La trigonométrie

Dans la division classiquement adoptée pour l'enseignement, la trigonométrie rectiligne ou euclidienne s'est constituée autour de trois chapitres distincts : études des fonctions circulaires; construction des tables trigonométriques; résolution des triangles. Une classification qui s'est avérée des plus fâcheuses et des moins logiques, comme le remarquait Laisant, il y a un siècle : 

Les choses qu'on enseigne en trigonométrie sont très intéressantes et utiles, mais elles ne sont pas à leur place, et c'est souvent une cause de confusion dans les idées pour beaucoup de débutants. Il est certain, en effet, que l'étude des fonctions circulaires est du domaine de l'algèbre, bien que leur définition élémentaire rationnelle exige des considérations géométriques et une première notion des coordonnées. La construction des tables est une suite d'opérations de calcul qui relèvent de l'arithmétique. C'est à la troisième partie seule que devrait raisonnablement. appartenir le nom de trigonométrie. Ce vice d'organisation dans cette partie de l'enseignement provient, comme bien d'autres, du découpage excessif qu'on a voulu faire entre l'algèbre et la géométrie, et de la répugnance à introduire dans chaque science, dès le début, les idées utiles empruntées à une science voisine, même lorsqu'elles sont simples et qu'elles peuvent jeter une grande lumière sur le sujet, qu'on étudie. La notion des coordonnées, par exemple, la théorie des projections, devraient prendre place dans l'enseignement tout à fait élémentaire. (C.-A. Laisant).

Relations entre les côtés et les angles d'un triangle plan

Un angle a pour mesure l'arc de cercle compris entre ses côtés, et décrit de son sommet comme centre avec un rayon quelconque. En trigonométrie, ou emploie indifféremment les mots arc et angle.

Il est difficile d'établir les relations qui existent entre les côtés d'un triangle et les arcs qui en mesurent les angles; aussi remplace-t-on dans les calculs la valeur des arcs par celle de certaines lignes qui en dépendent et dont la longueur varie avec la grandeur de ces arcs. Les arcs étant connus, ces lignes le sont aussi et réciproquement. Elles prennent le nom de lignes trigonométriques.

Ces lignes trigonométriques sont le sinus, la tangente, la sécante, le cosinus, la cotangente, la cosécante (d'autres pourraient être définies mais n'on pas d'intérêt pratique).

Relations trigonométriques dans un triangle rectangle.
Il convient de considérer d'abord un triangle rectangle dont l'un des deux angles aigus sera noté  et dont les côtés sont notés : a (= côté adjacent ou base); b ( = côté opposé ou hauteur); c ( = hypothénuse). 

Cosinus et sinus d'un angle.
On définit les sinus et les cosinus des angles aigus d'un triangle rectangle de la façon suivante : 

• Le cosinus de l'angle a (noté cos a) est égal au rapport de la longueur du côté adjacent a à la longueur de l'hypoténuse c : 

cos  = a/c

• Le sinus de l'angle a (sin a) est égal au rapport de la longueur du côté opposé b à la longueur de l'hypoténuse c-: 

sin  = b/c

• La tangente de l'angle aigu a (tan a) est égale le rapport de la longueur du côté opposé b à la longueur du côté adjacent a :

tan  = b/a, d'où : tan  = sin  / cos 

• La cotangente est le quotient de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé : 

cotan  = a/bP, soit cotan  = 1/ tan 

• La sécante est le quotient de la longueur de l'hypothénuse par la longueur du côté adjacent : 

sec  = c/a, soit sec  = 1/ cos 

• La cosécante est le quotient de la longueur de l'hypothénuse par la longueur du côté opposé : 

cosec  = c/b, soit cosec  = 1/sin 

Identités pythagoriciennes.
Les définitions du cosinus et du sinus permettent d'écrire : a = c.cos et b = c. sin . En appliquant le théorème de Pythagore, aura : c²cos²   + c². sin²  = c². Il suffit alors de diviser tous les termes par c² pour obtenir la relation qui existe entre le sinus et le cosinus d'un angle  :

cos²  + sin²  = 1

tan²  +1 = sec² 
1 +cot²  = cosec² 

(Elles s'obtiennent en divisant les termes de la première relation respectivement par cos²  et sin² , puis en remplaçant les rapports ainsi obtenus par tan, sec, cot et cosec, d'après les définitions données plus haut. Il suffit ensuite de simplifier).

On voit que ces relations ne dépendent pas du triangle considéré. 

Résolution d'un triangle quelconque.
On considère maintenant un triangle quelconque OMP dont l'un des  angles sera noté  et dont les côtés adjacents sont notés : b et c; et le côté opposé a. L'angle  peut être un angle aigu comme sur la figure ci-dessous ou un angle obtus si le point O se trouve sur le segment O'M. Dans le premier cas on a  b2 = b- b1; dans le second cas, on aura : b2 = b + b1. 

Triangle quelconque (loi des cosinus).

Lois des cosinus.
Dans la cas de la figure ci-dessus ( angle aigu), si l'on nomme h la hauteur de ce triangle, on pourra écrire en appliquant le théorème de Pythagore : 

a² = h² + (b - b1)² et  c² = h² + b1² 

a² - c² = (b - b1)² - b1²

a² = c² + b² - 2bb1 + b1²- b1²

a² = c² + b² - 2bb1

OO'P étant un triangle rectangle, on a :  b1 =  c.cos . Il s'ensuit que :

a² = b² + c² - 2bc.cos 

Le même résultat serait obtenu avec  angle obtus. Et si l'on  l'angle dont le sommet est P et  celui dont le sommet est M, on obtient par permutation circulaire :

b² = a² + c² - 2ac.cos 

et

c² = a²+b² - 2ab.cos 

Loi des sinus.
La figure ci-dessous reproduit la précédente, mais en y ajoutant le segment k, perpendiculaire au segment c, formant donc un nouveau triangle rectangle dont le sommet N  correspond à l'angle droit.

Par définition du sinus on a  : sin  = h/c et  sin  = h/ a d'où : h = c. sin  = a. sin  ou encore : 

a/sin  = c/sin .

De même, on peut écrire : sin  = k/a et sin  = k/b,  d'où k = b. sin  = b. sin ,

a/sin   = b/sin 

a/sin   = b/sin  =  c/sin 

Cercle, triangles et lignes trigonométriques
Soit un cercle de rayon R = 1 (rayon égal à l'unité linéaire), et deux de ses diamètres perpendiculaires entre eux AA' et BB'. Soit de plus un angle quelconque AOP. L'arc AP que nous appellerons  est la mesure de l'angle AOP. Les segments PM, AT, sont menées perpendiculairement au diamètre AA'; BS et PN, perpendiculairement au diamètre BB'. Plusieurs triangles rectangles, dont les côtés sont nommés lignes trigonométriques, ont ainsi été construits :

Sinus et cosinus.
Le triangle OMP permet de définir le sinus et le cosinus.

• Le sinus d'un arc a, selon la définition donnée plus haut, est égal au rapport de la longueur du côté opposé (ici noté PM)  à la longueur de l'hypoténuse (OP). Or comme le rayon du cercle considéré est égal à 1  (OP = 1), il s'ensuit que sin  = PM. Autrement dit, le sinus d'un arc est la perpendiculaire abaissée de l'extrémité de l'arc sur le diamètre passant par l'origine de cet arc. 

• Le cosinus d'un arc, de la même façon, peut alors se définir comme la partie du rayon comprise entre le centre du cercle et le pied du sinus. On a cos  = OM = NP.

Tangente et sécante.
Le triangle OAT permet de définir la tangente et la sécante.

• La tangente, selon la définition donnée plus haut, est égale au rapport de la longueur du côté opposé (ici noté AT)  à la longueur du côté adjacent (OA). Comme la longueur du côté adjacent est égale à 1, tan  = AT. On peut dès lors donner le nom de tangente au segment de droite mené tangentiellement à l'arc depuis son origine A jusqu'au prolongement T du rayon passant par l'extrémité de cet arc.

• La  sécante, enfin, et partant du même raisonnement, peut être définie comme le segment de droite qui va du centre O à l'extrémité T de la tangente. On a donc sec  = OT. 

Le triangle OSB permet de définir la cotangente et la cosécante. Il suffit de remarquer que l'angle formé par les segments SB et SO est égal à l'angle . AT/OA = OB/BS, et puisque OA = OB = 1 : AT =1/BS ou BS = 1/AT, soit donc BS = 1/ tan . C'est, comme on l'a vu la définition de la cotangente :

• La cotangente est la longueur du segment de droite menée tangentiellement à l'arc depuis I'origine de son complément jusqu'à la rencontre du prolongement du rayon passant par l'extrémité de l'arc. On a cotan  = BS.

• La cosécante, en raisonnant de la même manier peut se définir comme la longueur du segment de droite qui va du centre à l'extrémité de la cotangente. On a cosec  = OS.

Trigonométrie sphérique

Les triangles sphériques.
La première différence à considérer est celle qui distingue les triangles sphériques et les triangles plans. 

• Dans un triangle sphérique, les côtés ne sont plus des segments de droites, mais des arcs de grands cercles tracés sur la sphère.

• Ces arcs étant mesurés par l'angle au centre (de la sphère) qui les définit, on n'a plus à considérer ici que des angles, alors que dans le plan, il s'agissait de considérer des angles et des longueurs.

• Il s'ensuit que dans un triangle sphérique les sinus, cosinus,  tangentes, etc. peuvent être définis non seulement pour les angles aux sommets, mais aussi pour les côtés.

• Dans un triangle sphérique, la mesure de la somme des angles aux sommets  est supérieure à celle de deux angles droits et inférieure à celle de 6 angles droits :  radians (180°) <  < 3. radians (540°). 

• Il existe des triangles sphériques dont les trois angles sont rectangles (la somme de la mesure des angles est alors égale  celle de 3 droits, soit 270° ou 3/2. radians). 

Les angles aigus ou obtus d'un angle sphérique sont appelés angles obliques. Lorsqu'un triangle sphérique n'a qu'un seul angle droit, le côté opposé s'appelle hypothénuse.

Triangle sphérique.

Donnons les principaux résultats de la trigonométrie sphérique.

Loi des cosinus.

cos a = cos b .cos c + sin b .sin c .cos A
cos A = -cos B .cos C + sin C .sin C .cos a

Loi des sinus.

sin A / sin a = sin B / sin b = sin C / sin c

tan² (A/2) = sin(s–b). sin(s–c) / sin s.sin(s–a) 
tan² (a /2) =  -cos(S). cos(S-A) / cos(S-B). cos(S-B) 

Cas des triangles rectangles.
Supposons que C est un angle droit. 

sin a = sin A. sin c = tan b. cotan B
sin b = sin B. sin c = tan a. cotan A
cos c = cotan A .cot B = cos a .cos b
cos A = cos a .sin B = tan b. cotan c
cos B = cos b. sin A = tan a .cotan c 

Fonctions circulaires

A chaque nombre réel x on fait correspondre un point P du cercle trigonométrique. P étant le point tel que l'angle orienté de Ox avec le vecteur OP ait une mesure en radians égale à x. 

Fonctions cosinus, sinus et tangente.
Par définition, on appelle :

• Le cosinus du nombre réel x la mesure algébrique de la projection sur Ox du vecteur OP; on peut aussi définir cos x comme l'abscisse du point P dans le repère OxOy.

• Le sinus du nombre réel x la mesure algébrique de la projection sur Oy du vecteur OP; on peut aussi dire que sin x est l'ordonnée du point P.

• La tangente du nombre x est définie comme étant le rapport de sin x à cos-x :

tan x = sin x / cos x

Note : Pour alléger l'écriture, on omet ordinairement les parenthèses lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion; en toute rigueur on devrait écrire : tan(x), sin(x), cos (x), etc.

Elles sont continues et périodiques, de période 2, c'est-à-dire que lorsque x augmente ou diminue d'un multiple entier de 2les fonctions circulaires reprennent la même valeur.

sin (x + 2 k) = sin x  (où k )
cos (x + 2k) = cos x

Ce sont des fonctions dérivables sur . La dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de la fonction sinus :

(cos x)' = - sin x

(sin x)' = cos x

Le tableau suivant résume les variations des fonctions sinus et cosinus dans l'intervalle [0, 2]. Les valeurs prises par ces fonctions évoluent entre +1 et -1. 

x	0---------/2-------------------3/2------ -2
y = sin x	0-------1------- 0---------1---------0
y = cos x	1------- 0 --------1---- ---- 0---------1

Leurs courbes représentatives sont appelées sinusoïdes :

Sinusoïdes (représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus).

Propriétés des fonctions tangente et cotangente.
La fonction tangente est définie pour tout x appartenant à  - {/2 - k}; la fonction cotangente x  - {k}; dans les deux cas k .

Les fonctions tangente et cotangente ont pour période  :

tan (x + k)  = tan x (où k )
cotan (x + k)  = cotan x 

Il suffit dès lors d'étudier leur variation dans un intervalle égal à ; prenons l'intervalle ]

/2, +/2[. Quand x croît dans cet intervalle, tan x croît dans l'intervalle ]

-

, +[. Et puisque cotan x = 1/ tan x, cotan x varie en sens inverse de tan x. On peut établir établir de tableau suivant :

x	-/2-----------0---------------/2
y = tan x	----------- 0------------+
y = cotan x	0------- | +---------  0

On voit que tan x et cotan x peuvent prendre toutes les valeurs de - à +. De plus,  y = tan x n'est pas définie pour x = /2 + k ; y = cotan x, pour x = k (avec k ).

Représentations graphique sdes fonction tangente et cotangente.

La dérivée de y = tan x est y' = 1/cos² x; celle de y = cotan x est y' = -1/sin² x.

Relations entre les différentes fonctions circulaires.

sin² x + cos² x = 1

1 + tan² x = 1/cos² x
1+ cotan² x = 1/sin² x

On retrouve donc des relations déjà vues en géométrie, la différence qu'on ne parle plus de l'angle , mais du nombre réel x. Et, de la même façon qu'on avait remarqué à propos des relations pythagoriciennes, qu'elles s'affranchissaient de la notion même de triangle, on peut souligner maintenant les fonctions circulaires peuvent s'envisager indépendamment de tout concept géométrique.

Formules d'addition.

cos (a + b) = (cos a.cos b) - (sin a.sin b)
sin (a+ b) = (sin a.cos b + (sin b.cos a)
tan (a + b) =  (tan a + tan b) / (1 - tan a. tan b)

cos (a-b) = (cos a.cos b) + (sin a.sin b)
sin (a-b) = (sin a.cos b) - (sin b.cos a)
tan (a - b) =  (tan a - tan b) / (1 + tan a. tan b)

cos a = (1-t²) / (1+t²)
sin a = 2t / (1 + t²)
tan a = 2t / (1 - t²)

cos a + cos b = 2 . cos (a+b) / 2 . cos (a-b) / 2
sin a + sin b = 2 . sin (a+b)/2 . sin (a-b) / 2

cos a - cos b = - 2 . sin (a+b) / 2 . cos (a-b) / 2
sin a - sin b = 2 . sin (a-b)/2 . cos (a+b) / 2

tan a + tan b = [sin (a+b)] / [cos a. cos b]
tan a - tan b = [sin (a-b)] / [cos a. cos b]

  • La sécante (sec) est une fonction périodique définie comme :

sec x = 1/cos x

• La cosécante (cosec) est  une fonction périodique définie  comme :

cosec x = 1/sin x

• La cotangente (cotan) est la fonction définie comme :

cotan x = 1/ tan x

Fonctions circulaires réciproques.
La notion de fonction réciproque répond qu'à l'image d'une fonction on peut associer par une autre fonction (la fonction réciproque) l'antécédent de cette image. Pour qu'une fonction ait une réciproque, il faut que cette fonction soit bijective (toute image a un antécédent unique). Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus, sécante et cosécante ne sont sont pas bijectives, car elle ne sont pas injectives (par exemple une infinité de valeurs de x (x) correspondent à l'égalité cos x = b, b  [-1,1] : x , x+2, x+4,..., x+2n,...). Il est cependant possible de restreindre le domaine de définition de ces fonctions pour que sur l'intervalle considéré la fonction soit bijective. Les fonctions trigonométriques inverses peuvent alors être définies :

• L'arc sinus d'un réel x (x  [-1,1]) est le réel y (y [-/2, /2]) dont le sinus est x  : y = arcsin x.

• L'arc cosinus d'un réel x (x  [-1,1]) est le réel y (y [0, ]) dont le cosinus est x  : y = arccos x.

• L'arc tangente d'un réel x (x ) est le réel y (y [-/2, /2]) dont la tangente est x  : y = arctan x.

• L'arc cotangente d'un réel x (x ) est le réel y (y [0, ]) dont la cotangente est x  : y = arccotan x.

• L'arc sécante  d'un réel x (x  ]-,-1 ]U [1,+[) est le réel y 
(y  [0, /2[ U ] /2, ]) dont la cotangente est x  : y = arcsec x.

• L'arc cosécante d'un réel x  (x  ]-,-1]U[1,+[) est le réel y
(y  [-/2, 0[ U ] 0, /2]) dont la cotangente est x  : y = arccsec x.

Les éléments de  (corps des nombres complexes) peuvent s'écrire sous la forme : z-= a+i.b, où est tel que i² = -1. Si le point image de z appartient au cercle trigonométrique, z est un nombre complexe de module 1 et on a :

z = cos x + i.sin x

Développements en série de sin, cos et e^ix.
On comprend intuitivement que la valeur à proximité d'un point x d'une fonction continue et indéfiniment dérivable peut se calculer à partir de la valeur de la fonction et de sa dérivée en ce même point. La dérivée correspond à la pente en ce point et permet de calculer la quantité qu'il faut ajouter (ou soustraire) à la valeur de la fonction pour connaître sa valeur en un point proche.

Un enchaînement de plusieurs théorèmes généraux (théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, théorèmes de Taylor et Mac laurin) aboutit à exprimer toute fonction (ayant les propriétés de continuité et de dérivabilité requises) comme la somme (appelée développement en série) de quantités de plus en plus petites, calculées à partir de la valeur de la fonction et et de sa dérivée en un point. La formule dite de Mac Laurin est un des expressions possible. Dans le cas des fonction sinus et cosinus, dont les dérivées respectives, on l'a vu, sont (cos x)' = - sin x et (sin x)' = cos x :

Le point d'exclamation "!" indique une factorielle : n! = 1.2.3... (n-1).n

e^ix = cos x + i. sin x    (formule d'Euler)

cos x = (e^ix + e^-ix ) / 2
sin x = (e^ix - e^-ix) / 2i 

Cette profonde unité des mathématiques, si propre à susciter l'étonnement et même l'émotion esthétique, apparaît d'une manière encore plus remarquable lorsque, dans la formule d'Euler, on pose x =  : 

Comme cos  = -1 et sin  = 0; on a :

Pour faire apparaître plus clairement les constantes mathématiques (e, i, , 1, 0) et les opérations arithmétiques (+, x, ^) impliquées , cette équation, appelée identité d'Euler, peut aussi écrire sous sa forme canonique  : 

Fonctions hyperboliques

cosh x = (e^x + e^-x ) / 2
sinh x = (e^x - e^-x) / 2

tanh x = sinh x/ cosh x
cotanh x = 1/tanh x
sech x = 1/cosh x
cosech x = 1/sinh x

cosh (a + b) = (cosh a . cosh b) - (sinh a . sinh b)
sinh (a + b) = (sinh a . sinh b) + (cosh a . cosh b)
tanh (a + b) = (tanh a + tanh b) / (1 + tanh a . tanh b)

 cosh² x - sinh² x = 1

La formule d'Euler devient  :

e^x = cosh x + sinh x  ou e^(a+ib) = cosh (a+ib) + sinh (a+ib)