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Théorie des combinaisons (arithmétique, algèbre). - On donne le nom de permutations aux résultats que l'on obtient en disposant les unes à la suite des autres, de toutes les manières possibles, un nombre déterminé de lettres, de manière que toutes les lettres entrent dans chaque résultat et que chacune n'y entre qu'une fois.

Les arrangements sont des résultats analogues, mais ne contenant que quelques-unes des lettres.

Enfin, les combinaisons sont des arrangements qui diffèrent entre eux, au moins par l'une des lettres qui y entrent.

Nombre des permutations de n lettres. Une lettre ne peut donner qu'un résultat; deux lettres a et b fournissent les deux permutations ab et ba : ce nombre de permutations peut s'écrire 1 X 2. Soient actuellement trois lettres a, b, c, on prendra claque permutation des deux premières lettres, et on y intercalera c à toutes les places possibles, ce qui donne trois résultats pour chacune, en tout 1 X2 x 3, qui sont :

abc acb cab bac bca cba.

De même, pour quatre lettres, on trouvera que le nombre des permutations est 1 x 2 X3 X 4, et généralement il est 1 X 2 X 3 X ... n, pour n lettres.

Nombre des arrangements de m lettres n à n. - Le nombre des arrangements 1 à 1 est évidemment m. Pour former les arrangements 2 à 2, on pourra écrire à la droite de chacun des arrangements 1 à 1 chacun des m-1 autres lettres, ce qui donnera pour chacun m-1 résultats différents, et en tout m(m- 1) arrangements 2 à 2. De même, pour obtenir les arrangements 3 à 3, à droite de chaque arrangement 2 à 2 on écrira successivement chacune des m-2 lettres restantes, d'où m-2 résultats différents, en tout m(m-1) (m -2) arrangements 3 à 3, et ainsi de suite.

Nombre des combinaisons de m lettres n à n. -Nous le déduirons de celui des arrangements à l'aide d'une remarque très simple : c'est que chaque combinaison fournirait des arrangements différents en faisant subir aux n lettres toutes les permutations possibles. Or, le nombre de ces permutations est 1, 2, 3... Le nombre des combinaisons est donc :

m(m-1) (m-2...) / 1.2.3...

La théorie des combinaisons est d'une grande utilité dans un grand nombre de recherches, et notamment dans le calcul des probabilités. (E. R.).

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