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La géométrie
est la branche des mathématiques qui a pour domaine l'étude
des propriétés de l'espace.
D'après
Legendre,
qui a écrit le traité de géométrie resté
longtemps le plus répandu en France, « la géométrie
est une science qui a pour objet la mesure de l'étendue »;
d'après
d'Alembert, la géométrie
« c'est la science des propriétés de l'étendue,
en tant qu'on la considère comme simplement étendue et figurée
».
Nous définirons la géométrie
en disant qu'elle a pour but l'étude de la grandeur et de la forme
des objets, abstraction
faite de leur essence.
Par expérience, ou peut-être
intuitivement, nous caractérisons l'espace existant par certaines
qualités fondamentales, appelées axiomes, qui sont insusceptibles
de preuve ; et ces axiomes, en conjonction avec les entités mathématiques
du point, de la droite, de la courbe, de la surface et du solide, convenablement
définis, sont les prémisses dont le géomètre
tire les conclusions. Les axiomes géométriques ne sont que
des conventions; d'une part, le système peut être basé
sur des inductions d'expérience, auquel cas la géométrie
déduite peut être considérée comme une branche
de la science physique ; ou, au contraire, le système peut être
formé par des méthodes purement logiques, auquel cas la géométrie
est une phase des mathématiques pures.
Évidemment, la géométrie
qui nous est la plus familière est celle de l'espace existant -
l'espace tridimensionnel de l'expérience; cette géométrie
peut être appelée euclidienne, du nom de celui qui en a, le
premier, exposé les bases. Mais d'autres géométries
existent, car il est possible de formuler des systèmes d'axiomes
qui caractérisent définitivement un autre type d'espace,
et de ces axiomes de déduire une série de propositions non
contradictoires; de telles géométries sont dites non-euclidiennes.
On peut distinguer dans l'étude
de la géométrie les rubriques suivantes :
• Géométrie euclidienne
: une discussion des axiomes de l'espace existant et des entités
géométriques, suivie d'un compte rendu synoptique des éléments
d'Euclide. La géométrie classique est dite euclidienne parce
qu'elle est basée sur les axiomes admis par Euclide pour élaborer
sa géométrie, et en particulier sur celui-ci : Par
un point extérieur à une droite, on ne peut mener qu'une
parallèle à cette droite, connu sous le nom de postulat
d'Euclide.
• Géométrie élémentaire.
- C'est essentiellement la géométrie des Anciens, construite
sur les bases de la géométrie euclidienne. Elle comprend
la géométrie plane, qui étudie les figures formées
dans les plans, et la géométrie dans espace, qui traite des
positions relatives des droites et des plans, et des propriétés
du cylindre, du cône et de la sphère. On peut lui rattacher
la géométrie à plus de trois dimensions, dans laquelle
certaines formules algébriques sont considérées comme
représentant des éléments géométriques
hypothétiques, par analogie avec les formules analogues dans la
géométrie à trois dimensions.
• Géométrie projective
: principalement euclidienne, mais qui recourt à la notion de
continuité géométrique - points et lignes à
l'infini.
• Géométrie descriptive.
- Elle a pour but de représenter les figures de l'espace à
l'aide de figures planes; pour cela, on emploie le système de projections
sur deux plans, l'un vertical, l'autre horizontal.
• Géométrie analytique
: représentation des figures géométriques et de leurs
relations par des équations algébriques. La géométrie
analytique a pour but de donner un caractère systématique
à l'application de l'algèbre à la géométrie;
elle montre que toutes les propriétés géométriques
peuvent se traduire par des relations numériques. Dans la géométrie
analytique, les points sont determinés à l'aide de coordonnées;
à une courbe quelconque correspond une relation entre les coordonnées
de chacun de ses points : cette rela tion constitue l'équation de
la courbe.
Géométrie infinitésimale.
- Elle est composée par l'ensemble des propriétés
des figures qui, pour être établies, nécessitent l'emploi
du calcul infinitésimal.
Géométrie descriptive.
La géométrie descriptive est surtout destinée ù
la charpente et la stéréotomie.
• Géométrie de la droite
(géométrie linéaire) : un traitement analytique
de la droite considérée comme un élément spatial.
• Géométrie non-euclidienne
: une discussion des géométries autres que celle de l'espace
de l'expérience. Toute géométrie non basée
sur les axiomes euclidiens est dite géométrie non euclidienne.
• Axiomes de la géométrie
: une analyse critique des fondements de la géométrie.
(EB).
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En
bibliothèque - Géométrie
imaginaire. - Lobatchevski, Etudes géométriques sur
la théorie des parallèles, trad. Hoüel, suivi d'un
Extrait de la correspondance de Gauss et de Schumacher; Paris, 1866.
- Jean Bolyai, la Science absolue de l'espace, trad. Hoüel;
Paris, 1868. - LobatchevskiI, Pangéométrie (en français),
Kazan, 1855. - Houël a également traduit le Mémoire
posthume de Riemann (Annali di Matematica pura ed applicata, III,
2) et l'Essai de Beltrami (Annales scientifiques de l'École
normale supérieure, 1869). - Beltrami, Teoria fondamentale degli
spazii di curvatura costante; Milan, 1868. - Klein, Bulletin des
sciences mathématiques et astronomiques, 1871, pp. 341 et suiv.-
P. Tannery, la Géométrie imaginaire et la notion d'espace,
dans Revue philosophique, novembre 1876 et juin 1877.
Géométrie
descriptive.- Les Leçons de Monge à l'ancienne
École normale dont il a paru plusieurs éditions revues l'une
par Hachette, 1812, une autre par Brisson, 1820; la Géométrie
de Vallée, 1819, ouvrage honoré d'un rapport à l'Institut,
par Delambre.- Les traités de Leroy, de Lagournerie, de M. Mannheim
et de Brisse, etc. |
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