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La sphère

 En géométrie, on nomme  sphère une solide délimité par la surface dont tous les point sont à également distance d'un point, son centre. La surface de la sphère est égale à 4..R2, son volume à 4/3..R3 (avec  = 3,1415926...). La sphère est le solide qui enveloppe le plus grand volume sous une même surface. 

La géométrie des figures tracées à la surface d'une sphère, ou géométrie sphérique, a fait l'objet de travaux, fort étendus. - Les triangles sphériques à eux seuls présentent pour nous un intérêt capital, puisque nous vivons à la surface de la Terre dont la surface est sensiblement celle d'une sphère. La trigonométrie sphérique a d'incessantes applications en navigation et en astronomie (sphère céleste). - D'une façon générale, on donne en mathématiques la qualification de sphérique à tous les objets qui se rattachent plus ou moins directement à la sphère. C'est ainsi qu'on a des coniques sphériques, des coordonnées, des fonctions sphériques, etc.

Définitions. Propriétés générales

• La sphère est un solide dont la surface a tous ses points équidistants d'un point intérieur. Ce point est le centre de la sphère

Les rayons d'une sphère sont les segments de droite qui joignent le centre à chaque point de surface; les diamètres sont les segments droite qui joignent deux points de la surface en passant par le centre.

On peut aussi considérer la sphère comme engendrée par la révolution complète d'un demi-cercle autour de son diamètre. Dans la rotation, la demi-circonférence décrit la surface de la sphère. Le centre, le rayon et le diamètre du demi-cercle générateur, sont aussi le centre, le rayon et le diamètre de la sphère.
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• La surface de la sphère est le lieu géométrique des points dont la distance au centre est égale au rayon.

• Les sections planes de la sphère sont des cercles, et, si l'on désigne par R le rayon de la sphère et par d la distance du plan sécant à son centre, le rayon r du cercle
d'intersection sera tel que r² = R²-d². Ce rayon diminue donc à mesure que la distance d augmente. Il est le plus grand possible et est égal au rayon même de la sphère lorsque d = 0; enfin, il devient nul et le plan sécant devient tangent lorsque d = R. Un cercle dont le plan passe par le centre de la sphère est un grand cercle de cette sphère, les autres sections en sont des petits cercles.

Tangence.
• Un plan est tangent à une sphère lorsque ce plan n'a qu'un point commun avec la sphère.

Deux sphères sont tangentes lorsque leurs surfaces n'ont qu'un point commun.

Deux sphères peuvent être tangente extérieurement ou intérieurement; elles peuvent aussi être extérieures intérieures, concentriques, sécantes.

Pôles.
On nomme pôles d'un cercle de la sphère les extrémités du diamètre perpendiculaire à son plan. Chacun des pôles d'un cercle est à égale distance de tous les points de la circonférence de ce cercle, soit, d'ailleurs, que la distance se compte en ligne droite ou suivant la circonférence d'un grand cercle issu du pôle.

On démontre que le plus court chemin d'un point à un autre sur la surface d'une sphère est l'arc de grand cercle qui joint ces deux points. On démontre que par quatre points, dont trois ne sont pas en ligne droite, et dont les quatre ne sont pas dans un même plan, on peut faire passer une sphère et une seule.

Zone et segment sphérique.
• On nomme zone une portion de la surface de la sphère comprise entre deux plans parallèles, et  segment de sphère la portion de volume de la sphère comprise entre ces mêmes plans. 

La zone peut être considérée comme la surface latérale du segment sphérique.

Le segment sphérique a ordinairement deux bases; mais si l'un des plans sécants devient tangent, le segment n'a plus qu'une base; la zone correspondante est aussi appelée zone à une base, ou encore calotte sphérique.

Un segment sphérique est équivalent à la somme d'une sphère qui aurait pour diamètre la hauteur du segment et de deux demi cylindres ayant cette même hauteur et pour bases les cercles de base du segment.

La hauteur d'un segment ou d'une zone est la distance des deux plans parallèles qui déterminent le segment ou la zone.

La zone est engendrée par un arc de cercle tournant autour d'un diamètre qui ne le traverse pas. La mesure d'une zone est le produit des mesures de sa hauteur et de la circonférence d'un grand cercle. Ce théorème se déduit de ce que l'on considère l'aire de la zone comme la limite vers laquelle tend l'aire engendrée par une ligne polygonale régulière inscrite dans l'arc qui a engendré la zone lorsqu'on double indéfiniment le nombre des côtés de cette ligne polygonale. D'autre part, on démontre que l'aire engendrée par une ligne polygonale régulière tournant autour d'un arc situé dans son plan, passant par son centre et ne la traversant pas, a pour mesure le produit des mesures de la circonférence inscrite dans la ligne brisée et de la projection de cette même ligne sur l'axe de rotation.

La surface de la sphère entière est une zone dont la hauteur est le diamètre; par conséquent, la mesure de la surface de la sphère est 2R x 2 R ou 4R ² ; cette surface est quadruple de celle d'un grand cercle.

Secteur sphérique.
• On appelle secteur sphérique le volume engendré par un secteur circulaire pris dans le demi-cercle qui engendre la sphère.

Le volume du secteur a pour mesure le tiers du produit des mesures de la zone qui lui sert de base et du rayon, c'est-à-dire 2RH x 1/3 R ou 2/3R²H.

La sphère entière a pour mesure le tiers du produit des mesures de sa surface et de son rayon, c'est-à-dire 4R²x1/3R ou 4/3R².

Polygone sphérique.
• Un polygone sphérique est une portion de la sphère comprise entre plusieurs arcs de grands cercles. La somme des côtés d'un polygone sphérique est moindre qu'une circonférence de grand cercle.

Un polygone sphérique se décompose, par les diagonales menées d'un même sommet, en autant de triangles qu'il y a de côtés moins deux. On en conclut que la sur face d'un polygone sphérique a pour mesure celle de l'excès de la somme de ses angles sur autant de fois deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux.

Triangle sphérique.
On nomme triangle sphérique une portion de la surface de la sphère comprise entre trois grands cercles. Les propriétés élémentaires des triangles sphériques se déduisent de celles des triangles trièdres. Ces propriétés sont les suivantes : 

• Dans un triangle sphérique, un côté quelconque est moindre que la somme des deux autres; 

• La somme des côtés d'un triangle sphérique est moindre qu'une circonférence entière de grand cercle;

• La somme des angles d'un triangle sphérique, c'est-à-dire la somme des angles dièdres des plans des côtés de ce triangle, est comprise entre doux et six droits;

• Deux triangles sphériques sont égaux dans toutes leurs parties, c'est-à-dire égaux ou symétriques, lorsqu'ils ont les côtés égaux, ou les angles égaux, ou un côté égal adjacent à deux angles égaux ou un angle égal compris entre côtés égaux. 

Si l'on prend pour unité de surface l'aire du triangle trirectangle et pour unité d'angle l'angle droit, un triangle sphérique a pour mesure l'excès de la somme de ses angles sur deux droits.

Deux triangles sphériques symétriques peuvent être placés de manière que leurs sommets soient deux à deux en lignes droites avec le centre. Les pôles des petits cercles passant par les sommets de l'un et de l'autre triangle sont alors aussi en opposition par rapport au centre.

Fuseau. Onglet sphérique.
• On appelle fuseau toute partie de la surface de la sphère comprise entre deux demi-grands cercles; et l'on nomme onglet sphérique la partie du volume de la sphère comprise entre ces mêmes demi-grands cercles.

• L'angle d'un fuseau ou d'un onglet sphérique est l'angle dièdre formé par les plans des deux cercles. L'intersection du ces deux cercles est un diamètre de la sphère. Il se mesure par l'arc de grand cercle décrit de l'un des sommets du fuseau comme pôle, et compris entre les deux arcs.

Un fuseau d'un degré est la 360e partie de la surface de la sphère; et un fuseau quelconque est à la surface de la sphère, comme l'angle de ce fuseau est à quatre angles droits. Le même rapport existe entre l'onglet sphérique et le volume de la sphère.

Sphère osculatrice. 
Une sphère étant déterminée par quatre points, si l'on prend sur une courbe à double courbure quatre points voisins, quo l'on fasse passer une sphère par ces quatre points et que l'on imagine ensuite que trois d'entre eux viennent se confondre avec le premier, la sphère variable qui les contiendra toujours arrivera à un état limite dont la connaissance permettra de déterminer romaines particularités de la courbe au point considéré. Cette sphère prend le nom de sphère osculatrice de la courbe au point choisi.

Propositions

Théorème 1.
Toute section plane d'une sphère est un cercle.

Scolies :

1° Si la distance du plan sécant au contre de la sphère est nulle, la section est un grand cercle; en tout autre cas, la section est un petit cercle.

Ainsi, un grand cercle est toute section dont le plan passe par le centre de la sphère; et un petit cercle est toute section dont le plan ne passe pas par le centre de la sphère.

Tous les grands cercles d'une même sphère sont égaux.

2° On nomme pôles d'un cercle de la sphère, les extrémités du diamètre mené perpendiculairement à ce cercle. Les points P et P' sont les pôles du cercle ABCI.

Chaque pôle d'un cercle est équidistant des différents points de la circonférence de ce cercle; et la distance commune est Ia distance polaire de la circonférence.

3° Pour décrire des arcs circulaires sur la surface d'une sphère, on emploie un compas il branches brisées ou recourbées.

D'un même pôle, on peut décrire une infinité de cercles, tous parallèles comme étant perpendiculaires à la ligne des pôles.

4° Pour décrire, sur une sphère, un arc de grand cercle, il faut prendre une distance polaire égale au rayon multiplié par ; car PB = .

Théorème 2.
Tout plan tangent à une sphère est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact.

Réciproquement :
Tout plan perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon d'une sphère est tangent à cette sphère.

Corollaire : 
Par un point donné sur la sphère, on ne peut mener qu'un seul plan tangent.

Théorème 3.
L'aire d'une zone égale à sa hauteur multipliée par la circonférence d'un grand cercle de la sphère.

Scolies.
1° L'aire de la zone a peut, formule 2rh; d'où il suit qu'une zone quelconque équivaut à la surface latérale d'un cylindre qui aurait pour hauteur la hauteur de la zone, et pour rayon le rayon de la sphère.

2° Sur une même sphère ou sur des sphères égales, les zones de même hauteur sont équivalentes, et deux zones quelconques sont entre elles comme leurs hauteurs.

Théorème 4.
L'aire de la sphère égale le produit de son diamètre par la circonférence d'un grand cercle.

Scolies :

1° Comme le diamètre d'une sphère est exprimé par 2r et la circonférence par 2r, l'aire du la sphère a pour expression 4r², ou 4 fois l'aire d'un grand cercle.

Si l'on appelle d le diamètre, la circonférence est d, et l'aire de la sphère est d².

2° Les surfaces des deux sphères quelconques sont entre elles comme les carrés des rayons ou des diamètres. Car on a :

S/S' = 4r²/4r'² =r²/r'²

De même :

S/S' = d²/d'² = d²/d'²

3° La surface, de la sphère égale la surface latérale du cylindre circonscrit. Car ces deux surfaces sont également exprimées par d².

La surface totale du cylindre circonscrit à la sphère égale 6 fois celle d'un grand cercle.

Théorème 5.
Le volume d'un secteur sphérique égale le tiers du rayon multiplé par la zone correspondante à ce secteur.

Scolies :
1° La zone engendrée par l'arc AIB a pour expression 2rh; donc le volume du secteur sphérique égale 1/3 r.2rh = 2/3  r²h, c'est-à-dire les deux tiers du cylindre r²h qui a pour rayon le rayon de la sphère et pour hauteur la hauteur de la zone.

2° Deux secteurs sphériques appartenant à une même sphère ou à des sphères égales, sont entre eux comme les hauteurs des zones correspondantes.


Théorème 6.
Le volume de la sphère égale le produit de sa surface par le tiers du rayon

Scolies :

1° La surface de la sphère étant  4r², le volume est :

4r² .(1/3).r ou (4/3)..r³

Si l'on appelle d le diamètre, on a r=d/2,  r³ = d³/8, et le volume de la sphère est :

(4/3). .( d³/8) ou (1/6). . d³

2° Deux sphères quelconques sont entre elles comme les cubes des rayons ou des diamètres.

3° Le volume du cylindre circonscrit à une sphère égale r² . 2r ou 2r³; ainsi le rapport de la sphère au cylindre est (4/3. .r³) / 2 r³ = 2/3.

Le même rapport existe entre la surface de la sphère et la surface totale du cylindre circonscrit. (Cette relation a été découverte par Archimède). En général, pour tous les solides circonscrits à la sphère, le rapport des volumes est le même que le rapport des surfaces.

Théorème 7.
Si un segment circulaire tourne autour d'un diamètre, le volume engendré égale le 1/6 du cercle qui auirait pour rapport la corde du segment,multiplié par la projection de cette même corde sur l'axe de révolution.

Scolie. 
Si la corde AB était parallèle à l'axe, ou aurait AB = h, et le volume serait1/6./h³, ce qui correspond au volume de la sphère qui aurait h sur demi-diamètre.

Théorème 8.
Le volume d'un segment sphérique égale la demi-somme des bases multipliée par la hauteur, plus le volume de la sphère dont cette hauteur est le diamètre.

Remarque sur la similitude.
Deux solides de révolution semblables lorsque les les figures génératrices sont semblables, et semblablement reliées à l'axe de révolution.

Toutes les sphères sont des solides semblables.

Dans deux solides semblables :

1° Toutes les dimensions homologues sont dans un même rapport, qui est le rapport de similitude;

2° Toutes les surfaces homologues sont dans un même rapport, qui est le carré du rapport de similitude.

3° Toutes les parties homologues des deux volumes sont dans un même rapport, qui est le cube du rapport de similitude.

Autres propriétés.
• Deux solides quelconques circonscrits à des sphères égales sont entre eux comme leurs surfaces totales.

• Par deux points donnés sur une sphère, on ne peut faire passer qu'un arc de grand cercle, à moins que les deux points donnés ne soient les extrémités d'un même diamètre.

• Par quatre points non situés dans un même plan, on peut faire passer une sphère et une seule.

• On peut, inscrire une sphère à un tétraèdre quelconque.

• Si trois sphères se coupent deux à deux, les plans d'intersection se coupent suivant une même droite perpendiculaire au plan des trois centres.

• Si trois droites rectangulaires coupent une même sphère, la somme des carrés des cordes comprises est constante.

• Dans un triangle sphérique, chaque côté est plus petit que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence (un triangle sphérique est la partie de la surface de la sphère comprise entre trois arcs de grands cercles).

• Dans tout polygone sphérique convexe, la somme des côtés est moindre que la circonférence d'un grand cercle.

• Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre sur la surface de la sphère est l'arc de grand cercle qui passe par ces deux points.

• Si un premier triangle sphérique est polaire d'un second, celui-ci est aussi polaire du premier (un premier triangle est dit polaire d'un autre lorsque les sommets du premier sont les pôles respectifs des côtés du second).

• Dans deux triangles polaires, chaque angle de l'un est le supplément du côté opposé dans l'autre. Et pour cette raison, deux triangles polaires sont en même temps appelés triangles supplémentaires.

• A deux triangles polaires correspondent des trièdres centraux suplémentares et réciproquement.

• Deux triangles tracés sur la même sphère ou sur des sphères égales sont égaux :

1° Lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à des angles respectivement égaux;

2° lorsqu'ils ont un angle égal compris entre des côtés respectivement égaux; 

3° lorsqu'ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun; 

4° lorsqu'ils ont les trois angles égaux chacun à chacun.

• Dans tout triangle sphérique, la somme des côtés est comprise entre 0 et 2 rad (0° et 360°), et la somme des angles entre 2 et 6 droits. (Ou nomme excès sphérique l'excédant variable de la somme des angles d'un triangle sphérique sur deux angles droits).

• Un fuseau sphérique est à la surface de la sphère entière comme l'angle dièdre du fuseau est à 4 droits.

• Dans une sphère quelconque, deux triangles sphériques symétriques par rapport au centre sont égaux en surface.

• Si deux arcs de grands cercles se coupent dans un même hémisphère la somme  des deux triangles opposés équivaut au fuseau entier qui serait compris entre ces deux arcs.

• L'aire d'un triangle sphérique est à l'aire de la sphère entière comme son excès sphérique est à huit angles droits.

• Sur une même sphère ou sur des sphères égales, deux triangles qui ont la même somme pour leurs angles sont égaux en surface.

• Si deux sphères se coupent, leur intersection est un cercle dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres; et le centre de ce cercle se trouve sur cette même ligne.

• Deux sphères quelconques peuvent avoir l'une par rapport à l'autre cinq positions différentes; et les conditions relatives aux rayons et à la distance des centres sont les mêmes que pour les circonférences.

• Pour qu'on puisse construire un triangle sphérique avec trois côtés donnés, il faut et il suffit que la somme des trois côtés soit moindre qu'une circonférence, et que le grand côté soit plus petit que la somme des deux autres.

• Sur une même sphère, tous les cercles parallèles ont les mêmes pôles.

• Dans tout triangle sphérique, si deux côtés sont égaux, les angles opposés sont aussi égaux, et réciproquement.

• L'arc de grand cercle mené du sommet an milieu de la base d'un triangle sphérique isocèle est perpendiculaire à cette base, et divise l'angle du sommet en deux parties égales.

• Sur une même sphère, deux triangles isocèles symétriques sont superposables.

• Dans tout triangle sphérique, à un plus grand angle est opposé un plus grand côté, et réciproquement.

• Si l'on prend le triangle sphérique tri-rectangle pour unité de surface, et l'angle droit pour unité d'angle, la surface d'un polygone sphérique est exprimée par la somme des angles, moins le produit de deux droits par le nombre des côtés moins 2. (FEC / NLI).

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