Différentielle

On appelle différentielle ,(mathématiques[fonction / calcul différentiel]) d'une fonction f (x) d'une variable x, le produit de la dérivée f (x) de cette fonction par un accroissement arbitraire h de sa variable; on désigne cette différentielle par la notation df(x), en sorte que l'on a rigoureusement : df(x) = f'(x)h. Si l'on prend f(x) =x, cette formule donne dx=h, en sorte que la différentielle de x est rigoureusement égale à son accroissement h, et que la formule précédente donne df(x) = f'(x)dx, f(x) = df(x)/dx, d'où, cette notation df(x)/dx,  pour représenter la dérivée de f (x).

Pour Leibniz, la différentielle d'une fonction, c'était son accroissement très petit, infiniment petit, comme à disait, sans définir les mots infiniment petit; on a par la suite préféré dire : l'accroissement et la différentielle diffèrent par un infiniment petit d'ordre supérieur, et il est possible de démontrer qu'ils peuvent être substitués l'un à l'autre dans la recherche des limites  de rapports. Pour Leibniz, l'infiniment petit, c'est le très petit, et le sentiment l'a admirablement guidé dans l'édification de sa doctrine; s'il néglige des infiniment petits d'ordre supérieur, c'est, dit-il, parce que, au fond, c'est négliger le volume d'un grain de sable par rapport au volume de la Terre, doctrine qui, si elle était prise à la lettre, ne ferait du calcul différentiel qu'un calcul d'approximation. 

J'arrive maintenant à l'énonciation du grand principe fondamental du calcul différentiel, qui met d'emblée la doctrine de Leibniz au-dessus du calcul fluxionnel de Newton, du calcul des dérivées, ou de tout autre algorithme équivalent, principe nettement vu par Leibniz, mais qu'il ne pouvait évidemment pas énoncer aussi clairement qu'on le fait aujourd'hui. Lorsque l'on a établi une relation entre quantités infinitésimales en négligeant des quantités d'ordre supérieur, si les quantités conservées sont exprimées au moyen de la notation différentielle, la relation en question est absolument rigoureuse, les quantités négligées se sont détruites, celles qui sont positives étant rigoureusement égales en valeur absolue de celles qui sont négatives. 

Et ce principe, qui abrège les raisonnements, se démontre avec une telle simplicité que nous ne pouvons nous empêcher d'en donner la preuve. Soit :

(1) Adx + Bdy + Cdz = 0,

une formule établie en négligeant des termes de second ordre; si elle n'est pas exacte, on aura :

Adx + Bdy + Cdz = h,

h désignant un terme de second ordre et cela exactement, on en déduit :

A + Bdy/dx + Cdz/dx = h/dx; 

or dy/dx, dz/dx ont des valeurs indépendantes des valeurs de dx, dy, dz, ce sont les dérivées de y et z rigoureusement; le premier membre de cette formule ne dépend donc pas de la grandeur de dx, le second au contraire en dépend tant que h n'est pas nul rigoureusement, donc h = 0, et la formule (1) est rigoureusement vraie. (H. Laurent).