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Théorème de Sturm

Le théorème de Sturm permet de determiner, beaucoup plus simplement que par la méthode de Lagrange, le nombre des racines réelles d'une équation numérique donnée comprises entre deux limites données et il a rendu de grands services à la physique mathématique. Il s'énonce ainsi :
Si l'on appelle x le premier nombre d'une équation algébrique à coefficients réels, x1 la dérivée de ce premier nombre, x2 le reste changé de signe de la division de x par x1 poussée aussi loin que possible, x3 le reste changé de signe de la division de x1 par x2 poussée également le plus loin possible, x4, x5,... les polynômes successifs obtenus en poursuivant les opérations de la même façon, enfin xr, le plus grand commun diviseur de x et x1 ou le reste de la dernière division  si, ensuite, dans la série des polynômes x, x1, x2,... xn - 1, xn, xn+1..., xr, on substitue successivement à x deux nombres quelconques, a et b, le nombre des racines réelles de x = 0 comprises entre a et b sera donné par la différence des nombres de variations que présenteront les deux suites de résultats, sans que, d'ailleurs, les racines multiples soient annoncées, quel que soit l'ordre de leur multiplicité, autrement que par la perte d'une seule variation.
(L. S.).
 
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Dictionnaire Idées et méthodes
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