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Axiome

Le mot axiome est la reproduction française du mot grec axiôma, qui veut dire proposition, et vient lui-même de axioô, penser, juger.

Un axiome est une vérité générale, indémontrable, et évidente par elle-même. Dans l'usage ordinaire, on applique de préférence ce nom aux vérités qui servent de principes aux démonstrations mathématiques.

"Le tout est égal à la réunion de ses parties; - la partie est plus petite que le tout; - deux quantités inégales, augmentées ou diminuées de quantités égales, restent inégales après cette augmentation ou diminution, etc."

Le mot axiome convient également bien et est étendu quelquefois à toutes les vérités qui présentent les mêmes conditions d'universalité et d'évidence :

"Tout phénomène a une substance; - tout effet a une cause; - tout corps est dans l'espace, etc."

C'est un axiome de morale qu'on est tenu de faire son devoir, quoi qu'il en doive advenir. C'est en ce sens que les auteurs de la Logique de Port-Royalont entendu les axiomes et qu'ils en ont formulé les règles, lesquelles, ramenées à leur plus simple expression, reviennent à ceci :

1° n'omettre aucun des principes nécessaires, sans avoir demandé si on l'accorde, quelque clair et évident qu'il puisse être;
2° ne demander, en axiomes, que des choses parfaitement évidentes d'elles-mêmes.

On le voit, le nom d'axiome a été réservé aux propositions par excellence, à celles qui sont, pour ainsi dire, les fondements de toutes les autres. C'est pour cela que les mathématiciens donnèrent le nom d'axiomes aux propositions fondamentales de l'arithmétique et de la géométrie.
- Axiome (Stable Diffusion).

Axiome. - Les axiomes sont des propositions fondamentales qui sont considérées comme vraies sans nécessiter de démonstration. Ce sont des énoncés généralement simples et intuitivement évidents, à partir desquels on peut dériver des théorèmes et des propositions plus complexes, mais qui ne sont acceptés et utilisés qu'à l'intérieur d'un système donné. Ils peuvent donc varier d'un système à un autre. Par conséquent, un axiome dans un domaine particulier peut être remis en question ou modifié si de nouvelles découvertes ou réflexions remettent en cause son adéquation. (Image et légende générées par une IA).

Aristote étendit la signification du mot à toutes les propositions évidentes par elles-mêmes et nécessaires pour apprendre quelque science que ce soit. Tous les axiomes, d'après lui, pouvaient se ramener à un premier axiome, le principe de contradiction, qu'il énonçait ainsi : Une chose ne peut pas à la fois être et ne pas être. Les stoïciens élargirent encore le sens de ce mot jusqu'à lui faire signifier toute proposition vraie. On s'accorde aujourd'hui à en donner cette définition : L'axiome est une proposition évidente par ellemême, qui ne peut être démontrée et qui sert à démontrer d'autres propositions. Ainsi, pour qu'une proposition mérite d'être appelée axiome, il faut, non seulement qu'elle n'ait pas besoin d'être démontrée, mais qu'elle ne puisse l'être. C'est surtout en mathématiques qu'il est question d'axiomes. Voici, par exemple, ceux que Legendre énonce au commencement de ses Eléments de Géométrie :

1° Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles;
2°Le tout est plus grand que la partie;
3° Le tout est égal à la somme des parties dans lesquelles il est divisé;
4° D'un point à un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite;
5° Deux grandeurs, lignez, surfacez ou solides, sont égales, lorsque, étant placées l'une sur l'autre, elles coïncident dans toute leur étendue.

Voulant transporter eu métaphysique la méthode des mathématiques, Descartes et à sa suite Spinoza et Wolff énoncent aussi un certain nombre d'axiomes métaphysiques. En somme, le langage des philosophes n'est guère sur ce point plus précis que celui du vulgaire, qui entend simplement par axiome une proposition évidente par elle-même et universellement adoptée. Stuart Mill a soutenu que des propositions axiomatiques, reçues autrefois, ne l'étaient plus aujourd'hui et qu'il n'y avait aucune raison de croire que les axiomes reçus maintenant dussent être éternellement fixés. C'est une conséquence logique des principes de l'Empirisme et de la philosophie de l'Association.

La question devra être examinée et le sera plus à propos au mot Principe. Disons seulement ici que l'opinion de Stuart Mill vient du peu de précision du mot axiome. Dans le sens populaire énoncé en dernier lieu, il est clair que Stuart Mill a raison et que des propositions autrefois universellement adoptées, telles que la non-existence des Antipodes, ne le sont plus aujourd'hui, mais il ne suit pas du tout de là que Stuart Mill ait raison pour les axiomes mathématiques. (G. Fonsegrive).

En bibliothèque - Voir, ans les Pensées de Pascal, le fragment intitulé : De l'Art de persuader, et, dans la Logique de Port-Royal, les chap. 3-7 de la IVe partie.

Dictionnaire Idées et méthodes