Cavalieri

En 1629, à l'âge de trente et un ans, il concourait pour une chaire d'astronomie à l'université de Bologne. Les mémoires qu'il présenta pour le concours et qui le firent nommer étaient relatifs, l'un à la géométrie des sections coniques, l'autre à la méthode des indivisibles, à laquelle son nom est resté attaché. Dès 1632, il publiait en italien (à Bologne, comme ses autres écrits) ses travaux sur le premier de ses sujets, sous le titre : Lo Spechio ustorio ovvero trattato delle settioni coniche. Mais pour sa méthode des indivisibles, il attendit un peu plus longtemps, s'occupant d'abord de faire connaître en Italie l'usage des logarithmes. 

Son Directorium generale uranometricum, in quo trigonometriae logarithmicae fundamenta ac regulae demonstrantur (1632), donne pour tous les degrés et minutes du quart de cercle, les sinus, tangentes, sécantes et arcsinus, avec leurs logarithmes à huit décimales. Ces tables renferment même une addition importante par rapport aux autres déjà connues à cette époque; elles sont en effet calculées de seconde en seconde pour les cinq premières et les cinq dernières minutes, de cinq secondes en cinq secondes pour les cinq minutes suivantes, de vingt en vingt secondes jusqu'à 30', de 30 en 30 jusqu'à 1° 30'. Les logarithmes naturels sont également donnés jusqu'à 2000. Cet ouvrage fut ensuite complété et réimprimé sous le titre Trigonometria plana et sphaerica, linearis et logarithmica (1643). 

En 1635, parut sa célèbre Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota et en 1647 il la défendait et la complétait par ses Exercitationes geometricae sex.

L'originalité de Cavalieri est incontestable; mais ce qui lui appartient en propre, c'est moins l'invention d'une méthode de recherche analogue à celle des infiniment petits, que la constitution de cette méthode en un corps muni de démonstrations suffisamment rigoureuses. En même temps que Cavalieri, et indépendamment de lui, Fermat et Roberval arrivaient en France, chacun de leur côté, à des procédés tout à fait semblables, et le premier surtout devançait singulièrement le géomètre italien dans les applications de ces procédés. Mais Cavalieri fut le théoricien de la nouvelle géométrie, et comme tel, il eut une influence immédiate beaucoup plus grande. Son langage fut adopté et ses idées dominèrent jusqu'aux inventions de Newton et de Leibniz. 

L'indivisible de Cavalieri n'est en effet rien autre chose que la différentielle, en tant du moins que partie de l'intégrale. Car on ne saurait trop insister sur ce point que la grande et véritable découverte, pour le calcul infinitésimal, a été la liaison établie entre la différentiation et l'intégration. La relation d'inversion entre le problème des tangentes et celui des quadratures ne paraît en effet avoir été soupçonnée par aucun mathématicien de la première moitié du XVII^e siècle, tandis qu'ils étaient arrivés à résoudre séparément ces problèmes par des procédés très généraux. 

Cavalieri donc se borne aux quadratures, c.-à-d. à ce qui correspond au calcul intégral; il s'agit pour lui d'éviter le recours fastidieux aux démonstrations par l'absurde, dont le modèle était donné dans les oeuvres d'Euclide et d'Archimède. C'est dans ce but qu'il regarde à la limite, par exemple, l'aire d'une courbe comme étant la somme de ses ordonnées (lignes indivisibles en largeur), au lieu de dire, comme on le fait aujourd'hui, qu'elle est la somme des rectangles (divisibles suivant leur largeur) infiniment petits formés par les ordonnées et la différentielle de l'abscisse. L'apparent paradoxe que présente le mot indivisible ne signifie rien autre chose, et si le mode d'expression de Cavalieri prête à la critique, la formule moderne n'y échappe pas davantage. Ainsi, abstraction faite du choix des mots, la méthode des indivisibles est essentiellement la même que la méthode du calcul intégral (par sommation directe) et les démonstrations de Cavalieri sont aussi rigoureuses que les démonstrations modernes.

Cependant l'auteur de la Géométrie des indivisibles n'avait pas su, dès sa première publication, préciser suffisamment sa pensée et la rendre assez claire pour éviter tout reproche de relâchement. Il fut assez vivement attaqué, en particulier par Guldin. Mais les reproches qui lui ont été faits de la sorte ne touchent nullement la difficulté véritable, car le concept de limite n'est pas encore, à cette époque, suffisamment précisé. Aussi Cavalieri eut-il beau jeu dans cette polémique, à laquelle sont consacrés, en majeure partie, ses Exercitationes. Il suffit de dire ici que, d'une part, Guldin ne regardait pas comme convenable, en géométrie, l'emploi du procédé de superposition des figures égales; qu'en revanche il ne fondait que sur une induction mal déguisée le célèbre théorème sur les centres de gravité, auquel il a attaché son nom et qu'il avait emprunté à Pappus. Aussi Cavalieri put-il lui retourner justement le reproche de défaut de rigueur, et montrer en même temps que son adversaire exagérait singulièrement les conditions à imposer à une démonstration géométrique.

Libri (Histoire des Mathématiques en Italie) affirme que le réel inventeur de la méthode des indivisibles est Galilée. Quoique Cavalieri ait certainement été mis en rapport avec le maître de Castelli, cette assertion doit être rejetée. La question, comme on l'a dit, ne doit pas être posée sur l'invention même, car le problème s'agitait depuis que les oeuvres d'Archimède étaient répandues dans le public savant. Quant à la forme de la solution, elle ne consiste pas en un simple mot, mais dans l'ensemble d'une théorie, et cette théorie, il n'y a jamais eu que Cavalieri qui l'ait développée. (P. Tannery).