Les axiomes de Peano, également appelés axiomes de Peano-Dedekind, sont un ensemble d'axiomes destinés à formaliser les propriétés fondamentales des nombres naturels . Ces axiomes, formulés par le mathématicien Giuseppe Peano en 1889, définissent les nombres naturels en termes de leurs propriétés fondamentales et de leur structure inductive.  Ils servent de fondement aux mathématiques classiques et permettent de développer rigoureusement les concepts d'arithmétique, comme l'addition et la multiplication, à partir de définitions logiques et axiomatiques. Voici les axiomes de Peano, exprimés de manière moderne :

ʉۢ Axiome de l'unit̩ (existence de l'̩l̩ment initial). - Il existe un nombre naturel 0 (ou 1 selon certaines conventions)..

• Axiome de la succession (fonction successeur). - Chaque nombre naturel n a un successeur, noté S(n), qui est également un nombre naturel. Autre formulation : il existe une fonction S (successeur), qui associe à chaque nombre naturel n un autre nombre naturel, noté S(n). Cela représente "le nombre suivant".

• Axiome de l'indépendance de l'unité. - Le successeur de tout nombre naturel est différent de 0. Formellement, pour tout n, S(n) ≠ 0. ela garantit que 0 est distinct de tous les autres nombres naturels.

• Axiome de l'indépendance de la succession (injection de la fonction successeur). - Si les successeurs de deux nombres naturels sont égaux, alors ces nombres sont égaux. C'est-à-dire, pour tout m et n , si S(m) = S(n), alors  m = n. Autrement dit, la fonction successeur est injective. Deux nombres différents ont des successeurs différents.

• Axiome d'induction. - Si une propriété P est vraie pour 0, et si P(n) implique P(S(n)) pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels, alors P est vraie pour tous ces nombres. Cet axiome assure que la méthode de preuve par récurrence est valide.

Ces axiomes permettent de décrire les propriétés fondamentales des nombres naturels :  0 est le "point de départ"; chaque nombre a un successeur bien défini; les nombres naturels sont distincts et forment une suite infinie sans boucle; le principe d'induction garantit que des propriétés définies sur  peuvent être prouvées pour tous les nombres naturels. Les axiomes de Peano ont été utilisés dans un certain nombre d'investigations métamathématiques, y compris des questions de cohérence et d'exhaustivité des théories fondamentales des nombres.