La géométrie

La géométrie est la  branche des mathématiques qui a pour domaine l'étude des propriétés de l'espace. 

D'après Legendre, qui a écrit le traité de géométrie resté longtemps  le plus répandu en France, « la géométrie est une science qui a pour objet la mesure de l'étendue »; d'après d'Alembert, la géométrie « c'est la science des propriétés de l'étendue, en tant qu'on la considère comme simplement étendue et figurée ». 

Par expérience, ou peut-être intuitivement, nous caractérisons l'espace existant par certaines qualités fondamentales, appelées axiomes, qui sont insusceptibles de preuve ; et ces axiomes, en conjonction avec les entités mathématiques du point, de la droite, de la courbe, de la surface et du solide, convenablement définis, sont les prémisses dont le géomètre tire les conclusions. Les axiomes géométriques ne sont que des conventions; d'une part, le système peut être basé sur des inductions d'expérience, auquel cas la géométrie déduite peut être considérée comme une branche de la science physique ; ou, au contraire, le système peut être formé par des méthodes purement logiques, auquel cas la géométrie est une phase des mathématiques pures. 

Évidemment, la géométrie qui nous est la plus familière est celle de l'espace existant - l'espace tridimensionnel de l'expérience; cette géométrie peut être appelée euclidienne, du nom de celui qui en a, le premier, exposé les bases. Mais d'autres géométries existent, car il est possible de formuler des systèmes d'axiomes qui caractérisent définitivement un autre type d'espace, et de ces axiomes de déduire une série de propositions non contradictoires; de telles géométries sont dites non-euclidiennes.

On peut distinguer dans l'étude de la géométrie les rubriques suivantes :

• Géométrie euclidienne : une discussion des axiomes de l'espace existant et des entités géométriques, suivie d'un compte rendu synoptique des éléments d'Euclide. La géométrie classique est dite euclidienne parce qu'elle est basée sur les axiomes admis par Euclide pour élaborer sa géométrie, et en particulier sur celui-ci  : Par un point extérieur à une droite, on ne peut mener qu'une parallèle à cette droite, connu sous le nom de postulat d'Euclide. 

• Géométrie élémentaire. - C'est essentiellement la géométrie des Anciens, construite sur les bases de la géométrie euclidienne. Elle comprend la géométrie plane, qui étudie les figures formées dans les plans, et la géométrie dans espace, qui traite des positions relatives des droites et des plans, et des propriétés du cylindre, du cône et de la sphère. On peut lui rattacher la géométrie à plus de trois dimensions, dans laquelle certaines formules algébriques sont considérées comme représentant des éléments géométriques hypothétiques, par analogie avec les formules analogues dans la géométrie à trois dimensions.

• Géométrie projective : principalement euclidienne, mais qui recourt à la notion de  continuité géométrique - points et lignes à l'infini.

• Géométrie descriptive. - Elle a pour but de représenter les figures de l'espace à l'aide de figures planes; pour cela, on emploie le système de projections sur deux plans, l'un vertical, l'autre horizontal.

• Géométrie analytique : représentation des figures géométriques et de leurs relations par des équations algébriques. La géométrie analytique a pour but de donner un caractère systématique à l'application de l'algèbre à la géométrie; elle montre que toutes les propriétés géométriques peuvent se traduire par des relations numériques. Dans la géométrie analytique, les points sont determinés à l'aide de coordonnées; à une courbe quelconque correspond une relation entre les coordonnées de chacun de ses points : cette rela tion constitue l'équation de la courbe.

Géométrie infinitésimale. - Elle est composée par l'ensemble des propriétés des figures qui, pour être établies, nécessitent l'emploi du calcul infinitésimal.

Géométrie descriptive.  La géométrie descriptive est surtout destinée ù la charpente et la stéréotomie.

• Géométrie de la droite (géométrie linéaire) : un traitement analytique de la droite considérée comme un élément spatial.

• Géométrie non-euclidienne : une discussion des géométries autres que celle de l'espace de l'expérience. Toute géométrie non basée sur les axiomes euclidiens est dite géométrie non euclidienne.

•  Axiomes de la géométrie : une analyse critique des fondements de la géométrie.

En bibliothèque - Géométrie imaginaire. - Lobatchevski, Etudes géométriques sur la théorie des parallèles, trad. Hoüel, suivi d'un Extrait de la correspondance de Gauss et de Schumacher; Paris, 1866. - Jean Bolyai, la Science absolue de l'espace, trad. Hoüel; Paris, 1868. - LobatchevskiI, Pangéométrie (en français), Kazan, 1855. - Houël a également traduit le Mémoire posthume de Riemann (Annali di Matematica pura ed applicata, III, 2) et l'Essai de Beltrami (Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 1869). - Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante; Milan, 1868. - Klein, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, 1871, pp. 341 et suiv.- P. Tannery, la Géométrie imaginaire et la notion d'espace, dans Revue philosophique, novembre 1876 et juin 1877. Géométrie descriptive.- Les Leçons de Monge à l'ancienne École normale dont il a paru plusieurs éditions revues l'une par Hachette, 1812, une autre par Brisson, 1820; la Géométrie de Vallée, 1819, ouvrage honoré d'un rapport à l'Institut, par Delambre.- Les traités de Leroy, de Lagournerie, de M. Mannheim et de Brisse, etc.