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En
termes de mathématiques, on appelle
limite
d'une quantité variable une quantité fixe dont cette variable
s'approche indéfiniment, de manière à en différer
d'aussi peu que l'on veut. Telle est, par exemple, la fraction décimale
0,99999..., qui ne peut jamais être égale à l'unité,
bien qu'on puisse se rapprocher d'autant plus de cette dernière
qu'on écrira à la fraction un plus grand nombre de 9. De
même; si nous supposons un polygone inscrit dans en cercle,
l'aire de ce polygone, en augmentant le nombre de ses côtés,
se rapprochera indéfiniment de celle du cercle; mais la première
ne sera jamais égale à la seconde. Le cercle est donc la
limite des aires du polygone inscrit.
C'est sur la théorie des limites que l'on base communément le calcul différentiel, et la considération de cette notion de limite intervient constamment dans toutes les branches des mathématiques. Voici les théorèmes sur les limites dont on fait le plus fréquemment usage. Toute quantité croissante (ou décroissante) qui ne peut devenir plus grande (ou plus petite) qu'une quantité donnée fixe, a une limite. Deux quantités variables étant égales, si l'une a une limite, l'autre a une limite aussi, et ces limites sont égales. La limite d'une somme (ou d'un produit) de quantités variables en nombre déterminé est égale à la somme (ou au produit) des limites de ces quantités. La limite d'un quotient est égale au quotient des limites du dividende et du diviseur. En général, si f(x, y, z) est une fonction continue de x, y, z, si x, y, z tendent vers a, b, e, respectivement f(x, y, z) aura pour limite f(a, b, c). Il arrive souvent que des valeurs de certaines fonctions se présentent sous des formes sous lesquelles elles se trouvent mal définies, par exemple la fonction (x² - a²) / (x - a) pour x = a est mal définie puisqu'elle se présente sous la forme 0 / 0 qui n'a aucun sens; la valeur de la fonction pour cette valeur particulière x de la variable peut alors être définie comme la limite vers laquelle tend la fonction, quand la variable tend vers a; on dit quelquefois que cette valeur est la vraie valeur de la fonction pour la valeur a de la variable. Lorsqu'une expression
de la forme f(x) / g(x) devient 0/0 ou Calcul des limites.
Limite supérieure
(inférieure) des racines d'une équation.
1° Si [1] A0xm + A1xm-1 + ... + Am = 0 est une équation algébrique à coefficients réels et si N est le plus grand des coefficients négatifs A1/A0, A2/A00, ... An/A0, et si Apxi est le premier terme de signe contraire à A0,Pour trouver une limite inférieure des racines positives d'une équation f(x) = 0, il suffira de prendre une limite supérieure des racines positives de f(1/x) =0; pour trouver une limite inférieure des racines négatives, il suffira de prendre une limite supérieure des racines positives de f(-x)=0; enfin, pour trouver une limite supérieure des racines négatives, il suffira de prendre une limite supérieure des racines de f(-1/x)=0. Limites d'une
intégrale définie.
Une figure quelconque,
ligne, surface ou volume variable peut avoir une forme limite qui est une
forme fixe qu'elle tend à prendre, de manière à en
différer d'aussi peu que l'on veut ( |
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