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Physique et mathématiques du billard
Théorie des effets
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Théorie des effets Vocabulaire

La théorie mathématique du jeu de billard étudie le mouvement des billes suivant la manière dont elles sont frappées et l'angle sous lequel elles touchent la bande, en vertu de lois mécaniques que le joueur doit connaître s'il veut acquérir de l'habileté à ce jeu.

On appelle impact la collision de deux corps. dont l'un est en mouvement ou qui sont tous les deux en mouvement. La collision peut être directe, quand les corps ont l'un et l'autre pour direction une même ligne droite, ou oblique, dans le cas contraire.

Dans la collision oblique, la direction et le mouvement des corps dépendent de l'angle de leur rencontre, de leurs masses respectives et de leurs vitesses originelles. L'un des cas les plus importants de collision est celui dans lequel une bille en mouvement frappe un plan. Soit AC la direction dans laquelle, une bille se meut pour frapper en C une bande de billard, et soit CD la perpendiculaire à la bande. Après le choc, la bille fuira dans la direction CB. L'angle ACD, est appelé angle d'incidence et l'angle. BCD est l'angle de réflexion.-

Si la bille et la bande sont parfaitement élastiques, ces angles seront égaux et la bille aura, après le choc, la même vitesse qu'elle avait auparavant. Si la bille et la bande sont imparfaitement élastiques, l'angle de réflexion sera plus grand que l'angle d'incidence et la rapidité de la bille sera diminuée par l'impact. Enfin si la bille et la bande étaient sans aucune élasticité, la bille, après la collision; roulerait le long de la bande.

Telles sont les lois absolues de l'impact ou choc des corps, mais quand il s'agit du billard, ces lois peuvent être modifiées par le plus ou moins d'élasticité des billes et des bandes, et par la manière dont la queue a frappé la bille. Avant d'engager une partie, il est donc prudent d'essayer les bandes.

Théorie générale.
 En 1758, Johann-Albert Euler, fils aîné du grand géomètre Léonard Euler, publia, dans le recueil de l'Académie de Berlin, un mémoire concernant le mouvement d'une sphère sur un plan, eu égard au seul frottement de glissement. On y trouve un théorème remarquable, d'après lequel une sphère homogène, ou composée de couches concentriques homogènes, se meut au contact d'un plan horizontal de telle façon que son centre décrive une parabole. Pour établir cette propriété, on observe d'abord que le frottement de glissement, proportionnel au poids de la bille, est de grandeur constante. En appliquant ensuite les théorèmes généraux de la dynamique des corps solides, on trouve que la vitesse de glissement du point de contact a une direction constante. La direction de la force de frottement est donc constante, aussi bien que sa grandeur. Le centre de la sphère se meut d'ailleurs comme un point matériel soumis à l'action de cette seule force : par conséquent, sa trajectoire est parabolique; elle devient rectiligne à l'instant où cesse le glissement.

La  Théorie mathématique des effets du jeu de billard a été, dans son ensemble, établie par Coriolis en 1835  Son ouvrage, dit Resal, "a fait peu de sensation, peut-être à cause même de son titre : car les analystes ne sont généralement pas des joueurs de billard, et inversement ". Il est certain, du reste, qu'en pareille matière, la théorie est d'un faible secours pour la pratique. Néanmoins cette étude est intéressante par elle-même, et elle conduit à des résultats bien plus simples qu'on ne serait porté à le supposer. Dans le calcul de l'effet d'un coup de queue, on suppose que le coup est donné en abandonnant la queue à elle-même, sans la serrer avec la main ni la pousser après le choc, et que la bille quitte la queue sous le coup. On admet aussi que l'on ne fait pas fausse queue, c.-à-d. que la queue ne glisse pas sur la bille : il faut pour cela que la direction du choc fasse avec la normale à la bille au point choqué un angle inférieur à celui du frottement. D'après Resal, le coefficient de frottement varie de 0,50 à 0,20, et par conséquent, l'angle de frottement varie de 26° 34' à 11° 20' suivant que la queue est plus ou moins garnie de blanc. La masse de la queue est prise égale à trois fois celle de la bille, et la perte d'énergie à l'instant du choc est évaluée, par expérience, à 0,13 de l'énergie totale. Lorsque le coup de queue est donné horizontalement, le mouvement de la bille est toujours rectiligne. On peut le décomposer en une translation égale à celle du centre, et une rotation autour d'un axe passant par le centre. En négligeant la composante verticale de la rotation, c.-à-d. le pivotement, qui est sensiblement constant et qui n'influe pas sur le glissement du point de contact, il reste une rotation autour d'un axe horizontal perpendiculaire à la translation. 

Si le choc est donné très haut, la rotation initiale est directe et décroissante : la translation commence par s'accélérer jusqu'à ce que le glissement du point de contact soit annulé par le frottement; puis le mouvement continue sous forme de roulement simple, avec une vitesse sensiblement constante. Si le choc est donné à une hauteur égale aux 7/5 du rayon (hauteur du centre supérieur de percussion), la bille prend immédiatement son état final de roulement. Si le choc est donné plus bas, mais néanmoins au-dessus du centre de gravité, il y a rotation directe, croissante, et translation retardée jusqu'à l'état final. Si le choc est donné en dessous du centre, le mouvement varié se décompose en deux périodes : pendant la première, la rotation est rétrograde et décroissante; pendant la seconde, la rotation est directe et croissante. A l'instant intermédiaire, le mouvement de translation subsiste seul, et l'on dit que la bille est à l'état de glissement. 

Quand le choc est donné juste à hauteur du centre, la première période est supprimée et l'état de glissement se produit dès l'instant initial. Pour obtenir la plus grande vitesse de rotation autour de l'axe vertical, il faut frapper la bille à hauteur du centre, et a une distance de ce centre égale à la moitié du rayon. Pour avoir la plus grande vitesse possible de translation à l'état final, il faut frapper au-dessous du centre, à une hauteur qui soit environ le cinquième du rayon. Pour conserver le plus longtemps possible à la bille l'état de glissement (qui est la condition essentielle d'un grand nombre d'effets), il faut frapper la bille au-dessous du centre, à une distance égale au dixième du rayon. Enfin, pour conserver le plus longtemps possible à la bille la faculté de reculer après en avoir choqué un autre, il faut la frapper au-dessous du centre, à une distance égale au quart du rayon. Lorsque le coup de queue est incliné, la bille commence par décrire une parabole en se déviant vers le côté par on elle a été choquée; sa marche finale est parallèle à aligne menée du point d'appui au point de rencontre de l'axe de la queue avec le tapis.

Dans le cas du choc de deux billes, on peut généralement négliger le frottement entre ces billes, et admettre qu'elles sont parfaitement élastiques. En supposant que la bille du joueur roule sans glisser au moment du choc, sa plus grande déviation est de 33°, et se produit quand le centre se dirige à peu près vers le bord apparent de la bille adverse. Lorsqu'au moment du choc, la bille du joueur est à l'état de rotation rétrograde, elle peut, après le choc, marcher dans toutes les directions. Dans le cas exceptionnel où la bille du joueur serait à l'état de glissement sans roulement, elle suivrait après le choc la direction de la tangente horizontale au point de contact avec l'autre bille. Pour le choc d'une bille contre une bande, l'expérience a montré à Coriolis que la vitesse normale rendue par la bande est un peu plus de la moitié de la vitesse normale après le choc, et que le coefficient de frottement est d'environ 0,20. Ces données suffisent pour calculer l'effet d'une bande. Lorsque le choc contre la bande a lieu très près du choc contre une bille, le calcul montre, d'accord avec l'expérience, que la bille du joueur peut ricocher contre la bande, c.-à-d. la toucher deux fois par suite de son mouvement curviligne.

Resal a rectifié et complété, sur quelques points, la théorie de Coriolis. Il a montré notamment que, si l'on veut tenir compte du frottement mutuel des deux billes, on ne peut, comme l'avait fait Coriolis, considérer la direction de ce frottement comme constante pendant la durée du choc. Mais l'erreur ainsi commise a peu d'importance en pratique; car le coefficient de frottement mutuel ne parait pas atteindre 0,03. 

Géométrie.
Le jeu de billard a donné lieu à une foule de questions de mathématiques et a exercé la sagacité des géomètres. Un certain nombre de problèmes intéressants ont été proposés sur le trajet d'une bille sur un billard de forme variable. Dans ces problèmes, on suppose que la bille rencontrant une bande, se réfléchit en formant un angle d'incidence égal à l'angle de réflexion; l'angle d'incidence est l'angle que fait la trajectoire de la bille avant de rencontrer la bande avec la normale à cette bande au point d'incidence, c'est-à-dire au point où la bille vient frapper la bande ; l'angle de
réflexion est l'angle que fait la trajectoire de la bille après avoir rencontré la bande avec la normale au point d'incidence à la bande. Parmi les problèmes les plus intéressants sur ce sujet, nous citerons les suivants : 

1°Quel est le chemin que doit suivre une bille K pour que, frappant un billard formé de deux bandes rectilignes indéfinies, AB et AC, elle revienne au point de départ K après avoir touché les deux bandes? - Ce problème n'a pas de solution quand l'angle A est obtus ou droit. Quand il est aigu; pour avoir la trajectoire de la bille, on joint AK, on mène. BC perpendiculaire à AK, alors le périmètre du triangle MLK qui a pour sommets les pieds des hauteurs de ABC, est la trajectoire demandée; le chemin MKL est le plus court pour partir de K et revenir en K après avoir touché les deux bandes AB et AC. 
3° Quel est le chemin que suit une bille placée sur un billard circulaire pour qu'après avoir touché la bande deux fois, elle revienne au point de départ? La solution de ce problème dépend d'une équation du 3e degré, qui s'abaisse immédiatement au second en observant qu'elle a une solution commensurable évidente. 

3° Dans quelle direction faut-il lancer une bille pour qu'après une, deux... réflexions elle passé par un point donné, etc.? (L. Lecornu / H. Laurent)

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