l'Ă©tablissement de certains rĂ©sultats du calcul intĂ©gral.

ExtrĂ©mums absolus et relatifs. 
Le maximum absolu Ma (respectivement minimum absolu ma) d'une fonction sur son domaine de dĂ©finition D, c'est-Ă -dire la valeur maximale (resp. minimale) prise par f(x) pour tout x appartenant Ă  D, est telle que f(x) est toujours infĂ©rieur (resp. supĂ©rieur) ou Ă©gal Ă  Ma et il existe un Ă©lĂ©ment c de D tel que Ma = f(c). Les extrĂ©mums (ou extrema si vous parlez latin) relatifs (maximum relatif Mr et minimum relatif mr) rĂ©pondent Ă  une dĂ©finition analogue, si ce n'est qu'ici on ne consière plus domaine de dĂ©finition D dans sa totalitĂ©, mais un sous-ensemble de D. 

• [Ma (resp. ma) est un maximum (resp. minimum) absolu de f sur D]  [xD, f(x)  Ma (resp. f(x) ma) et D / Ma (resp. ma) = f(c)]

• [Mr (resp. mr) est un maximum (resp. minimum) relatif de f]  [xE(x1)D, f(x)  Mr (resp. f(x)  mr) et Mr (resp. mr) = f(x1)]

Bien sûr le sous-ensemble considéré peut être égal à D lui-même, si bien que les extrémums absolus ne sont, au final qu'un cas particulier des extrémums relatifs.

Une manière de considérer un extrémum consiste à examiner comment se comporte la fonction f (définie sur un intervalle [a, b]) dans le voisinage de cet extrémum : si elle est croissante à sa gauche et décroissante à sa droite, on a affaire à un maximum; si elle est décroissante à sa gauche et croissante à sa droite, on a affaire à un minimum. Dans les deux cas, l'extrémum définit le point pour lequel la fonction ne croît ni ne décroît, ce qui signifie que; si elle existe, sa dérivée y est nulle.

• [f(x0 [a, b] est un extrĂ©mum et f'(x0) existe]  f'(x0) = 0
Points d'inflexion.
Dans la représentation graphique d'une fonction, les extrémums correspondent aux points de rebroussement de la courbe. Lorsqu'on s'approche de ce point de rebroussement la pente de la courbe diminue pour finir par s'annuler complètement (c'est ce que signifie l'annulation de la dérivée).

Voyons maintenant ce qui se passe, sur la portion de la courbe reliant deux extrémums consécutifs. Lorsque x s'éloigne du premier extrémum, la pente, initialement nulle, de la courbe augmente, pour diminuer lorsque ensuite à l'approche du second extrémum. Dit autrement, la dérivée qui avait une valeur nulle atteint ensuite maximale (ou minimale) puis se rapproche de nouveau de zéro, pour l'atteindre arrivée à l'extrémum. Dans l'intervalle, la dérivée a donc aussi eu un extrémum, qui est défini par le point ou la dérivée de la dérivée est nulle, c'est-à-dire au point M0 où la dérivée seconde de la fonction f s'annule (f"(x0) = 0) et change de signe. On appelle M0, un point d'inflexion.

En termes plus mathématiques, on aura la définition suivante : Si f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I de centre x0 et si la fonction dérivée seconde f" s'annule en x0 en changeant de signe, alors le point M0, de coordonnées (x0,f(x0)) est un point d'inflexion.

Dérivées partielles.
On n'a parlĂ© jusqu'ici que de des dĂ©rivĂ©es des fonction rĂ©elles d'une variable rĂ©elle. Mais la notion de dĂ©rivĂ©e (comme celle de diffĂ©rentielle) peut aussi s'appliquer Ă  des fonctions de plusieurs variables, telles, par exemple, que f : (x, y, z, ...)  u. On pourra alors dĂ©finir autant de dĂ©rivĂ©es que de variables, appelĂ©es alors dĂ©rivĂ©es partielles. Chacune d'elle correspondant au taux de variation de la fonction quand un seul de ses arguments varie. 

Asymptotes.
Un asymptote est une droite dont se rapproche indéfiniment une courbe (autrement dit une droite tangente d'une courbe à l'infini).

• Asymptote oblique. - La droite d'Ă©quation y = ax+b est asymptote Ă  la courbe de la fonction f(x) si la diffĂ©rence f(x) - y tend vers zĂ©ro quand x tend vers (plus ou moins) l'infini. 
• Asymptote horizontale. - Si, lorsque x tend vers (plus ou moins) l'infini, f(x) tend vers une valeur finie b, alors la droite d'Ă©quation  y = b est une asymptote horizontale de la courbe de f.

• Asymptote verticale. -  Si lorsque x tend vers une valeur c, f(x) tend vers (plus ou moins) l'infini, alors la droite d'Ă©quation  x = c est une asymptote verticale de la courbe de f.

Calcul des dérivées.
Règles générales.
Les règles Ă  retenir (analogues Ă  celles que l'on a dites Ă  propos des diffĂ©rentielles),  sont les suivantes :
• Si h(x) = k.f(x) pour tout x, k étant une constante, alors h'(x) = k.f'(x).

• Si h(x) = f(x) + g(x) pour tout x, alors h'(x) = f'(x) + g'(x).

• Si h(x) = f(x).g(x) pour tout x, alors h'(x) = f'(x).g(x)+f(x).f'(x). [dĂ©rivĂ©e du produit] 

• Si h(x) = 1/f(x) et f(x)  0 pour tout x, alors h'(x) = -f'(x).(f(x))². [dĂ©rivĂ©e de la fonction rĂ©ciproque]

• Si h(x) = f(x)/g(x) et g (x)  0 pour tout x, alors h' (x) = (f'(x).g(x)- f(x).g'(x))/(g(x))². [DĂ©rivĂ©e du quotient]

• Si h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) pour tout x; alors h' = g'(f(x)).f'(x).

Exemples de dérivées de fonctions usuelles.
Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de fonctions dérivées de fonctions usuelles. Leur connaissance est utile pour le calcul de dérivées d'autres fonctions.

Dérivées de fonctions usuelles

Fonction
f(x)
Dérivée
f'(x)
c (constante)
x
cx
1/x
xc
ecx
In x
ax (a>0)
0
1
c
-1/x²
c xc-1
cecx
1/x
ax ln a
Fonction
f(x)
Dérivée
f'(x)
rac (x)
sin x 
cos x1
tan x1
cotan x1
arcsin x
arccos x 
arctg x
½. 1/rac (x)
cos x
-sin x1
1/cos² x1
cos² x1
1/rac(1-x²)
-1/rac(1-x²)
1/(1+x²)
Note : rac =  (racine carrĂ©e).

Théorèmes de Rolle, de Lagrange et de Cauchy.
Le théorème de Rolle, le théorème de Lagrange et le théorème de Cauchy concernent les fonctions continues et dérivables sur un intervalle compact, et jouent un rôle important dans la démonstration de nombreux théorèmes du calcul différentiel et intégral. Ces trois théorèmes ont à voir avec les valeurs intermédiaires que prend une fonction sur un intervalle. Le théorème de Rolle est un préalable au théorème de Lagrange; le théorème de Cauchy en est une extension.

Théorème de Rolle.
Le théorème de Rolle énonce que pour toute fonction f continue sur un intervalle fermé, l'égalité des deux bornes de cet intervalle implique l'existence d'au moins un point de l'intervalle pour lequel la dérivée de f s'annule :
-

a) La fonction f est continue sur l'intervalle [a, b] 
b) f est dérivable sur l'intervalle [a, b]
c) f(a) = f(b)
[a, b], tel que f'(c) = 0

Théorème de Lagrange ( = théorème de la valeur moyenne).
-Si f est une fonction est continue sur un intervalle fermĂ© [a, b] et  est un nombre rĂ©el tel que  f (a) <  < f (b), il existe un point c de l'intervalle ]a, b[ dans tel que  f (c) = 
-

a) f est continue sur [a, b] 
b) f est dérivable sur ]a, b[
]a, b[, tel que f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)

Théorème de Cauchy.
Le théorème de Cauchy énonce que le quotient de diviseur non nul de l'accroissement de deux fonctions continues sur l, un intervalle fermé, et avec des dérivées uniques sur cet intervalle, non simultanément nulles ni infinies, est égal au quotient des valeurs de celles-ci en un point intermédiaire.
---

a) f est continue sur [a, b] 
b) f et g sont dérivables sur ]a, b[;
    f'(z)  0,  ]a, b[
]a, b[, tel que 
 g'(c)/f'(c) = [g(b)-g(a)]/[f(b)-f(a)]

Deux autres théorèmes.

 ThĂ©orème de Bolzano. - Si une fonction f est continue sur l'intervalle fermĂ© [a, b] et prend des valeurs de signes opposĂ©s aux extrĂ©mitĂ©s dudit intervalle, il existe au moins une valeur x appartenant Ă  l'intervalle l'intervalle ]a, b[ et telle que que f(x) = 0.

• ThĂ©orème de Darboux. - Si une fonction f est continue sur l'intervalle fermĂ© [a, b], et que que f (a) f (b), alors, elle prend toutes les valeurs y telles que f (a)  f (b).


Règle de L'Hôpital.
On a dit plus haut qu'il peut apparaĂ®tre dans le calcul de limites des expressions dites formes indĂ©terminĂ©es (des types -, 0/0, etc.). Dans certains cas, l'indĂ©termination peut ĂŞtre levĂ©e par des manipulations algĂ©briques (= par l'application de procĂ©dĂ©s ou d'opĂ©rations ordinaires de l'algèbre). Dans d'autres cas, de telles manipulations ne suffisent pas. On recours alors gĂ©nĂ©ralement Ă  un thĂ©orème, appelĂ© la règle de L'HĂ´pital (ou de (Johann) Bernoulli-L'HĂ´pital), qui, sous certaines conditions, permet de lever l'indĂ©termination.

La règle de De l'HĂ´pital concerne en propre la levĂ©e des formes indĂ©terminĂ©es 0/0 et /. Pour lever les autres formes indĂ©terminĂ©es on devra  rĂ©Ă©crire l'expression dont on cherche la limite de telle sorte ces deux formes apparaissent.
---

a) f et g sont dĂ©rivables  sur ]a, b[, 
     sauf, au plus, en c  [a, b]

b) g'(x) 0,  x ]a, b[, 
    oĂą g est dĂ©rivable

c) lim f(x)/g(x) = 0/0 (ou ±/±*)
   c

d) lim f'(x)/g'(x) = L, L ou est remplacé par ±
   c

 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
   c           x  c
*Avec un changement approprié du domaine de définition.

Remarques :

• La règle de L'Hôpital est aussi applicable si x, au lieu de de tendre vers une valeur finie c, tend vers ±, à condition que f et g soient dérivables sur ]k, + [ ou ]-, -k[, où k est un réel positif.

• La règle est encore applicable dans le cas où toutes les limites sont seulement à droite (ou à gauche). Dans ce cas c peut être égal à a ou à b.

• L'indétermination n'est pas toujours levée par une seule dérivation. Il convient alors de réitérer la règle de L'Hôpital, c'est-à-dire de dériver la fonction autant de fois que nécessaire pour lever l'indétermination.
Principes de l'étude d'une fonction numérique.
Etudier une fonction signifie en déterminer le maximum de propriétés. On doit, pour commencer en spécifier le domaine de définition. Il est utile ensuite de chercher à identifier les symétries (la fonctions est-elle paire ou impaire, périodique, etc.). cela permet de réduire l'étude à seulement un sous-ensemble du domaine de définition. On peut, à partir de là, commencer l'étude proprement dite : la fonction est-elle continue et sur quels intervalles? Si c'est le cas, quelles sont ses limites aux bornes des intervalles où elle est continue? On étude ensuite le sens de variation; l'outil principal ici étant une discussion sur le signe de la dérivée. L'ensemble des résultats obtenus à ce point peut se synthétiser sous la forme du tableau de variation de la fonction. D'autres éléments peuvent être ajoutés éventuellement à cette étude : l'étude des branches infinies et des asymptotes, la détermination des points remarquables tels que les points d'inflexion. On termine par la représentation graphique de la fonction.

Calcul intégral

Le calcul intĂ©gral a deux versants qui peuvent s'aborder au travers des notions d'intĂ©grale dĂ©finie et de primitive. 
• L'intĂ©grale dĂ©finie d'une fonction f n'est pas une fonction, mais un nombre associĂ© Ă  cette fonction sur un intervalle donnĂ© : ce nombre fait rĂ©fĂ©rence Ă  l'effet total ou cumulĂ© d'un processus de changement, Ă  ce que l'on appellera ici, faute de meilleur terme, l' « accumulation» d'une certaine quantitĂ© (dĂ©finie par f) dans ledit intervalle. 

• Les primitives d'une fonction, quant Ă  elles sont des bien fonctions : elles se dĂ©terminent par une opĂ©ration inverse Ă  celle de la dĂ©rivation : on appelle primitive de la fonction f toute fonction dont la dĂ©rivĂ©e est f. 

Dans l'un et l'autre cas, l'opération par laquelle on obtient le résultat cherché s'appelle une intégration.

Par sa dĂ©finition mĂŞme, la notion de primitive fait le lien entre le calcul intĂ©gral et le calcul diffĂ©rentiel.  Le lien qui existe entre une primitive et une intĂ©grale dĂ©finie est plus difficile Ă  apprĂ©hender. 

On peut comprendre intuitivement à quoi correspond le taux de variation d'une fonction f en un point. Lorsque quelque chose change selon une loi donnée par f, le calcul différentiel permet de déterminer à chaque instant, en dérivant f, l'ampleur du changement : il est donné par la loi f' (dérivée). Mais de quoi f mesure-t-elle la variation? La réponse est que le calcul intégral porte, lui, une idée d'accumulation : il sert à exprimer, en intégrant f, la loi F (primitive) selon laquelle s'accumulent ces changements. Une fois connue cette loi, il est possible de mesurer cette accumulation entre deux points donnés, ce qui correspond, donc, à ce qu'on appelle l'intégrale définie.

Une approche graphique de l'intégrale définie donnera une meilleure idée de ce dont on parle.

L'intĂ©grale dĂ©finie. 
Soit la courbe reprĂ©sentative d'une fonction f Ă  une variable rĂ©elle considĂ©rĂ©e sur un intervalle [a, b]. (Dans cet exemple particulier, la fonction est supposĂ©e continue et Ă  valeurs positives sur l'intervalle). La surface sous-tendue par cette courbe (en bleu) est l'ensemble des points (x, y) tels tel que x appartient Ă  l'intervalle [a, b] et y appartient Ă  l'intervalle [0, f(x)]. On appelle aire algĂ©brique la mesure de cette surface. 

Figure 3. - Aire algébrique sous-tendue par la courbe y = f(x).
(y est dans cet exemple toujours positif. Mais, dans le cas d'autres fonctions,
des portions ou même la totalité de la courbe, pourraient aussi,
correspondre Ă  des y=f(x)  nĂ©gatifs : dans ces portions, on affecterait l'aire 
du signe moins (-), contrairement Ă  ce que l'on ferait 
pour calculer une aire géométrique).

Notre propos maintenant est, en s'appuyant sur le graphique, de  dĂ©terminer la valeur I de cette aire Ă  partir de la connaissance de f et de [a, b]. 

DĂ©termination de l'aire sous-tendue.
Une valeur approchĂ©e de l'aire sous-tendue s'obtient en choisssant un point d'abscisse  entre a et b, pour ensuite calculer l'aire A sous-tendue par le segment de la droite d'Ă©quation y = f() entre a et b. Ce calcul est simple, puisqu'on a affaire Ă  un rectangle-: A = f().(b-a), mais cette approximation de I est très grossière. 

On peut faire beaucoup mieux. Au lieu de considĂ©rer l'intervalle [a, b] dans sa totalitĂ©, on le subdivise en n sous-intervalles (ce qui revient Ă  dĂ©finir une subdivision D = (x0,... xn) de [a, b]), et l'on calcule l'aire sous-tendue pour chaque intervalle de la mĂŞme façon que prĂ©cĂ©demment. Cela revient Ă  dĂ©finir une fonction en escalier  judicieusement «-calĂ©e» sur f, est-Ă -dire Ă©tagĂ©e sur la subdivision D, et dont la valeur sur tout intervalle ]xi-1, xi[ est i = (i) =  f(i), i, Ă©tant un rĂ©el quelconque de l'intervalle ]xi-1, xi[.  Une telle fonction en escalier est appelĂ©e fonction de Riemann relative Ă  f

On pourra ensuite calculer l'aire sous-tendue par la courbe reprĂ©sentative de , qui est la somme des aires sous-tendues par chaque morceau de cette courbe. 
 
 


Figure 4 - Approximation de f (en bleu)
par une fonction en escalier (en vert).
Chaque subdivision de la fonction en escalier est identifiée
par un indice (un entier positif) i, compris entre 1  et n.

L'aire sous-tendue correspondant Ă  la subdivision i (la marche de notre escalier en vert sur le graphique) est :

f(i).(xi-xi-1), soit i.(xi-xi-1
Et, en utilisant le symbole  (= somme),  la somme  I() des aires de chaque morceau peut alors s'exprimer comme suit : 
I() =
Le rĂ©el I() dĂ©fini comme la somme de tous les produits i.(xi-xi-1), pour i variant de 1 Ă  n, est aussi appelĂ© intĂ©grale de  sur [a, b], ou somme de Riemann relative Ă  f, ou encore, intĂ©grale au sens de Riemann de la fonction en escalier  sur [a, b].
Note : rien ne contraint la subdivision de l'intervalle [a, b], et, partant, rien n'oblige Ă  choisir une mĂŞme largeur pour chaque marche, c'est ce qui nous fait conserver l'indice i attachĂ© Ă  cacune d'elle. Mais rien n'interdit non plus de considĂ©rer ces marches comme Ă©gales. xi peut alors s'Ă©crire x, ce qui, sans rien changer au fond, allègera la discussion Ă  venir et, dĂ©jĂ , l'Ă©criture. La formule prĂ©cĂ©dente pourra alors s'Ă©crire :
I(
A ce point, on ne dispose encore, avec I(), que d'une valeur approche de l'aire I sous-tendue par la courbe reprĂ©sentative de f :  I( I. Mais la solution est dĂ©sormais Ă  portĂ©e de main : elle tient en un passage Ă  la limite.

L'intégrale définie. Définition et notation.
L'approximation de f par  est d'autant meilleure que le nombre de subdivisions n tend vers l'infini (n  +), autrement dit que la diffĂ©rence x  tend vers zĂ©ro. 

On dĂ©finit alors I , comme la limite de la somme de Riemann relative Ă  f (entre i=1 et n) quand  0 (quand  0, on convient de noter cette quantitĂ© dx) :

I , somme de a à b de f(t).dt, est l'intégrale (au sens de Riemann) de la fonction f sur l'intervalle [a, b]
--
Dans l'expression    a et b sont les limites d'intĂ©gration.

est l'intĂ©grateur. (C'est l'opĂ©rateur associĂ© Ă  
  l'intĂ©gration).

  f(t) est l'intĂ©grande.

  dt est la diffĂ©rentielle de t et indique la variable
  par rapport Ă  laquelle f est dĂ©rivĂ©e.

Note sur les variables muettes : dans l'expression ci-dessus la variable t (au mĂŞme titre que x dans l'expression prĂ©cĂ©dente) est appelĂ©e une variable muette. Elle est nĂ©cessaire Ă  la cohĂ©rence de l'expression de l'intĂ©grale, mais aucune valeur ne peut leur ĂŞtre assignĂ©e pour effectuer un calcul. La valeur de l'expression dĂ©pend des limites d'intĂ©gration et de la fonction, pas de t. 
Interprétation de l'intégrale définie.
On a utilisĂ© plus haut le terme vague et gĂ©nĂ©ral d'accumulation pour interprĂ©ter la signification d'une intĂ©grale. C'est bien cette mĂŞme signification qui est sous-jacente Ă  la manière de dĂ©finir une intĂ©grale Ă  partir d'une sommation, qu'elle soit symbolisĂ©e par  (cas de la sommation de quantitĂ©s  discrètes) ou par  (cas de la sommation de quantitĂ©s infinitĂ©simales). Les intĂ©grales portent ainsi toujours en elles cette mĂŞme idĂ©e, qui peut se dĂ©cliner de diverses manières. Voici quelques exemples- :
• Comment calculer une surface ou le volume d'une figure gĂ©omĂ©trique, c'est-Ă -dire d'une figure dont les contours peuvent ĂŞtre dĂ©finis par une fonction? De le mĂŞme façon qu'on a calculĂ© l'aire sous-tendue par la courbe d'une fonction, le rĂ©sultat cherchĂ© pourra ĂŞtre obtenu par une intĂ©gration. 
Il est Ă  noter que, bien avant l'Ă©laboration du calcul intĂ©gral, Archimède put calculer des aires de figures gĂ©omĂ©triques (par exemple l'aire sous-tendue par une parabole), avec une approximation aussi grande que voulue, en utilisant  un procĂ©dĂ© (la mĂ©thode d'exhaustion, dont l'invention est attribuĂ©e Ă  Eudoxe) qui consiste Ă  faire la somme d'aires de figures faciles Ă  calculer de plus en plus petites.
• La dĂ©pense d'un mĂ©nage  pour ses courses peut ĂŞtre modĂ©lisĂ©e par une fonction en escalier c(i) (chaque Ă©chelon correspondant Ă  un acte d'achat). A la fin du mois, quelle somme totale aura Ă©tĂ© dĂ©pensĂ©e? La rĂ©ponse sera donnĂ©e par le calcul d'une intĂ©grale.

• Un vĂ©hicule se dĂ©place Ă  une certaine vitesse, fonction du temps v(t). A un instant donnĂ©, quelle distance L aura-t-il parcouru, combien de kilomètres aura-t-il accumulĂ©? La rĂ©ponse sera  aussi donnĂ©e par le calcul d'une intĂ©grale.

• De l'eau se déverse dans un récipient selon un débit qui est fonction du temps r(t). A un instant donné, quel sera le volume V d'eau accumulée dans le récipient? Ici encore réponse sera donnée par le calcul d'une intégrale.

• L'énergie reçue du Soleil par un panneau solaire varie en fonction des saisons, de l'alternance du jour et de la nuit et de la couverture nuageuse. Au bout d'un an, combien d'énergie, susceptible d'être transformé en électricité, aura-t-il reçu? La réponse (qui en l'occurence n'aura qu'une valeur statistique à cause des aléas météorologiques), pointe une fois de plus vers un recours au calcul intégral.

• Une culture de bactéries se développe à un taux variable. Ici encore, le calcul intégral pourra être utilisé pour calculer la quantité de bactéries au bout d'une certaine durée.

Propriétés des intégrales.
On dit qu'une fonction f est intĂ©grable au sens de Riemann sur un intervalle [a, b], si et seulement si il existe un unique rĂ©el If tel que quel que soit  > 0, il existe  tel que quelle que soit , une fonction de Riemann relative Ă  f, de pas strictement infĂ©rieur Ă  , la somme de Riemann correspondante diffère de If de moins de .
v Toute fonction continue ou monotone par intervalles sur [a, b] (cela concerne aussi les fonctions en escalier) sont intégrables au sens de Riemann sur [a, b].
Les fonctions (f, g, ...) intégrables au sens de Riemann sur un intervalle [a, b] possèdent les propriétés suivantes :

Somme de deux intégrales de fonctions.

Produit d'une intégrale par une constante réelle K.
Relation de Chasles.
., pour tout c  [a, b]
Certaines conventions de notation reposent sur cette propriété; ainsi, si on change les bornes d'intégration, le signe de l'intégrale change :
Lorsque les bornes d'intégration sont égales, l'intégrale est égale à 0 :
Comparaisons d'intégrales. Monotonie.
Si f(x)  g(x), alors : 
Si f(x)  g(x), alors : 

Si f(x)  g(x), alors : 

Théorème de la moyenne.
Si f est continue sur l'intervalle, alors  [a,b] tel que :
,

soit : 

Primitives et intégrales indéfinies.
Avec une intĂ©grale dĂ©finie, on s'intĂ©resse Ă  un nombre, qui dans notre exemple, est l'aire d'une surface sous-tendue par la courbe d'une fonction entre deux constantes, a et b. Elle fournit ainsi une image statique de l'idĂ©e d'accumulation. Mais l''idĂ©e d'accumulation peut s'aborder aussi d'une manière plus dynamique en faisant varier une des bornes de l'intĂ©grale dĂ©finie : disons que la constante b est maintenant remplacĂ©e par la variable x, et que l'on fait varier celle-ci Ă  partir de x = a. Il apparaĂ®t alors que l'aire sous-tendue varie aussi. 

En susbstituant la variable x Ă  la constante b, on  changĂ© la nature de l'intĂ©grale de la fonction f considĂ©rĂ©e. Celle-ci n'est plus une intĂ©grale dĂ©finie, un nombre I dont la valeur dĂ©pend de deux constantes a et b. C'est devenu une fonction intĂ©grale indĂ©finie, autrement dit une fonction F dont la valeur dĂ©pend de la variable x.

Si f est une fonction rĂ©elle intĂ©grable sur [a, b], la fonction F : [a, b]  dĂ©finie par :

reçoit le nom de fonction intégrale indéfinie ou fonction intégrale de f correspondant au point a.

La fonction intégrale indéfinie s'obtient à partir de l'intégrale définie en rendant la limite supérieure de l'intégrale x variable, tout en conservant la limite inférieure fixe.

Notez bien ici que x est la seule variable sur laquelle agisse la fonction; comme on l'a remarqué plus haut, t est une variable muette... et n'a donc pas son mot à dire en l'occurence.
On va montrer f est la dĂ©rivĂ©e de F. Il suffit pour cela de dĂ©river F, ou plus prĂ©cisĂ©ment de chercher la valeur F'(x0) de la dĂ©rivĂ©e de F en x0. En revenant Ă  la dĂ©finition de la dĂ©rivĂ©e, on pourra Ă©crire pour F' : 
 d'oĂą :

Le premier et le troisième terme de la somme s'annulent et le théorème de la valeur moyenne assure de l'existence d'un nombre c dans l'intervalle [x0, x0+h] si h >0 (ou [x0+h, x0] si h <0] ) tel que :
 

(La dĂ©monstration ci-dessus ne vaut en rĂ©alitĂ© que pour x0 appartenant Ă  l'intervalle ]a, b[, mais, pour x0 = a ou x0 = b, il suffira de considĂ©rer respectivement les limites quand  h0- ou quand h0+).

La dérivée de F est bien f comme attendu. On dit que F est une primitive de f :

• Soit une fonction f : [a, b]  , on donne le nom de primitive de f Ă  toute fonction F : [a, b]  dĂ©rivable sur l'intervalle [a, b] et dont la dĂ©rivĂ©e est f dans ce mĂŞme intervalle. Autrement dit : F'(x) = f (x),  [a, b] .
Toutes les fonctions n'ont pas de primitives; seules les fonctions intégrables en possèdent.

On remarquera encore que si F(x) est une primitive d'une fonction f (x), alors la différentielle dF est donnée par dF = F'(x).dx = f(x).dx. Ce qui permet d'écrire :

On retrouve ici l'idĂ©e Ă©noncĂ©e plus haut Ă  partir d'une intuition graphique que l'intĂ©grale (symbolisĂ©e par )  correspond bien Ă  une sommation d'un continuum de quantitĂ©s infinitĂ©simales. 

Théorème fondamental de l'analyse.
Le paragraphe précédent atteste de l'existence d'un lien entre différenciation et intégration. Reste à voir comment exploiter ce lien pour calculer des intégrales. Cela se fait à partir des méthodes fournies par le théorème fondamental du calcul intégral. Avant de l'énoncer, il convient de mettre en exergue plusieurs propriétés des primitives et des fonctions intégrales définies.

Les primitives d'une fonction remplissent  les conditions suivantes:

• Si F est une primitive de f dans [a, b], alors elle admet comme primitives les fonctions G(x) = F(x) + C, où C est une valeur réelle quelconque. (Cela vient de ce que la dérivée d'une fonction constante est nulle).

• Si une fonction a une primitive alors elle admet une infinité de primitives. (C'est la conséquence directe de la proposition précédente, puis C peut prendre une infinité de valeurs).

• Si F et G sont des primitives de la mĂŞme fonction f sur [a, b], alors il existe une constante C telle que F(x) - G(x) = C,  [a, b].

• L'ensemble de toutes les primitives de f est appelĂ© l'intĂ©grale indĂ©finie de f et est notĂ©  f (x).dx. Soit :

.f(x).dx = F(x) + C.
Récapitulatif du vocabulaire : l'intégrale définie est un nombre; la fonction intégrale indéfinie est une fonction considérée en tant que primitive d'une fonction donnée; l'intégrale définie est une classe ou un ensemble de fonctions (toutes les primitives d'une fonction données, qui ne diffèrent entre elles que par une constante).
Les fonctions intégrales indéfinies, quant à elles, ont des propriétés importantes qui dépendent de la fonction à intégrer :
• Si f est intégrable sur un intervalle compact, alors F est continue sur cet intervalle.

• Si f est continue sur [a, b], alors F est dĂ©rivable sur [a, b] et sa dĂ©rivĂ©e est F'(x) = f (x),  [a, b].

Ce dernier Ă©noncĂ© constitue le premier thĂ©orème fondamental de l'analyse (ou premier thĂ©orème fondamental du calcul intĂ©gral). 

Notez que quelle que soit la valeur prise par a, on aura :

De plus, lorsque f est continue (une condition requise par le théorème fondamental du calcul intégral), les concepts de primitive et de fonction intégrale indéfinie coïncident, bien qu'ils aient été définis différemment.
• Si f est continue, elle admet des primitives mais si elle cesse d'être continue à un moment donné de l'intervalle, même si elle continue d'être intégrable (et admet donc une intégrale indéfinie), elle peut ne pas admettre de primitives.
Une conséquence immédiate du premier théorème fondamental du calcul est qu'il nous fournit une méthode pratique pour calculer des intégrales, c'est-à-dire pour trouver des primitives. Voyons un corollaire pour lequel l'existence des primitives est supposée connue :
• Règle de Barrow. Si f : [a, b]  est continue sur l'intervalle de dĂ©finition et si G : [a, b]  est une primitive de f sur ledit intervalle, alors on vĂ©rifie que :
Remarque : la diffĂ©rence G(b) - G(a) est ordinairement notĂ©e : 
Sous certaines conditions, la règle de Barrow continue à être valable même si f n'est pas continue. On peut alors dire que :
Si une fonction f est intĂ©grable sur l'intervalle [a, b] :  et si G est une primitive de f sur [a, b], alors on a :
• Ainsi conditionnée, cette dernière expression correspond au deuxième théorème fondamental du calcul intégral ou théorème fondamental du calcul intégral (ou de l'analyse) proprement dit.
Méthodes d'intégration.
Le calcul intégral est en règle générale beaucoup plus difficile que le calcul différentiel et le calcul d'une primitive peut être très laborieux. On donnera plus loin quelques méthodes permettant de se tirer d'embarras dans de nombreuses siuations, mais il est déjà possible de déduire plusieurs résultats des propriétés déjà établies par le calcul différentiel entre les fonctions et leurs dérivées et, partan,t entre les fonctions et leurs primitives quand elles existent.

Opérations sur les primitives.
On considère dans ce qui suit deux fonctions f et g dĂ©finies sur un mĂŞme intervalle J de, dĂ©rivables sur J (avec pour dĂ©rivĂ©es f' et g'), un rĂ©el  et un rationnel r-1. On peut dĂ©duire des règles gĂ©nĂ©rales Ă©noncĂ©es plus haut pour les dĂ©rivĂ©es, les règles suivantes pour les primitives :

1°) f+g  primitive sur J de f'+g'

2°) f primitive sur J de f'

3°) fg primitive de f'g+fg'

4°)  f/g primitive sur J de (f'g-fg')/g² (si 1/g dĂ©finie sur J).

5°) (fr+1)/(r+1) est une primitive sur J de f'fr (si fr est définie sur J).

La première règle permet de comprendre que si une fonction possède une primitive alors elle en possède une infinitĂ©. Pour le dĂ©montrer, il suffit de remarquer qu'une fonction constante C(x) = k a pour dĂ©rivĂ©e C'(x) = 0,  si bien que si F est la primitive de f, alors toutes les fonctions de type F+C ont aussi pour dĂ©rivĂ©e f et donc, corrĂ©lativement, si f a pour primitive F elle a aussi pour primitives toutes les fonctions F+C.  La valeur k prend le nom de constante d'intĂ©gration.
Primitives de fonctions usuelles.
Les fonctions dont on peut donner une primitive sans presque aucun calcul sont celles que l'on connaĂ®t dĂ©jĂ  en tant que dĂ©rivĂ©es. Il suffit donc de reprendre un tableau de dĂ©rivĂ©es usuelles, comme celui donnĂ© plus haut par exemple, et d'en changer les en-tĂŞtes pour disposer Ă  peu de frais de quelques primitives  :

Primitives de fonctions usuelles

Primitive
F(x)
Fonction
f(x)
k (constante)
x
cx
xc
(1/c+1)xc+1
ecx
In x
ax(a>0)
0
1
c
cxc-1
xc
cecx
1/x
ax ln a
Primitive
F(x)
Fonction
f(x)
sin x
1/a sin (ax+b)
cos x1
tan x1
cotan x1
arcsin x
arccos x
arctg x
cos x
cos (ax+b)
-sin x1
1/cos² x1
cos² x1
1/rac(1-x²)
-1/rac(1-x²)
1/(1+x²)

Cela semble un résultat excessivement modeste, mais il peut être très utile si l'on parvient, par une manipulation algébrique, à ramener (en partie ou en totalité) l'expression de la fonction dont cherche une primitive à une combinaison de termes ayant une primitive déjà connue. On a donc intérêt, quand on aborde le calcul intégral, à connaître par coeur un maximum de dérivées de fonctions usuelles.

Il existe de nombreuses mĂ©thodes d'intĂ©gration qui permettent d'aller plus loin. Certaines concernent certains types de fonctions (trigonomĂ©triques, exponentielles, polynomiales, etc.), d'autres, comme les deux qui suivent, sont plus gĂ©nĂ©rales. Avec un de la pratique, lorsqu'elles sont applicables, elles peuvent simplifier considĂ©rablement le travail d'intĂ©gration. 

Intégration par substitution.
Soient f, une fonction intĂ©grable sur l'intervalle [a, b], et g, une fonction dĂ©rivable et de dĂ©rivĂ©e continue sur l'intervalle [], avec  = g-1 (a),  = g-1 (b) et g([]) = [a, b]. On peut Ă©crire alors, dans le cas de l'intĂ©grale dĂ©finie :

Si l'on s'en tient à considérer l'intégrale indéfinie, cela devient :
A première vue, il semblerait qu'on n'a fait qu'ajouter des complications à quelque chose qui d'emblée n'était déjà pas très simple. En réalité, cette formule permet de se tirer d'embarras dans de nombreuses situations.
Exemple (cas d'une ntégrale indéfinie) : On cherche à intégrer :
.(sin x)5.cos x.dx
1) On pose sin x = t, dont il suit que cos x.dx = dt

2) Avec ce changement de variable, l'intĂ©grale devient : t5.dt, qui est facile Ă  intĂ©grer (voir le tableau des primitives usuelles).

3) Au final :(sin x)5.cos x.dx = t5.dt = u6/6 + C

On constate dans cet exemple (mais c'est très général) que dans une intégration par substitution, la principale difficulté réside dans le choix judicieux qui doit être fait pour le changement de variables.

Exemple (cas d'une intégrale définie). - On cherche à intégrer :

1) On remarque que 2x est la dérivée de x²+1. On a donc avantage à poser- : t = x²+1, dont il suit que dt=2x.dx.

2) Avec ce changement de variable, les limites deviennent : 1 et 10, et la question posĂ©e revient Ă  intĂ©grer : 

., soit : 
3) On dĂ©duit du tableau des primitives usuelles, que la fonction F : t 2/3.t3/2  est une primitive de la fonction f : t t1/2 .

4) Le théorème fondamental du calcul intégral conduit alors à écrire :

.
Intégration par parties.
L'intĂ©gration par parties repose sur la règle de dĂ©rivation d'un produit de fonctions. 

Soient f et g deux fonctions continues possédant des dérivées continues sur l'intervalle [a, b]. Le produit f.g est une primitive de (f.g)'. On a vu plus haut que : (f.g)' = f.g'+f'.g. Le poroduit f.g est donc une primitive de f.g'+f'g. Cela est vrai aussi pour tout intervalle [a, x] inclus dans [a,b]. Il est alors possible d'écrire, pour tout x appartenant à [a, b] :

Autrement dit :
Lorsque x=b , la relation exprime la valeur de l'intégrale définie :
On parle d'intĂ©gration par parties, lorsque on applique cette relation pour calculer une primitive de f.g', au lieu de calculer une primitive de f'.g. On peut chercher Ă  utiliser cette mĂ©thode chaque fois que l'on a Ă  faire au produit de deux fonctions et que le rĂ©sultat n'est pas trivial; son l'intĂ©rĂŞt apparaĂ®t plus clairement quand les primitives de f.g' sont plus faciles Ă  trouver que celles de f'.g. 
Exemple : On cherche Ă  intĂ©grer x.sin x dx
1) On pose : f(x) = x et dg(x) = sin x.dx (soit g'(x) = sin x).

2) D'où (d'après les tableaux donnés précédemment) : f'(x) = 1 et g (x) = -cos x.

3) Il suffit d'appliquer la formule de l'intégration par parties pour obtenir :

Il est possible qu'une seule intĂ©gration par parties ne permette pas de rĂ©soudre le problème posĂ©, et qu'il faille rĂ©itĂ©rer le calcul sur la partie restant exprimĂ©e  sous la forme d'une intĂ©grale.
Exemple : On cherche Ă  intĂ©grer x².ex.dx.
1) On pose : f(x)=x² et dg(x) = ex.dx.

2) D'oĂą : df(x)=2x.dx et g(x) = ex.

3) Et donc, en appliquant la formule de l'intégration, par parties :

===x².ex.dx = x².ex - 2.x.ex.dx.
4) D'oĂą f1 = x1 et df1 = dx; dg1= ex.dx, g1 = ex.

5) L'intégration par parties donne :

.x.ex.dx = x.ex -ex.dx = x.ex - ex + C
6) Au final : 
.x².ex.dx=x².ex-2(x.ex -ex)+C=x².ex-2x.ex+2ex+C 
   soit, en factorisant : 
.x².ex.dx = ex. (x²-2x+2) + C.
Les deux exemples précédents concernaint seulement des intégrales indéfinies. Lorsqu'on a affaire à une intégrale définie, une bonne stratégie consiste a d'abord évaluer l'intégrale indéfinie et seulement ensuite à évaluer les limites.

Généralisation de la notion d'intégrale.
Intégrales au sens de Riemann.
Dans cette page on ne traite que de l'intĂ©grale au sens de Riemann. Comme on l'a vu plus haut il s'agit de l'intĂ©grale d'une fonction bornĂ©e et dĂ©finie sur un intervalle fermĂ© et adossĂ©e Ă  la dĂ©finition d'une unique fonction escalier dont elle est la limite. 

Intégrales au sens de Stieltjes.
Un autre type d'intĂ©grale est dĂ©finie Ă  partir de deux fonctions f et g dĂ©finies sur un intervalle fermĂ© comme dans le cas de l'intĂ©grale de Riemann. Mais ici l'intĂ©grale est construite Ă  partir de la somme :  f(i).[g(xi)-g(xi-1)]. Si lorsque les sous-intervalles tendent vers zĂ©ro la limite existe (indĂ©pendamment du choix des points xi et i), alors cette limite est appelĂ©e intĂ©grale au sens de Stieltjes (ou intĂ©grale au sens de Riemann-Stieltjes). L'intĂ©grale de Riemann correspondant au cas ou g(x) = x.

Intégrales impropres.
Lorsqu'on a des intĂ©grales avec des limites d'intĂ©gration infinies ou des intĂ©grales avec des intĂ©grants non bornĂ©s, on parle d'intĂ©grales impropres. 

Intégrales au sens de Lebesgue.
Mentionnons encore pour mĂ©moire l'intĂ©grale au sens de Lebesgue, dont la notion  relève de l'Ă©tude gĂ©nĂ©rale de l'analyse fonctionnelle. Elle est plus difficile d'accès et fait appel aux notions de la thĂ©orie de la mesure. Le domaine d'intĂ©gration implique des sous-ensembles de n partitionnĂ©s en sous-ensembles mesurables.

.


Dictionnaire Idées et méthodes
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