Poincaré

Poincaré a appelé groupe fuchsien un groupe discontinu, formé de substitutions de la forme (z, (az+b) / a'z+b')) dans lesquelles a, b, c, d sont des nombres réels satisfaisant à la relation ab'-ba' = 1. Les substitutions d'un pareil groupe transforment l'axe des x en lui-méme; elles reviennent à des déplacements des figures et à des transformations par rayons vecteurs réciproques. Plus généralement on appelle groupe fuchsien un groupe de substitutions de la forme (z, (az+b) / a'z+b')), où ab' - ba'=1, qui n'altèrent pas un certain cercle que l'on appelle fondamental.

Les fonctions fuchséennes correspondent une nouvelle espèce de transcendantes étudiées par Poincaré, qui sont définies par la propriété de rester invariables quand on fait subir à la variable dont elles dépendent les substitutions d'un groupe fuchsien. Ces transcendantes sont très importantes, mais d'une étude ardue. Pour faire comprendre toute leur importance, nous nous bornerons à dire que f(x, y) = 0, désignant une équation algébrique quelconque, cette équation peut être satisfaite en prenant pour x et y des fonctions monodromes ( = uniformes) d'une même variable t, et que ces fonctions sont précisément des fonctions fuchsiennes; on conçoit de quelle lumière un pareil théorème peut éclairer toute l'algèbre et la théorie des fonctions abéliennes. Poincaré est allé plus loin dans la même voie, et il est parvenu à démontrer qu'une fonction non monodrome et sa variable étaient fonctions monodromes d'une même variable; c'est un des faits les plus intéressants de toute l'analyse. 

Groupes et fonctions kléinéens. - On appelle groupes kleinéens les groupes discontinus formés de substitutions de la forme : z' = (az+b) / (a'z+b'), a, b, a', b' étant quelconques. Poincaré a étudié les fonctions kleinéennes qui restent invariables quand on effectue sur la variable les substitutions d'un groupe kleinéen. (H. Laurent).

"Le problème de l'origine du monde a de tout temps préoccupé tous les hommes qui réfléchissent; il est impossible de contempler le spectacle de l'Univers étoilé sans se demander comment il s'est formé; nous devrions peut-être attendre pour chercher une solution que nous en ayons patiemment rassemblé les éléments, et que nous ayons acquis par là quelque espoir sérieux de la trouver; mais, st nous étions si raisonnables, si nous étions curieux sans impatience, il est probable que nous n'aurions jamais créé la science et que nous nous serions tou jours contentés de vivra notre petite vie. "

Ces hypothèses sont nombreuses. Henri Poincaré expose les plus intéressantes, et les soumet à un examen critique approfondi. Certes, son ouvrage nécessite une certaine érudition en mathématiques pour être pleinement apprécié, mais il n'est pas de ceux qui ne peuvent être compris que par une lecture assidue et ininterrompue. Au contraire, cette lecture peut être prise et reprise; elle est attachante comme celle d'un roman et, d'ailleurs, l'exposition est si claire que bien des parties sont compréhensibles sans le secours des mathématiques. C'est notamment le cas de la préface, qui constitue un lumineux résumé synthétique des théories qui font l'objet du livre.

De toutes les hypothèses que Henri Poincaré étudie, c'est l'hypothèse de Laplace qu'il expose avec le plus de complaisance. Bien qu'elle soit déjà ancienne, sa vieillesse est vigoureuse, et, pour son âge, elle n'a pas trop de rides. Malgré les objections qu'on lui a opposées, malgré les découvertes que les astronomes ont faites et qui auraient bien étonné Laplace, elle est toujours debout, et c'est encore elle qui rend le mieux compte de bien des faits; c'est elle qui répond le mieux à la question que s'était posée son auteur. Pourquoi l'ordre règne-t-il dans le Système solaire, si cet ordre n'est pas dû au hasard? De temps en temps, une brèche s'ouvrait dans le vieil édifice; mais elle était promptement réparée, et l'édifice ne tombait pas.

Laplace ne s'occupe que du Système solaire; non que les mondes éloignés ne l'intéressent pas, mais parce qui il leur suppose une origine semblable à celle du nôtre. Pour lui, le monde solaire constituait à l'origine une masse nébuleuse très peu dense, mais fortement condensée au centre. Celle nébuleuse était animée d'un mouvement de rotation uniforme; elle rayonnait de la chaleur en tous sens, et se refroidissait. Ce refroidissement entraînait une contraction, et l'on démontre, par application des lois de la mécanique, que, dans ces conditions, la vitesse de rotation devait s'accélérer. Mais une masse fluide qui tourne autour d'un axe se renfle à l'équateur. 

La vitesse de rotation augmentant, l'aplatissement augmentait aussi, et la nébuleuse prenait finalement l'aspect d'une colossale lentille. La vitesse augmentant encore, les particules matérielles situées sur la circonférence équatoriale étaient chassées par la force centrifuge; elles se détachaient en formant un anneau qui continuait à tourner autour de la nébuleuse avec une vitesse uniforme. En même temps, de la matière s'écoulait des pôles vers l'équateur, mettant à nu des couches chaudes qui se refroidissaient rapidement, et la contraction se poursuivait. Quand le refroidissement avait gagné les couches profondes, un nouvel anneau se détachait, continuant à tourner dans l'intérieur du précédent, et le même phénomène se renouvelait plusieurs fois, tandis que la nébuleuse centrale se condensait de plus en plus, formant le soleil.

Chaque anneau détaché successivement se refroidissait tout comme la nébuleuse originelle. Il se contractait donc, et sa densité croissait. Mais la mécanique assigne à cette densité une limite au delà de laquelle l'anneau devait cesser d'être stable. Lorsque cette limite était dépassée, l'anneau se rompait en plusieurs masses sphéroïdiques qui continuaient à tourner autour de la nébuleuse. Les planètes commençaient à s'individualiser, mais elles n'étaient pas encore achevées. Les divers fragments d'anneau, n'ayant pas tout à fait la même durée de révolution, unissaient par se rencontrer et se fusionner, de telle sorte que la matière de l'anneau se trouvait rassemblée en une planète unique. Cette planète était encore fluide: elle constituait elle-même une sorte de nébuleuse pouvant détacher des amiraux analogues peut-être à celui qui entoure encore actuellement Saturne, et ces anneaux se résolvaient à leur tour en satellites.

La théorie de Laplace est, comme on le voit, reIativement simple. Mais, ce qui la rend admirable, c'est que, malgré sa simplicité, elle rend compte d'un grand nombre de faits d'observation : forme elliptique, mais presque circulaire, des trajectoires des planètes, faible inclinaison des plans de ces trajectoires les uns sur les autres, etc. Il faut voir, dans le livre de Henri Poincaré, comment tous ces faits sont expliqués. Il faut y voir aussi les compléments qu'il indique aux explications de Laplace. Ceux qui sont relatifs à la rotation des planètes sur elles-mêmes sont particulièrement, intéressants. Celle rotation serait soumise à deux influences toutes différentes : la contraction dite au refroidissement, et les marées.

La contraction tend à accélérer la vitesse de rotation. Les marées résultant de l'attraction par le soleil des masses fluides de la planète amènent des déformations doit résultent des frottements. Ces derniers, exerçant un véritable freinage, tendent à donner à la planète un mouvement de rotation de même durée et de même sens que sa révolution autour du soleil, c'est-à-dire un mouvement tel qu'elle tourne toujours un même hémisphère vers l'astre central. 

Tout d'abord, la fluidité de la planète encore jeune rendrait l'influence des marées prédominante. Sa rotation, d'abord rétrograde, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre, deviendrait peu à peu directe, c'est-à-dire en sens inverse des aiguilles, comme sa révolution autour du soleil et de même durée que cette dernière. Cet état de mouvement persisterait jusqu'à ce que la solidification progressive de la planète ait diminué l'importance des marées au point de rendre prédominante l'influence de la contraction. 

La rotation s'accélérerait alors, tout en restant directe. La plupart des planètes seraient actuellement parvenues à celle dernière phase de leur évolution, ce qui expliquerait leur rotation directe. Toutefois, Uranus et Neptune, qui sont très éloignées du soleil et dans lesquelles cet astre ne peut produire que de faibles marées, auraient conservé leur mouvement originel, ce qui expliquerait leur rotation rétrograde.

Après avoir exposé la théorie de Laplace, Henri Poincaré expose celles de Faye, de du Ligondès, de See, de G.-H. Darwin, de Normann Lockyer, de Schuster, d'Arrhénius, de Belot, qui, toutes, soulèvent des problèmes captivants. 

Dans son livre magistral, Henri Poincaré n'étudie pas seulement les hypothèses cosmogoniques générales. Il étudie aussi quelques problèmes plus restreints, relatifs à l'origine du rayonnement solaire, à la constitution de la Voie lactée, etc.

L'intensité du rayonnement solaire dépasse l'imagination. Expliquer ce rayonnement ne paraît pas tellement difficile : le soleil rayonne beaucoup parce qu'il est grand et qu'il est très chaud. Mais, s'il rayonne, il se refroidit, et là commence la difficulté. Même en supposant que le soleil ait eu à l'origine une température de plusieurs millions de degrés, on trouve par le calcul que le temps qu'il lui aurait fallu pour voir sa température s'abaisser jusqu'au dégré actuel ne se chiffrerait que par un petit nombre de milliers d'années, tandis qu'on sait, par ailleurs, que la vie sur la Terre, qui, sous sa forme actuelle, aussi bien que sous sa forme ancienne, nécessite l'illumination par le Soleil, dure depuis des millions d'années (on dirait aujourd'hui des "milliards d'années"). Il faut donc supposer que la provision de chaleur du soleil se renouvelle. Mayer admet que la cause en est due à la chute des poussières météoriques sur le soleil. Helmholtz admet que la cause en est la contraction du soleil sur lui-même. La dernière hypothèse permet d'assigner à l'âge du soleil une valeur bien plus grande que la première : 50 millions d'années, mais cela semble bien insuffisant. Voici pourquoi :

"L'épaisseur des couches déposées depuis que la vie existe à la surface de la terre (et il est bien difficile d'admettre que la vie ait pu exister sans soleil) exige, paraît-il, beaucoup plus de 50 millions d'années. L'examen des chaînes de montagnes des temps géologiques entièrement détruites par l'érosion conduit à même conclusion on a calculé que, pour raser complètement les Alpes, l'érosion aurait besoin de 27 millions d'années. Or, depuis les temps dévoniens, où la vie était déjà ancienne, nous voyons surgir une chaîne pareille aux Alpes, la chaîne calédonienne, puis les phénomènes d'érosion la détruisent; ensuite, la chaîne hercynienne s'élève à son tour et est rasée par l'érosion, puis vient le calme des temps secondaires, et enfin la période tertiaire, où se sont formées les Alpes. Les géologues sont donc très à l'étroit avec 50 millions d'années, et ils réclament un temps beaucoup plus long."

Le chapitre relatif à la Voie lactée est l'un des plus suggestifs. On sait que l'on appelle ainsi une vaste traînée laiteuse, qui décrit presque un cercle sur la voûte céleste et que les lunettes montrent formée d'une multitude d'étoiles. Herschel émit cette idée que le système solaire, aussi bien que les étoiles qui nous entourent, font partie de la Voie lactée. Les amas stellaires que l'on aperçoit en divers points du ciel seraient des voies lactées vues de loin. Or, les étoiles, malgré leur masse énorme, sont si éloignées l'une de l'autre, qu'on peut les considérer comme des points matériels, eu égard à leur écartement. La Voie lactée étant ainsi formée de points matériels qui se déplacent dans n'importe quel sens, on peut le penser à priori, se trouve être comparable à un gaz. On sait que les gaz sont formés de molécules qui se déplacent en tous sens et se heurtent fréquemment. Cette assimilation ne manque pas d'être piquante les molécules des gaz rebondissent les unes sur les autres des centaines de fois par seconde, au lieu que les étoiles, qui forment les constellations, paraissent avoir conservé sensiblement les mêmes positions relatives depuis les temps historiques, c'est-à-dire depuis plus de deux mille ans. Le paradoxe s'explique par ce fait que, si les étoiles sont infiniment plus grandes et plus écartées que les molécules, elles ont, par contre, une vitesse qui est loin d'être plus grande dans le même rapport. Pour la même raison, les chocs entre étoiles lumineuses ou obscures sont rares; ils sont sans doute manifestés, suppose Poincaré, par la production de ces étoiles nouvelles, les Novae, qui, de temps en temps, se montrent subitement dans le ciel (de son temps, on en observe en moyenne une par an).

On ne peut ici suivre dans les détails les raisonnements d'Henri Poincaré, arrivons directement au résultat : on sait que le système solaire. se déplace, puisque la constellation d'Hercule paraît  se rapprocher de siècle en siècle, tandis que celles de la Colombe, du Grand Chien semblent s'éloigner. On a déterminé la vitesse de ce déplacement, qui serait de l'ordre de 20 kilomètres par seconde. Or, Henri Poincaré calcule une relation entre cette vitesse et le nombre total des étoiles de la Voie lactée. Il en déduit que ce dernier nombre serait de 1 milliard. Ce chiffre est voisin de celui que l'on déduit des observations télescopiques. L'assimilation de la Voie lactée à une bulle gazeuse paraît donc légitime. Mais il a plus : d'après Kapteyn, les étoiles de la Voie Lactée peuvent être rangées en deux groupes. Dans chacun de ces groupes, les étoiles ont des vitesses ayant une composante commune, mais cette composante n'est pas la même pour les deux groupes. On peut ainsi penser que la Voie lactée résulte de la réunion de deux essaims d'étoiles, de deux gigantesques bulles gazeuses dont chaque molécule serait une étoile et qui n'auraient pas encore eu le temps de se mélanger complètement.

Et maintenant, que conclure de l'étude des hypothèses cosmogoniques? Voici la réponse de Henri Poincaré :

"On attend sans doute de moi une conclusion, et c'est cela qui m'embarrasse. Plus on étudie cette question de l'origine des astres, moins on est pressé de conclure. Chacune des théories proposées est séduisante par certains côtés. Les unes donnent d'une façon plutôt satisfaisante l'explication d'un certain nombre de faits; les autres embrassent davantage, mais les explications perdent en précision ce qu'elles gagnent en étendue; ou bien, au contraire, elles nous donnent une précision trop grande, mais qui n'est qu'illusoire et qui sent le coup de pouce. "

Dans ce dernier volume Poincaré s'attache surtout aux questions de méthode et il commence par la plus considérable des questions de méthode, par la plus terrible pour ainsi parler : le choix des faits.

Le savant, en effet, ou qu'il soit physicien ou qu'il soit historien, n'a qu'à observer et expérimenter. Or, s'il avait à sa disposition un temps infini, on n'aurait d'autre recommandation à lui faire que celle-ci : regardez avec attention; mais, comme il n'a le temps ni de tout regarder ni de tout voir, il faut qu'il fasse un choix entre les faits qui passent sous son regard. Quelle sera la méthode de ce choix? Quels seront les faits que le savant devra juger intéressants et, à cause de cela, retenir?

« Les faits les plus intéressants sont ceux qui peuvent servir plusieurs fois, ce sont ceux qui ont chance de se renouveler. » 

On peut les appeler des « faits à grand rendement » par opposition aux faits complexes qui sont  « à petit rendement ». Ces derniers sont ceux « sur lesquels des circonstances multiples peuvent exercer une influence
sensible, circonstances trop nombreuses et trop diverses pour que nous puissions toutes les discerner ». Les faits à grand rendement, au contraire, sont des faits simples qu'on voit se renouveler avec régularité et avec une sorte de précision toute scientifique. Voilà ceux qui sont précisément du gibier de savant, comme aurait dit Montaigne.

Ce qu'il y a de très curieux (et ce que Poincaré, qui est un poète à sa manière, comme il l'a assez montré par ses pages sur l'esthétique des mathématiques et sur la volupté des mathématiques, s'est complu à démontrer avec insistance), ce qu'il a de très curieux, c'est que les faits les plus simples sont en même temps les plus beaux. Ils séduisent le penseur par leur beauté, comme ils l'attirent par leur simplicité et comme, par leur beauté, ils le retiennent. Le savant n'étudie pas du tout la nature parce qu'elle est utile ou parce qu'il est utile de l'étudier. Il l'étudie parce qu'il l'aime et l'aime parce qu'elle est belle.

« Si la nature n'était pas belle, va jusqu'à dire Poincaré, elle ne vaudrait pas la peine d'être connue, la vie ne vaudrait pas la peine d'être vécue. » 

Ce qu'il y a de curieux encore, c'est que si le savant raisonne ainsi, ou plutôt sent ainsi; s'il poursuit le beau sans préoccupation de l'utile, mais avec quelque sentiment vague que l'utile et le beau doivent aller ensemble, il a parfaitement raison. Le souci du beau nous conduit aux mêmes choix des faits que celui de l'utile. Peut-être en cherchant le beau obéit-on à une suggestion du « génie de l'espèce  » (Faguet) cherchant l'utile. 

Peut-être les « peuples dont l'idéal était le plus conforme à leur intérêt bien entendu ont-ils exterminé les autres et pris leur place? Les uns et les autres poursuivaient leur idéal, sans se rendre compte des conséquences; mais tandis que cette recherche menaient les uns à leur perte, aux autres elle donnait l'empire ». 

« Si les Grecs ont triomphé des barbares et si l'Europe, héritière de la pensée des Grecs, domine le monde, c'est parce que les sauvages aimaient les couleurs criardes et les sons bruyants du tambour qui n'occupaient que leurs sens, tandis que les Grecs aimaient la beauté intellectuelle qui se cache sous la beauté sensible et que c'est celle-là qui fait l'intelligence sûre et forte. »

Il en va ainsi même en mathématiques -  Poincaré aurait dit sûrement, surtout en mathématiques - et les « êtres mathématiques-» les plus « beaux », ou les plus « élégants » sont ceux dont les éléments sont harmonieusement disposés de façon que l'esprit puisse sans effort en embrasser l'ensemble tout en en pénétrant le détail, autrement dit, ce sont les faits simples.

On n'erre donc pas ou l'on a des chances de ne pas errer, en se fiant, pour le choix des faits, soit à leur simplicité, soit à leur beauté. Les uns et les autres, qui en définitive se trouveront être les mêmes, sont des faits à grand rendement.

C'est là ce qui justifierait contre Tolstoï et autres moralistes utilitaires la science désintéressée, la science pure, la science platonique pour ainsi parler, qui ne se préoccupe aucunement des applications qu'on pourra ou qu'on ne pourra pas

« Le vrai est ce qu'il peut, il n'a pas à se préoccuper de savoir s'il est bienfaisant, salutaire ou moral. »

« Les conquêtes de l'industrie qui ont enrichi tant d'hommes pratiques n'auraient jamais vu le jour si ces hommes pratiques avaient seuls existé, et s'ils n'avaient été devancés par des fous désintéressés qui sont morts pauvres, qui ne pensaient jamais à l'utile et qui pourtant avaient un autre guide que leur caprice. » 

Au fond, ce que les savants désintéressés donnent à l'humanité c'est une économie dans le travail de penser. Ils économisent la peine de penser à leurs descendants. Le sauvage calcule sur les doigts ou avec de petits cailloux. Un savant, qui est peut-être Pythagore, invente la table de multiplication, il dispense de petits cailloux et d'immenses lenteurs et d'immenses efforts tous les humains qui connaîtront sa table. Immensurable économie.

Le philosophe Viennois Mach a bien dit cela : 

« Le rôle de la Science est de produire l'économie de pensée, de même que la machine produit l'économie d'effort. »

Sur les lois du hasard, c'est-à-dire sur le calcul des probabilités, Poincaré dit encore des choses extrêmement neuves, du moins par le biais selon lequel il les présente : il rectifie quelques-unes, précisément, de ces définitions provisoires dont nous parlions tout à l'heure et qu'il ne faut garder que provisoirement. 

Ainsi, il ne faut pas tout à fait dire, quoiqu'il y ait du vrai et quoi que ce soit très joli, que « le hasard est la mesure de notre ignorance » et que les « phénomènes fortuits sont ceux dont nous ignorons les lois ), ce qui n'est pas tout à fait exact, puisque les hommes, avant la découverte des lois astronomiques, étaient parfaitement persuadés que les astres ne se mouvaient pas au hasard. Le hasard signifie; que nous disions « hasard » cela signifie; qu'il y ait, du reste, réellement, un hasard, cela signifie : que de petites causes peuvent produire de grands effets; - et cela signifie encore qu'il y a des faits qui sont les effets de causes complexes, que nous ne pouvons pas démêler, au lieu de l'être de causes simples facilement discernables.

En histoire par exemple la naissance d'un grand homme est un hasard, c'est-à-dire une petite cause, ou plutôt une cause énorme, mais qui paraît petite, comme la naissance de n'importe qui, et qu'on ne pourra juger énorme que quand on en aura vu les effets. De même, un petit fait et c'est-à-dire un fait inaperçu au XIXe, siècle, sortissant ses effets et des effets considérables au XXe, ces effets paraîtront provenir du hasard; ils ne seront que les conséquences grandes d'une cause qui avait paru petite, jusque-là même qu'elle n'avait pas paru du tout. Or, ce sont ces effets de causes inaperçues ou de causes complexes qu'il s'agit de prévoir approximativement par les probabilités, le hasard lui-même ayant ses lois, puisqu'il n'est pas le hasard, mais ses lois qui restent relativement incertaines puisqu'il reste obscur.

Il y a encore dans le livre de Poincaré des considérations sur la Voie lactée et sur l'étude de cet univers, éclairée et comme transformée par l'application que l'on fait à elle de la théorie des gaz. Il y a des observations piquantes par elles-mêmes, piquantes encore par le caractère auto-biographique qu'elles ont, sur l'invention inconsciente, c'est-à-dire sur ce fait, mille fois répété, qu'un problème cherché, petit ou grand, qu'une théorie cherchée, grande ou petite, se révèle brusquement, alors qu'on ne les cherchait plus, et probablement parce qu'on ne les cherchait plus et alors qu'on ne songeait, depuis quelque temps, qu'à se reposer ou à se distraire, ce qui nous prouve, constatation dont il est à craindre que les paresseux n'abusent, que le repos est la condition du travail. (E. Faguet).

Journal de l'École polytechnique (années 1878 et suiv.), Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris (1879 et suiv.), Journal de mathématiques pures et appliquées (1881 et suiv.), Acta mathematica (1882 et suiv.), Mathematische Annalen (1881 et suiv.), Bulletin de la, Sociéte mathématique de France (1883 et suiv.), Bulletin astronomique (1884 et suiv.), American Journal of Mathematics (1885 et suiv.), Annales des sciences physiques et naturelles de Genève, Revue de mélaphysique et de morale, Revue générale des sciences, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, Annuaire du Bureau des longitudes, l'Éclairage électrique, l'Enseignement mathématique, etc.

Poincaré a, en outre, fait paraître à part : Sur la théorie des fonctions fuchsiennes (Caen, 1881); Cours de mécanique physique et expérimentale professé en 1885-1886 (Paris, 1886); Cours de physique mathématique (Paris, 1890 et suiv.,  13 vol.); les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste (Paris, 1892-1893, 3 vol.;1899); la Théorie des tourbillons (1893); les oscillations électriques  (Paris, 1894); la Théorie de Maxwell et les Oscillations hertziennes (Paris, 1899); Calcul des probabilités (cours de la Sorbonne, 1896); Cinématique et mécanisme; Potentiel et mécanique des fluides (1892); Figure d'équilibre d'une masse fluide (1902); Théorie du potentiel newtonien (1899); Leçons de mécanique céleste professée à la Sorbonne (1905, 1907, 1909); Leçons sur les hypothèses cosmogoniques (1911); la Science et l'hypothèse (1902, 20e édit., 1912); la Valeur de la science (1905,16e édition, 1911); Science et méthode (9e édition, 1909); etc. 

Il a aussi entrepris, sous les auspices de l'Académie des sciences et avec la collaboration de Ch. Hermite et E. Rauché, l'édition des Oeuvres complètes de Laguerre (t. 1er Algèbre, calcul intégral; Paris, 1898). 

En librairie. - Henri Poincaré, La valeur de la science, Champs sciences, Flammarion, 2014; La science et l'hypothèse, Champs sciences, Flammarion, 2009; La science selon Henri Poincaré: La science et l'hypothèse - La valeur de la science - Science et méthode, Dunod, 2013.

Paul Appell, Henri Poincaré, Ellipses Marketing, 2013;  Jean-Marc Ginoux et Christian Gerini, Henri Poincaré : une Biographie au(x) Quotidien(s), Ellipses Marketing, 2012.