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La
métamathématique est la branche de la logique
mathématique qui s'occupe de l'étude des fondements et de la structure
des mathématiques. Contrairement à la mathématique traditionnelle, qui
s'occupe de démontrer des énoncés mathématiques,
la métamathématique s'intéresse aux notions de preuve, de démonstration,
et aux limites des systèmes logiques.
La métamathématique
implique la formalisation des systèmes logiques. Cela signifie définir
précisément les règles et les axiomes qui gouvernent un certain domaine
mathématique et les décrire formellement. Elle analyse les systèmes
de preuve, les relations de consistance, et d'autres aspects liés à la
formalisation logique.
La question de la
définissabilité est aussi centrale : comment peut-on définir des concepts
mathématiques dans un système formel? Quels sont les limites de cette
définition et comment les concepts sont-ils interprétés? Ainsi, par
exemple, relèvent de la métamathématique les
théorèmes
d'incomplétude démontrés en 1931 par Kurt Gödel.
(Ces théorèmes énoncent que dans tout système mathématique suffisamment
puissant pour contenir l'arithmétique, il existe des énoncés qui sont
vrais mais qui ne peuvent pas être démontrés à l'intérieur du système).
Certains aspects
de la métamathématique abordent les défis liés à la réflexivité
et à l'autoréférence, notamment dans
le contexte des paradoxes, tels que le paradoxe du menteur. |
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