Démonstration

Nous percevons un corps, et nous affirmons qu'il est étendu, coloré, etc. Nous sommes témoins d'un acte de probité, et nous prononçons qu'il est juste. De ce principe, que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre, nous concluons qu'un côté d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence. Ces notions se présentent à nous avec une évidence irréfragable; les posséder, c'est ce qu'on appelle savoir; les transmettre aux autres avec la même autorité, c'est démontrer.  Les axiomes et les définitions a priori sont des vérités indémontrables, évidentes par elles-mêmes, principes fondamentaux de toute démonstration. Faire passer l'évidence des principes dans les conséquences, telle est l'oeuvre de la démonstration : on part de vérités évidentes (par elles-mêmes ou par démonstration antérieure), pour arriver à rendre évidentes, en usant de la raison, des vérités qui ne sont pas telles d'abord, et tout le mécanisme de la démonstration consiste à prouver que celles-ci sont contenues dans celles-là. 

Les démonstrations mathématiques.
Les démonstrations sont au coeur des mathématiques. Elles permettent de vérifier la validité des théories et des résultats. Elles assurent que les conclusions tirées ne sont pas basées sur des intuitions ou des conjectures mais sur un raisonnement logique solide. Cela confère aux mathématiques leur caractère de certitude et de rigueur.

Une démonstration mathématique est un raisonnement logique rigoureux et structuré destiné à établir la vérité d'une proposition ou d'un théorème. La démonstration doit suivre un enchaînement logique où chaque étape découle nécessairement des précédentes. Elle utilise des axiomes et postulats comme points de départ. Ces derniers sont des assertions admises comme vraies sans preuve au sein d'un système donné. Les termes et concepts utilisés dans la démonstration doivent être définis de manière précise pour éviter toute ambiguïté. Elle peut s'appuyer sur des théorèmes déjà démontrés, créant ainsi un réseau de connaissances interdépendantes. Une bonne démonstration ne laisse pas de place au doute et couvre tous les cas possibles pour la proposition considérée.

La démonstration affecte certaines formes soumises à des règles précises et invariables, et dont l'ensemble constitue la théorie du Syllogisme. La logique de Port-Royal résume ainsi, d'après Pascal (De l'Esprit Géométrique), les règles de la démonstration : 

1° prouver toutes les propositions un peu obscures, en n'employant à leur preuve que les définitions qui auront précédé, ou les axiomes qui auront été accordés, ou les propositions qui auront déjà été démontrées;

2° n'abuser jamais de l'équivoque des termes, en manquant de substituer mentalement les définitions qui les restreignent et qui les expliquent.

Les démonstrations géométriques se présentent sous forme de théorèmes, de problèmes, de réciproques, de corollaires, etc. Dans une démonstration directe, on  part des hypothèses et, par une suite de raisonnements logiques, on arrive à la conclusion souhaitée. Mais dans certains cas, la démonstration directe est impossible. On fait alors ce qu'on appelle une démonstration par contradiction (ou démonstration par  l'absurde), en prenant pour point de départ une hypothèse contraire à la proposition qu'on veut démontrer; on arrive à montrer que cette hypothèse conduit nécessairement à quelque contradiction. L'inconvénient de ce genre de démonstration, qu'on ne doit employer que faute de mieux, c'est de prouver, non pas que les choses sont d'une certaine façon et encore moins pourquoi, mais seulement qu'on ne peut pas concevoir sans absurdité qu'elles soient autrement (Apagogie). La démonstration par contraposée est encore un autre type de démonstration. Ici, on démontre que la contraposée de la proposition est vraie. Si "A implique B", on montre que "non-B implique non-A". Les mathématiques, et plus spécialement l'arithmétique, utilisent également la démonstration par induction. Elle est utilisable pour montrer la validité de propositions portant sur des entiers naturels et consiste à montrer qu'une propriété est vraie pour un entier de base (souvent 0 ou 1) et que si elle est vraie pour un entier n, alors elle est vraie pour n+1. (B-E.).

En bibliothèque. - Aristote, Derniers Analytiques, traité complet de la Démonstration; Pascal, De l'Esprit Géométrique; Logique de Port-Royal, IVe partie.