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Soit un point matériel,
de masse égale à l'unité,
attiré par les éléments dm d'un ou plusieurs corps
quelconques en raison inverse du carré de la distance r. L'intégrale
triple :
V = ![](formINTEGRALE.gif) ![](formINTEGRALE.gif) dm/r,
étendue à toutes les masses
attirantes, a été désignée par Green
sous le nom de fonction potentielle et par Gauss
sous celui de potentiel; souvent aussi on l'appelle : potentiel
newtonien.
Si l'on rapporte le système à
trois axes de coordonnées rectangulaires, les trois dérivées
partielles dV/dx, dV/dy, dV/dz, représentent, à un facteur
constant près, les composantes de la force
agissant sur la masse unité placée au point x, y, z. La somme
des trois dérivées secondes : d²V/dx² + d²Vdy²
+ d²V/dz² est nulle si le point attiré ne fait partie
d'aucune des masses attirantes (équation de Laplace ).
Si le point attiré fait partie de
l'une de ces masses, et si r
est la densité en ce point, la même somme a pour valeur -
4 r
(équation de Poisson ).
La fonction potentielle est partout finie et
continue, ainsi que ses dérivées premières. Les dérivées
secondes, au contraire, varient brusquement quand le point attiré
traverse l'une des surfaces limitant les masses attirantes.
Si toutes les masses attirantes sont à
distance finie de l'origine, les produits Vx, Vy, Vz, x²dV/dx, y²dV/dy,
z²dV/dz tendent vers des limites finies lorsque x, y, z augmentent
indéfiniment.
La théorie de l'attraction d'une
figure plane sur un point de son plan conduit à des résultats
analogues, pourvu que l'attraction soit supposée s'exercer en raison
inverse non plus du carré de la distance, mais bien de la distance
elle-même. Le potentiel est alors U = ![](formINTEGRALE.gif)
dm. log r, en désignant par dm la masse répandue sur l'élément
superficiel placé à la distance r du point attiré.
La fonction U s'appelle le potentiel logarithmique et vérifie l'équation
d²U/dx² + d²U/dy² = - 2 r,
qui rappelle celle de Poisson.
La même fonction intervient dans
la théorie de l'attraction newtonienne exercée par un cylindre
à base quelconque, de hauteur indéfinie, et mérite
par suite le nom de potentiel cylindrique. Dans certaines recherches
sur l'élasticité, Boussinesq
a été conduit à considérer une fonction qu'il
a appelée le potentiel logarithmique à trois variables,
et qui a pour expression U = ![](formINTEGRALE.gif)
dm. log (z + r), en désignant par z la distance du point attiré
au plan des xy, sur lequel est supposée répartie la masse
attirante, et r la distance du même point à l'élément
dm.
Revenons au potentiel newtonien. Les surfaces
le long desquelles le potentiel est constant sont les surfaces de niveau,
ou encore surfaces équipotentielles. En un point quelconque,
la force attirante est normale à la surface de niveau. Les trajectoires
orthogonales des surfaces de niveau sont des courbes partout tangentes
à la direction de la force : aussi Faraday
les a-t-il désignées sous le nom de lignes de force.
Une propriété fondamentale
du potentiel se déduit de l'équation dite de Green. Cette
propriété est la suivante : si l'on considère une
surface fermée quelconque, et si M désigne la somme des masses
attirantes intérieures à cette surface; si dw est un élément
de la surface et dV/dn, la dérivée du potentiel prise normalement
à dw, l'intégrale double ![](formINTEGRALE.gif) dV/dn
. dw est égale à -4
M. Le potentiel d'une couche sphérique homogène est constant
à l'intérieur de cette couche et, à l'extérieur,
il est le même que si toute la masse était concentrée
au centre; on déduit aisément de là le potentiel
d'une masse sphérique homogène ou composée de couches
homogènes.
Le potentiel des ellipsoïdes, très
important à connaître dans les recherches astronomiques, a
donné lieu à de nombreux travaux que nous ne pouvons analyser
ici. Citons seulement un théorème remarquable dû à
Chasles ,
et d'après lequel, quand la masse attirante est une couche homogène
comprise entre deux ellipsoïdes concentriques et homothétiques,
infiniment rapprochés, les surfaces équipotentielles extérieures
sont des ellipsoïdes homofocaux à la couche. On sait, d'ailleurs,
depuis Newton,
qu'à l'intérieur d'une pareille, couche l'attraction est
nulle, et par conséquent le potentiel est constant.
La notion de potentiel a reçu en
mécanique une extension considérable : chaque fois que les
trois composantes rectangulaires de la force agissant en un point de l'espace
peuvent être considérées comme égales aux dérivées
partielles d'une même fonction, on dit que cette fonction (prise
avec le signe -) est le potentiel du système de forces. Ce
système prend lui-même le nom de champ de forces. Le
travail de la force, pour un déplacement
quelconque de son point d'application, est dans tous les cas proportionnel
à la variation correspondante du potentiel.
Énergie
potentielle. En physique mathématique, on a fréquemment
à faire une distinction entre le potentiel des forces extérieures
appliquées à un système moléculaire, et le
potentiel des forces intérieures, c.-à-d. des actions mutuelles
des molécules. Le potentiel des forces intérieures reçoit
alors le nom d'énergie potentielle, proposé par Rankine .
Dans les études relatives à l'élasticité des
corps solides, cette même fonction est fréquemment nommée
potentiel d'élasticité.
Potentiel électrique.
En électrostatique, l'action des masses obéit à des
lois analogues à celles de l'attraction newtonienne : la principale
différence est que les électricités de même
nom se repoussent, et que les électricités de nom contraire
s'attirent; ce qui conduit à envisager des "masses" électriques
positives ou négatives (que l'on appelle plus communément
des charges. Le potentiel d'un corps conducteur a la même
valeur en tous les points de la surface de ce conducteur : c'est cette
condition qui détermine la distribution de l'électricité.
En pratique, on n'a
à considérer que les différences de potentiel. Les
différences de potentiel électrostatique se mesurent au moyen
des appareils appelés électromètres. En électrocinétique,
la notion de potentiel ,joue un rôle fondamental, car, d'après,
la loi de Ohm ,
l'intensité du courant électrique qui passe dans un fil de
longueur donnée est, toutes choses égales d'ailleurs, proportionnelle
à la différence de potentiel des extrémités.
L'unité de différence de potentiel est le volt.
Potentiel magnétique.
La notion du potentiel magnétique est tout à fait comparable
à celle du potentiel électrique : les masses électriques
sont simplement remplacées par des masses magnétiques. Mais
il faut remarquer qu'il n'existe dans le cas du magnétisme ni corps
conducteurs, ni courants. En particulier, la théorie des aimants
envisage des surfaces équipotentielles définies, comme nous
l'avons fait en partant du potentiel newtonien, et des lignes de force
dont la forme est mise en évidence par l'expérience des fantômes
magnétiques.
Potentiel thermodynamique.
Dans la théorie mécanique de la chaleur intervient une fonction
importante qui a été d'abord envisagée par Massieu
sous le nom de fonction caractéristique et qui, depuis lors
(simplement modifiée par l'introduction d'un facteur constant),
a reçu de Helmholtz
le nom d'énergie libre et, de Duhem, celui de potentiel
thermodynamique. Si l'on appelle U l'énergie interne du corps
considéré, T sa température absolue, S son entropie,
et E l'équivalent mécanique de la chaleur, le potentiel thermodynamique
a pour expression E (U - TS). Helmholtz s'est servi de cette fonction pour
interpréter les phénomènes thermiques qui accompagnent
le travail de la pile. Duhem l'a appliquée à la mécanique
chimique et aux phénomènes électriques. (L.
Lecornu).
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