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On
définit communément les mathématiques
comme la science des rapports
des quantités; mais, bien que cette définition,
quand on recherche exactement tout son contenu, soit exacte et suffisante,
les philosophes classiques y ont vu depuis Leibniz
la science des quantités, soit dans le temps,
soit dans l'espace, en considérant avec
ce philosophe, l'espace comme l'ordre des phénomènes
simultanés, et le temps comme l'ordre des phénomènes
successifs. En effet, la science mathématique n'aborde que des questions
d'ordre et de grandeur. Les mathématiques, considérées
abstractivement, comprennent, dit Cournot, un
système de connaissances
scientifiques étroitement liées les unes aux autres, et fondées
sur des notions idéales qui se trouvent dans tous les esprits.
Elles portent sur des vérités rigoureuses
que la raison est capable de découvrir
sans le secours de l'expérience, et
qui , néanmoins peuvent toujours se confirmer par l'expérience
dans les limites d'approximation que comporte celle-ci.
Grâce à
ce double caractère, que nulle autre science ne présente,
les mathématiques, ainsi appuyées sur l'une et l'autre base
de la connaissance humaine, s'imposent irrésistiblement aux esprits
les plus pratiques comme aux plus spéculatifs. Elles justifient
le nom qu'elles portent, et qui indique les sciences par excellence, les
sciences éminentes entre toutes les autres, par la rigueur des théories,
l'importance et la sûreté des applications. Les quantités
dans le temps et l'espace peuvent être considérées
en elles-mêmes et dans les phénomènes physiques auxquels
elles s'appliquent. De là naît une première division
des mathématiques qui, dans le premier cas, prennent Ie nom de mathématiques
pures, et, dans le second, celui de mathématiques appliquées.
Toujours selon cette
approche, la loi formelle de quantité appliquée
au temps donne la succession des instants, ou le nombre;
appliquée à l'espace, elle donne la conception
de la conjonction des points, ou de l'étendue.
La nombre et l'étendue donnent donc naissance à deux branches
distinctes des mathématiques pures : la première est l'algorithmie
ou la science des nombres, laquelle se subdivise en arithmétique,
qui a pour objet les nombres considérés en particulier, et
en algèbre, qui a pour objet les nombres
considérés en général. La seconde est la géométrie
ou la science de l'étendue. A ces deux
branches se rattachent de nombreux rameaux qui sont autant parties détachées
et spécialisées des mathématiques pures. Tels sont,
pour l'algorithmie, le calcul différentiel,
le calcul intégral, le calcul
des probabilités; et pour la géométrie, la géométrie
élémentaire, la géométrie descriptive, et la
géométrie analytique qui unit les deux branches.
Les mathématiques
appliquées peuvent constituer autant de branches différentes
qu'il peut exister de sciences différentes pour le savoir humain.
En conséquence, c'est d'après la considération des
objets auxquels s'appliquent les mathématiques qu'il faut chercher
la base d'une classification pour cette catégorie.
" Parmi
ses objets, dit Montferrier, on peut distinguer ceux qui sont donnés
par la nature ou par l'ensemble des phénomènes physiques,
de ceux qui sont donnés par l'art ou sont les produits de l'action
de l'homme."
Les mathématiques
appliquées formeront donc deux catégories distinctes : l'une
est désignée depuis longtemps sous le nom de sciences physico-mathématiques,
et Montferrier propose pour l'autre le terme de sciences pragmatico-mathématiques.
La mécanique, avec toutes ses divisions, appartient à la
première, tandis que l'arpentage, la géodésie, la
balistique, la navigation, la gnomonique, etc., appartiennent è
la seconde.
Enfin, il un point
da vue qui n'a d'autre raison d'être que les besoins de l'enseignement,
on divise les mathématiques en mathématiques élémentaires,
qui se composent de l'arithmétique, de l'algèbre et de la
géométrie élémentaires, ainsi que de la trigonométrie;
en mathématiques spéciales, qui comprennent l'algèbre
supérieure, la géométrie descriptive, la géométrie
analytique ; et en mathématiques transcendantes, qui renferment
le calcul intégral, le calcul différentiel, etc.
Les méthodes
générales employées dans les sciences mathématiques
sont l'analyse et la synthèse.
Mais, en outre, les mathématiciens désignent encore sous
le nom de méthode, certains procédés particuliers,
certains artifices spéciaux, usités pour arriver à
la solution de divers problèmes, ou pour établir certaines
vérités mathématiques : c'est ainsi que l'on dit,
méthode des infiniment petits, méthode des limites, etc.
" Le goût
de l'exactitude, l'impossibilité de se contenter de notions vagues,
de s'attacher à des hypothèses, quelque séduisantes
qu'elles soient, le besoin d'apercevoir clairement la liaison des propositions
et la but où elles tendent sont, a très bien dit un illustre
géomètre, Lacroix, les fruits les
plus précieux de l'étude des mathématiques. Elle ne
sert pas seulement à rectifier l'esprit, elle l'étend encore,
en multiple les faces ; elle forme une logique plus exacte, plus rigoureuse,
en habituant pour tout à la précision du calcul."
On a remarqué
que, parmi les grands noms auxquels les sciences mathématiques
doivent leurs progrès les plus considérables, plusieurs se
sont également placés au rang des plus grands métaphysiciens
: il nous suffira de citer Pythagore, Platon,
Descartes, Pascal
et Leibniz. Celte observation montre, comme le
dit très bien Cournot,
" que les
spéculations du géomètre et celles du philosophe sont
seules comparables pour la généralité, car seules
elles relèvent au même degré de la faculté dominante
et régulatrice de l'esprit humain, c.-à-d. de la raison.
"
Toutefois il est une
erreur capitale. Nous voulons parler de la prétention d'appliquer
aux sciences d'observation, sciences éminemment complexes et concrètes,
les méthodes propres aux mathématiques, sciences dont le
caractère essentiel est la simplicité et l'abstraction.
Les données des premières sont toujours des notions a
priori, des conceptions pures de l'intelligence, qui existent indépendamment
de tout objet; celles des secondes sont des notions a posteriori qui nous
sont fournies par l'étude des phénomènes, qui ont
besoin d'être interprétées, et qui ne peuvent être
étendues au delà de la sphère des phénomènes
dont elles dérivent. C'est l'oubli ou l'ignorance de ces différences
essentielles qui a valu aux utopies morales et
politiques de notre époque tant de partisans parmi les humains dont
l'éducation professionnelle repose principalement sur l'étude
des sciences mathématiques. (B.).
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David
Ruelle, L'Étrange
Beauté des mathématiques, Odile Jacob, 2011.-
Depuis
l'Antiquité et aujourd'hui encore, les mathématiques sont,
à bien des égards, essentielles pour qui veut comprendre
la nature des choses. Est-il possible de pénétrer le monde
mathématique sans études longues et arides? Oui. Car ce qui
importe, ce n'est pas de maîtriser cette science en profondeur, mais
de comprendre comment l'esprit humain, et plus particulièrement
le cerveau du mathématicien, se mesure à la réalité
mathématique. Un livre à la fois impertinent et distrayant,
qui offre un voyage au coeur du monde des mathématiques et donne
des aperçus très personnels sur quelques-uns des penseurs
qui l'ont exploré.
Gilles
Godefroy, Mathématiques
mode emploi, Odile Jacob, 2011. - "Toutes
et tous, nous avons découvert les mathématiques à
l'école primaire. Mais notre enfance préférait à
l'emploi de ces syllabes intimidantes l'usage de mots plus proches du quotidien
: le calcul, la géométrie.
Saissons-nous
le lien profond qui unit ces deux activités d'allures si différentes
: calculer une surface ou un volume et effectuer des multiplications? Un
peu sans doute. Pourtant, une vie de réflexion ne suffirait pas
à épuiser la richesse des liens qui unissent nombres et grandeurs."
C'est
pourtant ce que se propose de révéler ici Gilles Godefroy
dans un ouvrage qui, tout en retraçant l'histoire de la découverte
des propriétés et des concepts mathématiques des origines
aux questions les plus actuelles, s'efforce de faire mieux comprendre ce
qu'elles nous révèlent de la réalité et comment
les hommes ont véritablement appris à penser et à
manier le réel en inventant des outils mathématiques.
Un
regard "différent" sur les mathématiques, où chaque
grande avancée est expliquée à l'aune de ce qu'elle
permet de faire et de penser dans la réalité concrète.
(couv.).
Denis
Guedj, Les
mathématiques expliquées à mes filles,
Le Seuil, 2008. - Pour tous les nuls en maths, fraction
non négligeable de la population, une introduction décomplexante
à cet univers mystérieux.
De
quoi parlent les mathématiques? Pourquoi semblent-elles faire violence
à la réalité? Pourquoi recourent-elles à tous
ces signes? À quoi servent les nombres? Pourquoi la multiplication
est-elle plus facile que la division? Pourquoi X est-elle une inconnue?
Quelle est la différence entre une égalité et une
équation? Entre l'algèbre
et l'arithmétique? Toutes les questions
qui font ou ont fait trembler les nuls en maths, revisitées par
l'un des meilleurs vulgarisateurs sur ce sujet. Les mathématiques
vraiment expliquées à tout le monde.
Jacques
Bouveresse, Pierre Wagner, Mathématiques
et expérience : L'empirisme logique à l'épreuve (1918-1940),
Odile Jacob, 2008. - Comment les mathématiques,
pure création de l'esprit humain, peuvent-elles s'appliquer au monde
réel qui nous entoure? Comment les géométries
non euclidiennes, nées de spéculations
abstraites, peuvent-elles décrire l'atome
ou l'Univers? Comment la pure logique du calcul
des probabilités peut-elle servir à établir les
lois de la physique ou les statistiques des
assurances?
Ce
sont ces questions qu'affronte dans l'entre-deux guerres l'empirisme
logique, ce grand courant du rationalisme
européen qui suscite aujourd'hui un intérêt nouveau.
Ses grandes figures, Carnap, Schlick. Reichenbach et quelques autres, ont
été des penseurs très différents et profondément
originaux. La philosophie des sciences contemporaine
a encore de nombreuses leçons à tirer de leurs innovations
conceptuelles et de leurs débats internes, mais aussi de la réflexion
sur les limites de leur démarche et sur les obstacles qu'ils ont
rencontrés. (couv.).
Amir
D. Aczel, Nicolas
Bourbaki, histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais
existé, Lattès, 2009. - Le
10 décembre 1934 à midi, dans un café situé
au 63 boulevard Saint-Germain à Paris,
là où aujourd'hui est installé un fast-food, André
Weil, l'un des plus talentueux mathématiciens de cette époque
a rassemblé cinq collègues aussi passionnés que lui.
A eux six, ils représentent les universités de Strasbourg,
Nancy, Rennes
et Clermont- Ferrand, à eux
six, ils viennent de créer le groupe Nicolas Bourbaki dont les publications
vont donner un formidable coup de modernité aux mathématiques
et un immense élan à l'école française.
C'est
à peu près dix ans auparavant que Raoul Husson, élève
à l'Ecole Normale Supérieure, invente le personnage de Nicolas
Bourbaki en s'inspirant du grand Charles Bourbaki qui servit en Crimée,
en Algérie, en Italie
avant de devenir gouverneur militaire de Lyon.
Le premier groupe de cette société secrète est composé
outre d'André Weil, d'Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte,
Jean Dieudonné, René de Possel. La guerre les séparera.
Dans les années quarante le groupe s'enrichira de l'arrivée
de la future médaille Field, Laurent Schwartz et du génie
Alexandre Grothendieck qui dans les années 1990 partit vivre en
ermite dans les forêts pyrénéennes.
Et
aujourd'hui encore, bien que moins rayonnant, le groupe continue à
se réunir avec de nouveaux membres. Bourbaki n'a pas seulement fait
progresser les mathématiques mais a aidé Lévi-Strauss
à formaliser le structuralisme
et a même inspiré les membres de l'Oulipo dans leur recherche.
Voici son étonnante et passionnante histoire. (couv.).
Gilles
Dowek, Les
Métamorphoses du calcul. - Socle
même de la méthode mathématique
depuis l'Antiquité grecque, la
notion de démonstration s'est profondément
transformée depuis le début des années soixante-dix.
Plusieurs avancées mathématiques
importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent
ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement
sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée,
dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires.
Cette véritable révolution nous amène à repenser
le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle
éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts
philosophiques, comme ceux de jugement analytique
et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger
sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur
la singularité des mathématiques qui est longtemps restée
l'unique science à ne pas utiliser d'instruments. Enfin, et c'est
certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles
manières de résoudre des problèmes mathématiques,
qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie
du passé a imposé à la taille des démonstrations
: les mathématiques sont peut-être en train de partir à
la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles. (couv.).
Jean-Claude
Beaune, Gérard Chazal, Mathématisation
du sensible (sur l'oeuvre de Daniel Parrochia), Presses universitaires
de Lyon, 2009.
J.-P.
Cléro, Raisons
de la fiction - Les philosophes et les mathématiques,
Armand Colin, 2004. |
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