Ainsi définit-on  entre les éléments et l'ensemble la relation d'appartenance. De même entre les ensembles définit-on une relation d'inclusion. On peut aussi définir la réunion de deux ensembles qui correspond à l'ensemble dont les éléments appartiennent à l'un ou à l'autre des des ensembles réunis, et l'intersection de deux ensembles qui est l'ensemble composé des éléments appartenant à la fois à l'un et à l'autre ensemble. 

La théorie des ensembles initiée par Georg Cantor (1845-1918) dès les années 1870 a été reformulée et axiomatisée ensuite de diverses façons, à partir du début du XX^e siècle, par des mathématiciens tels qu'Ernst Zermelo (1871-1953), Abraham Fraenkel (1891-1965), Thoralf Skolem  (1887-1963) et d'autres (Histoire des mathématiques). C'est une théorie qui questionne les fondements des mathématiques et, à ce titre,  se hérisse de grandes difficultés dans lesquelles on ne saurait entrer ici. On se contentera donc seulement dans cette page d'initiation d'introduire, sans chercher la rigueur qu'un exposé mathématique même élémentaire aurait exigé, le vocabulaire produit par cette théorie. C'est aujourd'hui le vocabulaire de base de toutes les mathématiques. Il est même utilisé bien-delà des mathématiques, chaque fois qu'il convient de formaliser un concept.

Ensembles et éléments

Connecteurs logiques, quantificateurs.
La théorie des ensembles utilise par ailleurs un certain nombre de notions et de signes venus de la logique symbolique :

• On utilise le signe = entre deux ensembles A et B lorsque tout ce qui peut être dit de A peut être dit de B (et donc que tout ce qui peut être dit de B peut être dit de A). A = B signifie que deux ensembles sont égaux, c'est-à-dire identiques. Le même signe = s'utilise pour signifier l'égalité de deux éléments. Pour signifier qu'il n'y a pas d'égalité on utilise le signe  (A  B se lit "A est différent de B"). Mais le signe égal a aussi d'autres utilisations : il sert à définir un ensemble, a exprimer sa notation, etc.

• Un énoncé dont on peut dire s'il est vrai ou faux est appelé une proposition (notons-là P). Quand une proposition est vraie, on pourra dire que la condition qu'elle énonce est satisfaite ou remplie.

• Lorsque le fait qu'une proposition P soit vraie entraîne que la proposition Q est également vraie on écrit P' Q ("P implique Q"). Si, de plus Q''P, on pourra écrire P  Q  ("P est équivalent à Q).

• La barre verticale  |  (ou oblique /) signifie "tel que", et fait le lien entre deux termes, le premier étant un élément, le second une condition statisfaite. Ainsi lorsqu'on écrit : x | P (ou x / P), on signifie que l'élément "x est tel que la proposition P est vraie", que "x est est tel que la condition P est remplie", ou même encore que "x possède la propriété P". 

• Le quantificateur universel  se lit "pour tout ", "quel que soit", et  s'applique à un terme ( x) ou à une série de termes  ( x, y, z, etc.). On utilise les deux points " : " pour associer une propriété au terme ainsi quantifié. Par exemple, " x : x = y" se lira "pour tout x on a x égal à x".

• Le quantificateur universel  se lit "il existe". Pour dire "il n'existe pas", "aucun", on écrira" ~" ou . L'écriture ! signifie quant à elle : "il existe un et un seul".

• Définition d'un ensemble en extension. - Lorsqu'un ensemble est déterminé en en donnant le liste des éléments qui le composent, on dit qu'il est défini en extension. Dans ce cas, on écrit les éléments de la liste entre accolades {}, chaque élément étant séparé par une virgule. Ainsi, l'ensemble E = {a, b, c, d, e, f} est-il donné en extension. L'ordre dans lequel sont listés les éléments est sans importance : {a, b, c} = {c, a, b}. (Notez au passage les significations différentes que nous faisons dans ces deux exemples du signe =, dans le premier, il est seulement une abréviation qui signifie  "est le nom de l'ensemble", dans le second cas, il s'agit du symbole logique qui marque l'égalité ou l'identité entre deux termes).

• Définition d'un ensemble en compréhension. - Lorqu'un ensemble est déterminé au moyen d'une propriété caractéristique ou d'une condition, qui est commune à tous les éléments de l'ensemble, on dit qu'il est défini en compréhension. Par exemple l'ensemble F est donné en compréhension  lorsqu'on écrit : F = {x / x est impair }. Ce que l'on peut lire : "F est (le nom de) l'ensemble des nombres  x,  tels que x un nombre impair".

Représentation graphique des ensembles.
Les diagrammes de Venn offrent une manière commode de représenter les ensembles et leurs éléments. Dans un diagramme de Venn (1834-1923) une ensemble est représenté par une courbe fermée; ses éléments y sont figurés par des points placés à l'intérieur de l'espace circonscrit par cette courbe. 
-

Diagramme de Venn
de l'ensemble E = {a, b, c}.

On rencontre aussi une représentation graphique des ensembles très similaire à celle de Venn, c'est celle d'Euler. On en a donné un exemple plus bas avec le schéma représentant une partition. Dans ce diagramme d'Euler les deux courbes fermées représentant des ensembles distincts sont disjointes; dans un un diagramme de Venn, les deux courbes fermées se seraient entrecoupées, et leur intersection aurait correspondu à l'ensemble vide. Pour éviter d'avoir à choisir entre l'une ou l'autre de ces représentations, on parle souvent diagrammes de Venn-Euler.

Quoi qu'il en soit, de tels diagrammes, comme toute figure en général que l'on peut rencontrer dans un exposé mathématiques sont des outils pour "voir les choses", pour comprendre intuitivement une situation, mais on ne peut en aucune façon en faire des outils de démonstration.

Ensembles vide, unitaire, fini, infini
Ensemble vide.
Parmi tous les ensembles, on peut en définir un qui ne contient aucun élément : c'est l'ensemble vide. Il est noté :  ou {-}. Notez que {  } n'est pas l'ensemble vide : c'est l'ensemble qui contient l'ensemble vide; il contient donc un élément. 

Singleton.
Un ensemble qui ne contient qu'un seul élément est qualifié d'ensemble unitaire ou, plus couramment de singleton. Par exemple {-x-} est le singleton dont l'élément est x.

Ensemble fini. Ensemble infini.
Un ensemble fini est un ensemble dont on peut compter les éléments, et dont on peut donc, en principe, donner la liste complète, c'est-à-dire un ensemble qui peut être défini en extension. 

Un ensemble infini est un ensemble pour lequel ce comptage n'est pas possible. Il peut arriver, cependant, dans certains cas, qu'à chaque élément d'un ensemble infini il soit possible d'attacher une nombre entier (un peu comme une étiquette). On dit alors que cet ensemble dénombrable. Un ensemble infini dénombrable est un ensemble dont tout élément x peut, par exemple, être doté d'un indice : x1, x2, x3, etc. Tous les ensembles fini sont dénombrables.

Appartenance et d'inclusion.
Eléments, appartenance.
La première des correspondances qui peut être établie entre un élément e et un ensemble E est son appartenance ou non à cet ensemble. L'appartenance est notée ; ainsi, e  E signifie-t-il que "l'élément e appartient à l'ensemble E". Pour signifier que e n'appartient pas à E on écrira e  E. 

Du fait même des postulats de la théorie des ensembles, tout  élément appartient à un ensemble :  x : x  {x}.

La relation d'appartenance n'autorise pas non plus la mise en correspondance de deux ensembles : un ensemble ne peut pas appartenir à un autre ensemble (et, a fortiori, un ensemble ne peut pas être un élément de lui-même). Ainsi, par exemple, ne pourra-t-on pas écrire E  F; en revanche si F = {E}, autrement dit si F est l'ensemble dont E est l'élément, on pourra avoir E  {E}.

Lorsque tous les éléments d'un ensemble F appartiennent aussi à une ensemble E, on dit que "l'ensemble F est inclus dans l'ensemble E" ou que "F est un sous-ensemble (ou une partie) de E", et l'on écrit : F  E.

Inclusion. 
-

Si l'on veut être plus précis, on est conduit à distinguer le cas de l'inclusion stricte (symbole ), où tous les éléments de E appartiennent à F, mais sans que tous les éléments de F appartiennent à E (le cas, donc, où E est différent de F) et le cas de l'inclusion au sens large (symbole ) qui correspond à la situation où E  F ou E = F. Dans la pratique on ne fait pas cette distinction et on utilise seulement le symbole  en l'entendant comme symbole de l'inclusion au sens large.

Axiome d'extension : dans la théorie des ensembles, on appelle ainsi l'énoncé suivant : "deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si ils possèdent les mêmes éléments". On peut aussi dire " L'ensemble E est égal à l'ensemble F si et seulement si E est inclus dans F et F est inclus dans E", et de façon plus formelle :  E = F  [E F et F E].

Les sous-ensembles (ou parties) d'un ensemble E sont des ensembles. Mais il peut être utile de les considérer aussi comme des éléments d'un ensemble. Cet ensemble - l'ensemble des parties de E donc - est noté (E). Il a en particulier pour éléments E lui-même et l'ensemble vide' . Et on peut montrer que si E possède a éléments (E) en possède 2ª. (Cette remarque conduit à une autre convention d'écriture pour l'ensemble des parties de E : (E) = 2^E, qui est aussi appelé l'ensemble puissance de E).

Un ensemble de parties (ou de sous-ensembles) de E est aussi appelé une famille de parties (ou de sous-ensembles) de E.

La relation d'inclusion n'autorise pas la mise en correspondance d'un élément avec un ensemble (un élément ne peut pas être inclus dans un ensemble). Ainsi, par exemple, ne pourra-t-on pas écrire e  E; en revanche si F = {e}, autrement dit si F est l'ensemble dont e est l'élément, on pourra éventuellement avoir F  E, soit  {e}  E.

La théorie des ensembles ne permet pas de parler en un sens absolu de l'ensemble de tous les ensembles sans s'exposer à un paradoxe. Mais il peut être nécessaire de recourir à la notion d'ensemble de tous les ensembles sur lesquels on travaille : on désigne alors cet ensemble sous le nom d'ensemble universel, d'univers, ou de référentiel.

Il peut arriver que deux ensembles E et F possèdent certains de leurs éléments en commun. L'ensemble G constitué de ces éléments est appelé l'intersection de E et de F : on notera G = E  F, et on lira "G égale E inter F". 

Intersection G des ensembles E et F.
E = {a, b, c}, F = {b, c, d, e}
G = {b, c}.

L'ensemble G est inclus dans l'ensemble E (c'est un sous-enesmble de E) et il est inclus dans l'ensemble F(c'est un sous-ensemble de F) : G  E et G'  F.

Si les deux ensembles E et F n'aucun élément en commun, on dit qu'ils sont disjoints. Leur intersection est égale à l'ensemble vide :  E  F = .

Il arrive aussi que l'on ait à considérer la totalité des éléments qui appartienent à un ensemble E ou à un ensemble F. Dans ce cas, on définira l'ensemble G qui contient tous ces éléments comme la réunion de E et de F : on écrira G = E  F, et on lira "G égale E union F".

Réunion G des ensembles E et F.
G = {a, b, c, d, e}.

Les ensembles E et F sont tous les deux inclus dans G  (ce sont deux sous-ensembles de G) :  E  G et F  G.

Deux ensembles E et F sont égaux (E = F) si et seulement si on a à la fois E  F et F  E. Dans le cas contraire ils sont distincts  (E  F).

Lorsque plusieurs sous-ensembles non vides d'un ensemble E sont tous disjoints deux à deux et que leur réunion est égale à E, on dit qu'ils forment une partition de E.
 

Recouvrement. - F et G recouvrent l'ensemble A car tous les éléments de A appartiennent à la réunion de F et G.	Partition. - F et G forment une partition de E, car leur intersection est vide et leur réunion est égale à E.

Une partition est donc un cas particulier de recouvrement, dans lequel les sous-ensembles considérés sont disjoints et où l'ensemble recouvert est E lui-même.

On défini la différence de deux ensembles F et G quelconques, notée F \ G comme l'ensemble des éléments de F auxquels on a ôté les éléments de F  G.

La différence symétrique de deux ensembles F et G, notée F  G est, quant à elle, l'ensemble des éléments de F U G qui n'appartiennent pas à leur intersection  F  G. On a donc F  G = (F U G) \ (F  G).
-

Différence de deux ensembles. - C'est l'ensemble des éléments de F qui n'appartiennent pas aussi à G	Différence symétrique de deux ensembles. - C'est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la réunion de F et G mais pas à leur intersection.

Ensembles complémentaires.
Dans le cas où F est une sous ensemble de E (soit F  E), les  éléments de E qui n'appartiennent pas à F appartiennent à l'ensemble particulier appelé l'ensemble complémentaire de F par rapport à E. Parmi les façons de noter un ensemble complémentaire, on retiendra celle-ci : G = _EF (qui se lit : "G est le complémentaire de F par rapport à E").
-

Complémentaire de l'ensemble F
dans l'ensemble E :  G = {a}.

Dire que G est le complémentaire de F dans E est équivalent à dire que F est le complémentaire de G dans E :

G = _EF  F = _EG.

Le complémentaire de l'ensemble vide par rapport à E est égal à E, et de même le complémentaire de E par rapport à E est égal à l'ensemble vide :

_E = E  et _EE = .

Dans certains contextes, l'écriture peut être allégée en convenant d'utiliser le signe moins "-" : ainsi G = _EF pourra se noter simplement G = E - F.

G\ (A U B) = (G\A)  (G\B)
G\ (A  B) = (G\A) U (G\B)

_E(A U B) = _E(A)  '_E (B).
_E(A  B) = _E(A) U _E (B).

Ensembles des nombres entiers naturels.
Les nombres dont on se sert pour compter les objets sont appelés nombres entiers naturels (ou simplement entiers naturels). L'ensemble dans lequel on les range, ainsi que le zéro (0) est appelé  :

= {0, 1, 2, 3, 4, ...}

On note ^* ("N étoile"),  l'ensemble des entiers strictement positifs, c'est-à-dire l'ensemble des entiers naturels auquel on a ôté le zéro :

^* = - {0}

Lorsqu'on additionne deux entiers naturels, le résultat est toujours un entier naturel. Cela n'est plus vrai lorsqu'on soustrait deux nombres de . Certaines soustractions ne conduisent pas à un résultat dans  (par exemple 4 - 3 = ?).  Pour que ces opérations aient un sens, il faut considérer un autre ensemble, dans lequel  est inclus : l'ensemble des nombres entiers relatifs.

Ensemble des nombre entiers ou nombres entiers relatifs.
L'ensemble des nombres entiers relatifs, représenté par le symbole , comprend  tous les entiers naturels (' '), et tous les nombres définis comme le résultat de la soustraction 0 - n, où 0 est le nombre zéro et où n est un entier naturel strictement positif (appartenant donc à ^*). Les nombres ainsi définis forment l'ensemble des nombres entiers strictement négatifs; il se note par ^-. On a ainsi : 

=  U ^-

De la même façon que l'on ne pouvait pas donner le résultat dans  de toute soustraction de nombres appartenant à , on ne peut donner le produire dans  celui de  la division de deux nombres appartenant à  (l'entier par lequel on divise ne pouvant être 0); trois divisé par deux, par exemple, n'est pas un nombre entier. L'ensemble de nombres qui contient non seulement tous les entiers, mais aussi les nombres de telles divisions est l'ensemble des nombres rationnels; il est noté  et ses éléments sont tous les nombres qui sont le résultat de la division de deux entiers quelconques. 

Ensemble des nombres réels.
Tous les nombres ne peuvent cependant pas s'écrire comme le résultat d'une division entre deux entiers. C'est les cas , par exemple, de  =  3,1415926... ou  de  = 1,4142135... Cela conduit à admettre une autre ensemble, qui contient tous les éléments de , mais aussi des nombres tels que ou . Ce sera l'ensemble que l'on appellera l'ensemble des nombres réels. Cet ensemble, noté , est plus difficile à définir que les ensembles de nombres mentionnés jusqu'ici. Les différences entre  et  font appel à la distinction de notions assez abstraites de densité et de complétude. Un ensemble de nombres est dit dense lorsqu'entre deux nombres, aussi proches l'un de l'autre que l'on voudra, on peut encore trouver un nombre (et même une infinité de nombres), et c'est bien le cas de , contrairement à ' et' (aucun nombre entier ne peut être inséré entre 1 et 2, par exemple). Quant à , lorsqu'on considère deux de ses nombres aussi proches que l'on veut, on en arrive à pouvoir envisager (pour employer une image plus intuitive que mathématique) qu'ils se touchent : il n'y a pas de place alors pour insérer entre eux de nouveaux nombres. On dit alors que  est complet.

Ensemble des nombres complexes.
L'ensemble des nombres complexes se définit à partir de , en revenant à l'idée qu'une opération appliquée à certains nombres peut n'aboutir à aucun résultat. Ainsi la racine carrée  y de x (notée ) est le nombre y tel que y.y = y² = x. Les règles de la multiplication (.) dans  font que x est toujours positif. Un nombre négatif n'a donc pas de racine carrée dans . Il est cependant possible d'introduire un nouveau nombre que l'on notera i et tel que i.i = i² = -1 et qui n'appartient pas à  : i est l'unité des nombres  dits imaginaires,  tous ces nombres s'obtenant en multipliant i par un nombre réel. L'ensemble  peut alors être défini comme l'ensemble de tous les nombres z de type  z = a + i.b, où a et b sont des nombres réels. Si a = 0, z = ib est un nombre imaginaire pur, mais si b = 0, z = a est un nombre réel. Ainsi l'ensemble  apparaît-il comme un ensemble inclus dans .

Principaux ensembles de nombres.

Relations

Définitions.
Relations.
Une relation binaire est une correspondance que l'on établit entre les éléments de deux ensembles, un ensemble de départ ou source, et un ensemble d'arrivée, ensemble image ou but, quand une propriété donnée est vérifiée entre ces éléments. Il est entendu que rien ne s'oppose à ce ce que l'ensemble de départ soit identique à l'ensemble d'arrivée, autrement dit à ce que la relation puisse être définie entre éléments appartenant au même ensemble.

Soit ainsi x un élément appartenant à l'ensemble E de départ et y une élément appartenant à l'ensemble F d'arrivée, et soit la relation  définie lorsque la propriété considérée est vérifiée, on écrira : x  y pour signifier que x est en relation avec y.

Diagramme sagittal d'une relation.
Une relation est représentée graphiquement par une flèche (en latin sagitta = flèche) tracée entre les deux éléments x et y mis en correspondance par la relation : une flèche va de x à y si et seulement si x  y.

Diagramme sagittal d'une relation.

Produit cartésien.
Si l'on considère  un ensemble E et un ensemble F, et la relation  qui met en correspondance des élément de E avec les éléments de F (pas nécessairement tous les éléments), on est conduit à s'intéresser à tous les couples (x, y) d'éléments tels que x appartienne à E et  y à F. L'ensemble de ces couples est appelé le produit cartésien des deux ensembles considérés, et sera noté E X F. Dans le cas où la relation est définie entre éléments d'un même ensemble E, la notion de produit cartésien existe encore. On l'écrit :  E X E, ou, par analogie avec l'élévation au carré des nombres, E².

L'ordre dans lequel on écrit les deux termes du couple a son importance, car, sauf cas particulier d'une relation dite symétrique (V. ci-dessous); on a-: x  y  y  x. Cela explique que lorsqu'on considère le couple (x, y) on le qualifie de paire ordonnée. Dans le couple (x, y), x est la première coordonnée et y la deuxième coordonnée. Si (x, y)' ' X = Â², la première coordonnée est souvent appelée l'abscisse, et la deuxième, l'ordonnée. 

Le produit cartésien a été entendu jusqu'ici entre deux ensembles seulement (ou entre un ensemble et lui-même). Mais cette notion peut être étendue à n ensembles (E1, E2, E3, ..., En). On note alors leur produit cartésien : E1 X E2 X E3 X ...X En; les éléments de celui-ci sont appelés n-uplets. (couples ou doublets quand n = 2, triplets quand n=3).

On a définio jusqu'ici une relation comment une correspondance entre des éléments d'ensembles. Mais une relation définie entre ensembles. Le produit cartésien (X) de deux ensembles en est un exemple; même constat pour la relation d'inclusion (notée ). Quant à l'appartenance (notée ), elle peut se comprendre comme un exemple de relation entre un élément et un ensemble.

Dans le cas de deux ensembles E et F possédant chacun un nombre fini d'éléments, si l'ensemble E possède n éléments et si l'ensemble F en possède m, alors E X F possède n.m  éléments (" . " est le symbole de la multiplication de nombres).

Tous les éléments de E X F, autrement dit tous les couples (x, y)  ne sont pas nécessairement mis en correspondance  la relation . Les couples qui sont ainsi reliés appartiennent à un sous-ensemble de E X F appelé le graphe de la relation. On pourra dire qu'une paire (x, y) appartenant au produit cartésien E X F a ses termes mis en correspondance par relation  si et seulement si (x, y) appartient au graphe G de cette relation. 

Ainsi, une relation binaire  est entièrement connue si l'on connaît E x F et G, ce que l'on exprime cela en écrivant  = (E, F, G). Le triplet  (E, F, G) prend le nom de correspondance entre E et F.

Réciproquement, lorsque l'on considère n'importe quel sous-ensemble G du produit cartésien E X F, on définit en même temps une relation binaire.

Deux correspondances ou deux relations  = (E, F, G) et ' = (E', F', G') sont égales si et seulement si E = E' et F = F' et G = G'.

Dans la relation  = (E, F, G), les éléments de G sont des éléments de E mis en correspondance avec des éléments de F. Mais on peut aussi s'intéresser à la correspondance que cela induit entre les éléments de F et des éléments de E. Le graphe, noté G^-1, de cette nouvelle relation, notée ^-1,  sera ainsi le sous-ensemble des couples de F X E tels que ces couples appartiennent à G. ^-1 = (F, E, G^-1) sera appelée la relation réciproque de .

Relation composée. 
Soient deux relations  = (E, F, G) et ' = (F, H, G') telles que l'ensemble d'arrivée F de la première soit l'ensemble de départ de la seconde, on peut définir une relation " dont l'ensemble de départ est E est l'ensemble de départ de la première relation et l'ensemble d'arrivée est l'esemble d'arrivée de la seconde, c'est-à-dire H. On aura ainsi " = (E, H, G"), où G"  est l'ensemble des éléments (x, y) de E X H, tels qu'il existe un élément y appartenant à F, avec (x, y) appartenant à G et (y, z) appartenant à G'. On appelle" la relation composée des relations  et '.

Propriétés des relations.
Les relations peuvent posséder certaines des propriétés suivantes :

Réflexivité.
Une relation  est réflexive lorsque  x  E : x  x (x est en relation avec x). Par exemple, dans une fratrie, la relation  "est de la famille de" est réflexive, mais la relation  "est le frère ou la soeur de" ne l'est pas.

La réflexivité peut aussi être définie pour la relation d'inclusion (au sens large) entre deux ensembles E quelconques : E  E.

Une relation  est symétrique lorsque  (x, y)  E X F : x  y  y  x (si x est en relation avec y alors y est en relation avec x). Par exemple la relation "est le frère ou la soeur de" est symétrique, mais les relations " est le frère de" ou "est la soeur de" ne sont pas symétriques dans l'ensemble considéré.

Une relation  est antisymétrique lorsque  (x, y)  E : (x  y et y  x)  x = y  (si x est en relation avec y et y est en relation avec x alors x égale y). 

La relation d'inclusion qui met en correspondance deux ensembles est une relation antisymétrique : si E est inclus dans F et F est inclus dans E, alors E égale F.

Transitivité.
Une relation  est transitive lorsque  x, y, z  : (x  y et y  z)  x  z. La relation "est la soeur de" est transitive dans l'ensemble {Sophie, Maud, Géraldine} : Odélia est la soeur de Maud et Maud est la soeur de Géraldine, implique qu'Odélia est la soeur de Géraldine.

La relation d'inclusion définie entre ensembles est une relation transitive : si E est inclus dans F et F est inclus dans G, alors E est inclus dans G. -

Réflexivité.

Symétrie.

Transitivité.

Une relation binaire  définie sur un ensemble E est une relation d'équivalence si et seulement si  est :  réflexive, symétrique et transitive.

L'identité = de deux ensembles E et F (ou de deux éléments) est une relation d'équivalence : elle est réflexive (E = E); elle est symétrique (E = F  F = E; elle est transitive : (E = F et F = G)  E = G.

Pour noter une relation d'équivalence on utilise souvent le symbole ~ (par exemple : x ~ y). Une autre façon d'exprimer que deux éléments sont reliés par une relation d'équivalence est la suivante : x  y (mod ), qui se lit "x et y sont équivalents (ou congrus) modulo' ".

Un relation d'équivalence divise l'ensemble dans lequel elle est définie en un certain nombre de sous-ensembles disjoints deux à deux (c'est-à-dire qui n'ont aucun élément en commun) que l'on appelle des classes d'équivalence (ou si l'on veut être plus précis  : classes d'équivalence modulo ). 

Tous les éléments d'une classe d'équivalence étant reliés entre eux, il suffit de mentionner un élément quelconque de cette classe, disons a,  appelé représentant de la classe, pour que la classe entière puisse être définie. On pourra alors la noter, par exemple, [a], Ã¥ ou encore Cl (a).

Les parties de E définies par la relation  sont les éléments d'un ensemble appelé ensemble quotient et noté E/.

Relations d'ordre.
Les relations d'ordre sont, avec les relations d'équivalence, un autre grand type de relations étudiées en mathématiques. 

Une relation binaire  est une relation d'ordre si et seulement si  est :  réflexive, antisymétrique et transitive. 

Pour noter les relations d'ordre, on renonce au symbole  pour le remplacer par le symbole  qui rappelle le symbole  utilisé pour ordonner les éléments de l'ensemble des nombres réels  et de ses sous-ensembles.  et  se lisent de la même façon. Ainsi x  y se lira-t-il "x inférieur à y" ou "y supérieur à x" (on trouve aussi parfois les lectures, peut-être préférables : "x antérieur à x" et "y postérieur à x").

Le sens particulier de certaines relations d'ordre peut aussi induire des notations différentes. Par exemple, dans *, la relation "x divise y" est une relation d'ordre et se note x|y; même chose pour l'inclusion au sens large dans l'ensemble des parties d'un ensemble, qui est aussi une relation d'ordre et se note, comme on l'a vu A  B.

Ordre total.
munit l'ensemble E d'un ordre total si pour tout couple d'éléments (x ,y) de ensemble E X E, on a  x  y ou  y  x. Tous les éléments peuvent donc être mis en relation les uns avec les autres : il peuvent être comparés et l'ensemble E est dit totalement ordonné.

On l'a vu plus haut, quand on travaille sur des nombres réels, on utilise fréquement la relation ,  qui se  lit "est inférieur à" ou "est inférieur ou égal à". Il s'agit d'une relation d'ordre total : elle permet d'ordonner tous les nombres les uns par rapport aux autres (x et y étant deux nombres réels, on peut toujours dire que : soit x  y, soit y  x). Tous les réels sont dits comparables.

Une autre relation qui ressemble à celle-ci peut s'énoncer : "est strictement inférieur à", et elle se note <. Elle aussi permet de comparer les nombres et on la qualifie de relation d'ordre strict, mais il est à remarquer qu'en réalité ce n'est pas une relation d'ordre (elle n'est pas réflexive).

On peut encore associer à la relation  sa relation opposée  (qui se lit "est supérieur ou égal à") : on a  x  y   y  x. Malgré cette équivalence, l'utilisation de  ou de  (ou de < ou de >) n'est pas indifférente. Par exemple, lorsqu'on cherche "le plus petit élément" de l'ensemble des entiers naturels (c'est-à-dire x  |  y : x  y) celui-ci existe, c'est 0, et l'on dit que l'ensemble des entiers naturel est bien ordonné (par la relation  ). Mais on se trouve dans une impasse dès que l'on cherche "le plus grand élément" de cet ensemble (c'est-à-dire x | y : x  y).

munit l'ensemble E d'un ordre partiel (ou  est un ordre partiel sur E)  lorsqu'il existe des couples (x, y)  de l'ensemble produit E² tels que ni x  y, ni y  x. 

La relation d'inclusion sur l'ensembles des parties d'un ensemble est un exemple d'ordre partiel.

Soient F un sous-ensemble non vide de E et  une relation d'ordre partiel sur E. On appelle majorant de F tout élément s de E tel que quelque soit x appartenant à F, on ait x  s. de même, on appelle minorant de F tout élément s de E tel que quelque soit x appartenant à F, on ait s  x.

S'il existe dans un ensemble ordonné E un élément g supérieur à tous les autres ( x  E : x  g), g est appelé le plus grand élément de E. S'il existe dans E un élément p inférieur à tous les autres ( x  E : p  x), p est appelé le plus petit élément de E. Dans tous les cas, p et g sont uniques. L'élément m d'un ensemble E sera dit maximal si pour tout x  appartenant à E, x  m implique  x = m; il sera dit minimal si  si pour tout x  appartenant à E, m  x implique  x = m.

Soit E un ensemble non vide muni d'une relation d'ordre partiel. Si tout sous-ensemble de E totalement ordonné par  admet un majorant, alors E possède un élément maximal. (Ce théorème est connu sous le nom de Lemme de Zorn).

Un ensemble ordonné E qui possède à la fois une borne supérieure supE et une borne inférieure infE est appelé un treillis (synonymes : ensemble réticulé, lattis ou lattice en anglais). 

Applications (fonctions)

Une relation  d'un ensemble E, source, vers un ensemble F, image, est dite relation fonctionnelle si chaque élément x de E est associé par cette relation à un élément y au plus dans F. 

Lorsque tous les éléments de E sont mis en correspondance avec un élément de F, cette sorte de relation est appelée application ou fonction. Application est un terme général, l'usage tendant à réserver le nom de fonction aux seules applications définies sur des ensembles de nombres. 

Ecriture.
On utilise ordinairement une écriture particulière pour désigner les applications (et les fonctions). La notation habituelle  est abandonnée et l'on utilise souvent la lettre f, quand une seule application est impliquée (la lettre g est aussi utilisée quand il y en a deux, etc.). Ainsi, (étant toujours entendu que (x, y)  E X F), ce que nous avons écrit jusqu'ici x  y s'écrira désormais  (x) = y ou, de manière encore plus courante, en utilisant la lettre f :

 f (x) = y      (lire : "f de x égale y")

 f : x  y     (lire : application f de E dans F")

Si f est une application et x  E et y  F sont  tels que f(x) = y :

x est l'argument (ou la variable) de f, et l'antécédent de y;

f(x), c'est-à-dire y, est l'image de x par f  (ou la valeur de f  en x).

On dit encore que f applique E dans F. 

Quand f ne s'applique qu'à une seule variable, comme on l'a vu jusqu'ici, f est une fonction à une variable. Mais on peut aussi envisager des fonctions  s'appliquant à des n-uplets. On a alors affaire à des fonctions à n variables.

Quand E = F , f est qualifiée d'autoapplication. 

Si une application f donne à tout élément x de E une unique image b dans F, f est qualifiée d'application ou de fonction constante. (Par exemple, quel que soit x, f (x) = 3).

L'application qui, dans E, associe à lui-même tout x (autrement dit  x : f(x) = x) est appelée l'application identique ou identité et est notée ordinairement IdE ou Id  (Id : x  x ou Id(x) = x).

G étant un sous-ensemble de E et f une applications de E dans F, l'application g telle que pour tout x appartenant à G on a g(x) = f (x) est appelée la restriction de f à G, tandis que f prendra le nom de prolongement de g.

Considérons une application f de E dans F  (f : x  y ou f(x) = y) et une application g de F dans G (g : y  z ou g(y) = z). Sous certaines conditions, il est possible de définir une troisième application, disons h, qui fait correspondre directement z à x  (h : x  z), autrement dit h(x) = f(g(x)) = z. Cette application prend le nom d'application composée de  f et de g. On la note communément f o g (lire : "f rond g"); f o g (x) = f (g(x)).

Une application f d'un ensemble E dans lui-même peut être composée avec elle-même. On note alors f² = f o f. Si f est composée n fois avec elle-même on écrit fⁿ = f o f o f... o f (n fois) et l'on lconvient que f° correspond à l'application identique dans E, IdE : f° = IdE, soit f° (x) = x.

Diagramme sagittal d'une application. - Tous les éléments de l'ensemble de départ E ont une image et une seule dans l'ensemble d'arrivée F par l'application f. Certains éléments de l'ensemble de départ peuvent avoir plusieurs images. Certains éléments de l'ensemble d'arrivée peuvent ne pas avoir d'antécédent dans l'ensemble de départ.

Types d'applications.
Injection.
Une application f  de E dans F est injective (ou encore f est une injection), si et seulement si,  quels que que soient x et x' appartenant à E, l'égalité de f(x) et de f(x') implique que x égale x' :

x, x'  E : f(x) = f(x')  x = x'

Application injective.
Deux éléments distincts
ont des images distinctes.

De même, si f'est une injection, la différence de x et x' entraîne la différence de f(x) et de f(x') :

x, x'  E : f(x)  f(x')  x  x'

Application surjective.
Tous les éléments de l'ensemble
d'arrivée ont au moins un antécédent.

Bijection.
Une application f  de E dans F est biunivoque ou bijective (ou encore f est une bijection) si f est à la fois injective et surjective. Tout élément de l'ensemble image est l'image d'un unique élément de l'ensemble de départ. 
-

Application bijective.
Tout élément de l'ensemble d'arrivée 
est l'image d'un seul élément
de l'ensemble de départ.

Si f est une bijection de E dans F, il existe une application de F dans E qui à chaque image d'un élément de F fait correspondre son antécédent unique par f dans E. Cette fonction est appellée application réciproque de f et est notée f ^-1.

Lorsqu'une bijection f est définie d'un ensemble E sur lui-même, ont dit que f est une permutation; une permutation qui affecte seulement deux éléments de E (f se comportant alors comme l'application identique pour les autres éléments) on lui donne le nom de transposition.

Cardinal d'un ensemble.
Dans le cas des ensembles qui ont un nombre fini d'éléments, le point commun, qui permet de définir l'équipotence entre deux ensembles est le nombre de leurs éléments. On convient dès lors de dire que si E possède n éléments, le cardinal de E sera n : Card (E) = n. 

Si E et F sont deux ensembles finis : 

Card (E)  Card (F)  E  F. 

Card (E X F) = Card (E) . Card (F)       (ou "X" correspond au produit cartésien  et "." à la multiplication entre entiers).

Si F est une partie (sous-ensemble) d'un ensemble fini E :

Card (_EF) = Card (E) - Card (F).

Cependant des bijections (relations d'équipotence) peuvent aussi être définies entre ensembles infinis. Dans ce cas, des notations nouvelles ont dû être introduites pour parler des cardinaux de ces ensembles (notamment pour les comparer). On utilise depuis Cantor la lettre de l'alphabet hébraïque  (aleph) munie d'un indice.  L'ensemble  des entiers positifs aura ainsi pour cardinal ₀ (lire : aleph-zéro) et l'on dira que tout ensemble de cardinal₀ a la puissance du dénombrable; ₁ (aleph-1) est défini comme le cardinal de , ensemble des nombres réels, et l'on dira que tout ensemble de cardinal ₁ a la puissance du continu. Les cardinaux des ensembles infinis sont appelés nombres transfinis.

Lois de composition (opérations)

Jusqu'ici, on a défini une application comme une mise en correspondance d'un élément x d'un ensemble quelconque E avec un élément y d'un ensemble F. C'est ce qu'exprime l'écriture  f(x) = y, où x  y et y  F. 

Une loi de composition ou opération est une application dans laquelle l'ensemble de départ est un produit cartésien. On considère alors la mise en correspondance d'un couple d'éléments appartenant à un sous-ensemble G de l'ensemble produit E X F avec un élément z appartenant à un ensemble H.

Si l'on continue d'adopter la même écriture que précédemment, on aura : f (x,y) = z, avec (x, y)  G ou encore :  f : (x, y)  z. Mais ici encore, un changement d'écriture peut faciliter les choses, ne serait-ce que parce que la nouvelle écriture sera plus conforme aux usages déjà en vigueur pour exprimer certains lois de composition courantes. Une loi de composition abandonnera donc le f pour le remplacer par une autre symbole, tel que  ou , et, plutôt que d'écrire f (x, y) = z, on écrira, par exemple :

x  y = z. 

On dira aussi que  est une opération sur l'ensemble considéré, le symbole  représentant l'opérateur; x et y sont les termes de l'opération; z est le composé de x et y.

Le symbole se lit "étoile". Le symbole  se prononce"truc". Le symbole , qu'on rencontrera plus bas, se lit "antitruc".

Les quatre opérations arithmétiques, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division (symbolisées par les opérateurs +,  -,  x et / ), sont des lois de composition entre nombres. Dans le cas de l'addition le composé est la somme des termes; dans le cas de la soustraction, c'est la différence. Dans le cas de la multiplication, les termes prennent le nom de facteurs; le composé celui de produit; dans le cas de la division, le premier terme est le numérateur, et le second le dénominateur, le composé est le quotient.

La composition d'applications évoquée plus haut fournit un autre exemple de loi de composition; elle est symbolisée par l'opérateur o.

Une loi de composition interne  définie sur E est une application d'une partie G de  l'ensemble E X E dans E. 

On dit que E est un ensemble fermé (clos, stable) par rapport à la loi (ou pour la loi) , ou encore que E est muni de la loi ' ou structuré par elle; ce que l'on écrit sous la forme : (E, ), où E prend le nom de support de la structure. 

De la même façon, un sous-ensemble non vide F de l'ensemble E est dit stable pour la loi  si pour tous les éléments x, y de F, on a :  x  y  F. Autrement dit, F est stable pour la loi  (en toute rigueur, pour la restriction de  dans F) si  est aussi une loi de composition interne dans F. 

La notion de loi de composition externe  invite à considérer deux ensembles distincts E et F et une loi de composition . Cette loi est une loi de composition externe si elle est une application de E X F dans F : ( (x, y)  E X F :  x  y = z  F).

x  y s'appelle le composé (ou le produit) de x et de y pour la loi;

Les éléments de E sont appelées opérateurs et E est qualifié d'ensemble des opérateurs de la loi .

Soit G un sous-ensemble non vide de F; G est dit stable pour la loi externe  si pour tout élément x de l'ensemble d'opérateurs E et pour tout élément y de F, leur produit appartient à F.

Si E = F, on retrouve bien sûr une loi de composition interne (une loi de composition interne est un cas particulier de loi de composition externe).

La fécondité de ces notions commence à apparaître lorsque, de surcroît, F est muni d'une loi de composition interne . On pourra former, par exemple des expressions du genre  x  y = z  t, et d'autres plus compliquées (V. ci-dessous). 

Propriétés des lois de composition.
Commutativité.
Une loi de composition interne  dans E est commutative si si pour tout x et tout y  on a : x  y = y  x.

La notion de commutativité, définie ici pour des éléments d'un ensemble peut s'étendre, à la réunion de deux ensembles : E U F = F U E; même chose pour l'intersection : E  F = F  E.

Une loi de composition interne  dans E est associative si si pour tout x,  tout y et tout z appartenant à E  on a : x  ( y  z) = (x  y)  z.

La réunion deux ensembles est associative :  (E U F) U G = E U (F U G); même chose encore pour l'intersection (E  F)  G = E  (F  G)

La composition des applications o est également associative : pour toute application f, g et h, on a :  (f o g) o h = f o (g o h).

Dans le cas d'une loi de composition externe , on dira qu'elle est associative par rapport à une loi de composition interne , si pour tout élément x de E, et tout élément (y, z) de F², ont peut dire que : (y  z)  x = y (zx).

Distributivité.
La distributivité est une propriété qui implique une loi de composition externe  et une loi de composition interne . On dira que la loi  est distributive par rapport à la loi interne  de F si,  pour tout x appartenant à F et tout couple (y, z) appartenant à E², on a-: x  (y  z) = (xy)  (xz).

Distributivité de l'union et de l'intersection : la réunion est distributive par rapport à l'intersection :  E U (F  G) = (E U F)  (E U G); et l'intersection est distributive par rapport à la réunion : E  (F U G) = (E  F) U (E  G).

Un forme différente de distributivité peut être définie en impliquant une loi de composition externe  et deux lois de composition internes  et  (opérant toutes deux dans un ensemble F). Pour tout x appartenant à E et pour tout u, v appartenant à F, on devra avoir : (u  v)  x = (ux)  (v  x).

Eléments réguliers, élément absorbant, élément neutre.
Certains éléments d'un ensemble peuvent révéler des propriétés particulières lorsqu'opère sur eux une loi de composition. (Nous considérerons dans ce qui suit un ensemble E muni d'une loi de composition  interne).

Eléments réguliers.
Lorsque a  x = a  y  x = y, a est un élément régulier à gauche; c'est un élément régulier à droite lorsque x  a = y  a  x = y; enfin a un élément régulier tout court s'il est régulier à droite et régulier à gauche. 

On appelle simplification le passage de l'équation x  a = y  a  (ou a  x = a  y) à l'équation x = y : c'est ce que l'on fait couramment en algèbre lorsque, par exemple, ayant l'équation 2.(x+3) = 2.(y-5), on passe "en simplifiant" à l'équation x+3 = y-5.

On dit que a est un élément absorbant si pour tout y de E, on a a  y = y  a = a.

Dans (, x), soit dans l'ensemble des entiers naturels muni de la multiplication, l'élément absorbant est 0, car quel que soit le nombre n lorsqu'il est multiplié par 0 le résultat est zéro : n x 0 = 0.

L'ensemble vide joue le rôle d'élément absorbant pour l'intersection : pour tout ensemble E, E '  = 

De même, si pour tout x de E, il existe un élément e de E tel que e  x = x, on appelle e élément neutre à gauche; si on a la relation x  e = x, e est l'élément neutre à droite. Il est bien sûr possible aussi que  x  e = e  x = x; dans ce cas, e est l'élément neutre à droite et à gauche (ou l'élément neutre tout court).

Lorsqu'un ensemble E possède un élément neutre pour une loi , on note souvent E* , l'ensemble E auquel on a ôté l'élément neutre (E* = E - {e}). Il faut cependant qu'aucune confusion ne soit à craindre sur l'identité de l'élément neutre et de la loi de composition concernée.

Dans (, +), c'est-à-dire dans l'ensemble des entiers naturels muni de l'addition,  l'élément neutre est 0, car quelque soit le nombre n lorsque il ajouté à 0 le résultat est n + 0 = 0 + n = n.

Dans (, x), c'est-à-dire dans l'ensemble des entiers naturels muni de la multiplication,  l'élément neutre est 1, car quelque soit le nombre n lorsque il multiplié par 1 le résultat est n x 1 = 1 x n  = n.

L'ensemble vide joue le rôle d'élément neutre pour la réunion : pour tout ensemble E, E '' = E.

Un élément x est dit symétrisable pour la loi  s'il existe un élément x' tel que : 

x  x' = x'  x = e (e étant l'élément neutre). L'élément x' est appelé le symétrique (ou l'inverse) de x dans (E, ).

Dans (, +), aucun élément, sauf 0, n'a de symétrique. En revanche, tous les éléments de  tous les éléments sont symétrisables pour l'addition : le symétrique prend ici le nom d'opposé ( -n est l'opposé de n pour l'addition).

Dans (, x), aucun élément, sauf 1 et -1, n'a de symétrique. En revanche, tous les éléments de , sauf 0, sont symétrisables pour la multiplication (1/n est le symétrique ou l'inverse de n pour la multiplication).

Une application f quelconque définie entre de deux ensembles (E, ) et (F, )  munis chacun d'une loi de composition est un homomorphisme lorsque pour tout x et y appartenant à E, on vérifie l'égalité : f (x  y) = f(x)  f(y). 

Homomorphisme est un terme général. Les homomorphismes portent des noms particuliers selon que l'application est bijective ou non, ou selon que E est différent de F ou non.

Isomorphisme. 
Lorsque les deux ensembles E et F sont différents, que l'application f est un homomorphisme de (E,  ) dans (F,  ) et que f est de surcroît bijective de E dans F : on dit que f est un isomorphisme de  (E,  ) dans (F, ) 

Endomorphisme.
Lorsqu'on ne considère qu'un seul ensemble E, qu'une seule loi de composition , et que f, définie de E sur lui-même, est un homomorphisme ( x, y  E et f(x)  E : f (x  y) = f(x)  f(y)) : on dit que f est un endomorphisme de (E, ).

Automorphisme. 
Un automorphisme répond à la même situation que dans le cas de de l'endomorphisme, sauf que maintenant il est demandé à f d'être de surcroît bijective : on dit que alors f est un automorphisme de (E,).

Structures algébriques.
Certains ensembles non vides munis d'une ou de plusieurs lois de composition ont des propriétés particulières que l'on peut retrouver aussi dans d'autres ensembles munis d'autres lois. Ces ensembles munis de leurs lois de composition respectives partagent la même structure, dite structure algébrique.  Parmi les structures algébriques les plus couramment utilisées, on trouve les groupes, les anneaux, les corps et les espaces vectoriels : 

Groupe.
Un ensemble E, muni d'une  opération binaire  est un groupe, noté (E,) si  est une loi de composition interne, si elle est associative, s'il existe dans E un élément neutre pour , et tout élément de E possède un élément symétrique. Si, de plus,  est commutative, on parlera de groupe abélien ou groupe commutatif.

Les groupes sont les structures algébriques les plus fondamentales. Ils permettent de décrire les notions de symétrie et de transformations. On les rencontre dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique.

Anneaux.
Un anneau, noté (E, , ), est un ensemble E muni de deux opérations binaires  et , telles que (E, ) est un groupe abélien, et la loi  est une loi de composition interne   dans E, qui est distributive par rapport à  et est associative. Un anneau n'a pas besoin d'avoir un élément neutre pour l'opération  . S'il en a un, on parle d'anneau unitaire. L'opération  dans un anneau n'a pas besoin d'être commutative.

Les anneaux permettent de formaliser les opérations d'addition et de multiplication que l'on trouve dans de nombreux contextes mathématiques.

Corps.
Un corps est un anneau unitaire (E, , ) où tous les éléments non nuls possèdent possèdent un symétrique pour l'opération . Certains auteurs attendent d'un corps que  soit commutative, d'autres non. Mieux vaut donc préciser, en cas de risque de confusion.

Les corps sont les structures algébriques qui permettent de diviser par tout élément non nul. Ils sont essentiels en algèbre linéaire et en analyse.

Espace vectoriel.
L'ensemble E muni de deux lois de composition  et  •, noté (E, , •), est un espace vectoriel sur  F,  F étant muni des lois  et , si et seulement si :  (E, ) est un groupe abélien;  (F, , ) est un corps commutatif; la loi de composition externe • définie dans F x E vérifie les quatre propriétés suivantes pour tout scalaire x, y et pour tout vecteur u, v : x • (y • u) = (x  y) • u; (x  y) • u = (x • u) (y • u); x • (u  v) = (x • u)  (x • v); et, enfin, il existe dans F un élément neutre e pour la loi de composition externe • (pour tout v appartenant à E,  e • v = v • e  = v). Les éléments de E sont sont appelés vecteurs, les éléments de F sont appelées scalaires.

Les espaces vectoriels sont des outils essentiels en algèbre linéaire, en analyse fonctionnelle et dans de nombreux autres domaines. Ils permettent de généraliser la notion de vecteur et de travailler avec des espaces de dimensions finies ou infinies.