Imago Mundi - Calcul des probabilités.

Idées et Méthodes
Dictionnaire

Calcul des probabilités (mathématiques). - Le calcul des probabilités a pour but de mesurer les chances d'arrivée des événements dus au hasard. Il semble, au premier abord, que de pareilles chances soient peu susceptibles de mesure, cependant, si l'on y réfléchit, bien que deux événements soient absolument dus au hasard, on n'hésitera pas, dans bien des cas, à leur attribue les mêmes chances. Si, par exemple, une urne contient une boule blanche et une boule noire, parfaitement semblables de forme, il est bien évident, qu'on fermant les yeux, on aura des chances égales de porter la main sur la blanche et sur la noire. Si l'urne contient deux, trois... boules blanches et une noire, il est clair qu'il y aura deux, trois... fois plus de chances de mettre la main sur une blanche que sur la noire. La probabilité d'un événement est le rapport du nombre des cas favorables à l'arrivée de cet événement au nombre des cas possibles et également possibles qui peuvent se présenter quand on attend l'arrivée de cet événement. Il est clair que la définition que nous venons de donner du nombre en question est, dans tous les cas, la véritable mesure de ce que l'on appelle la chance. Quelques exemples vont nous permettre de bien faire comprendre notre définition.

1°) Un ,jeu de piquet contient 32 cartes, 4 as, 4 sept..., 4 dix, 4 valets, 4 dames, 4 rois, on tire une carte au hasard, quelle est la probabilité de tirer un roi? Le nombre des cas également possibles qui peuvent se présenter est 32, car il est également possible de tirer l'une quelconque des 32 cartes, 4 cas amèneront l'événement attendu. Ce sont ceux dans lesquels on tirera un roi; la probabilité de tirer un roi est donc 4/32 = 1/8, la probabilité de tirer un coeur est 8/32=1/4, car il y a toujours les
mêmes 32 cas possibles que tout à l'heure, mais 8 cas favorables qui correspondent aux 8 coeurs du jeu.
2° Une urne contient 10 boules blanches et 20 boules noires, on en tire 3 à la fois au hasard, quelle est la probabilité que deux seront blanches et une noire? On peut considérer comme possibles toutes les combinaisons de trois boules prises parmi les 30 de l'urne, le nombre des cas possibles est donc : C(3,30) = (30.29.28)/(1.2.3). Pour trouver parmi ces cas ceux qui sont favorables, c.-à-d. le nombre de combinaisons formées de deux blanches et d'une noire, considérant l'une d'elles, ôtons la noire, nous aurons une combinaison de 2 boules prises parmi les 10 blanches, le nombre des combinaisons est donc C(2,10) =(10.9)/(1.2), chaque boule noire correspond une de ces combinaisons concourant à produire un cas favorable, ce qui fait en tout (10.9)/(1.2) x 20 cas favorables qui sont également possibles, la probabilité cherchée est donc : ((10.9)/(1.2).20)/((30.29.28)/(1.2.3)) = 45/203, environ 1/5;

Dans tous les exemples qui précèdent, la probabilité trouvée a été inférieure a 1; il en est toujours ainsi, le nombre des cas favorables étant presque toujours inférieur au nombre de cas possibles; il ne lui est jamais supérieur, mais peut lui être égal; dans ce cas, la probabilité représentée par le nombre 1 est une certitude. La probabilité de tirer une boule blanche d'une urne qui ne contient que des boules blanches est une certitude, elle est égale à 1. Il est clair que la probabilité de tirer une boule blanche d'une urne qui ne contient que des boules noires est 0. 1 est donc le symbole de la certitude de l'arrivée de l'événement attendu, 0 est le symbole de son impossibilité.

Nous ne pouvons pas ici exposer en détail les procédés employés dans le calcul des probabilités, nous nous bornerons à énoncer les principes sur lesquels on s'appuie, en renvoyant pour leur démonstration aux ouvrages spéciaux.

Probabilité composée. Lorsqu'un événement E dépend du concours d'événements E' E"... dont les arrivées ne s'influencent pas mutuellement, la probabilité de E est le produit des probabilités de E', E"... Lorsque, au contraire, un événement E dépend du concours de deux autres E' et E" et que l'arrivée de E" ne peut avoir lieu que si E' est déjà arrivé, la probabilité de E est le produit de la probabilité de E' par celle de E" quand E est arrivé.
Probabitite totale. Si l'on appelle cause d'un événement ce qui lui donne sa probabilité, on pourra énoncer le principe suivant: si un événement E peut être attribué à plusieurs causes C, C', C"..., qui s'excluent mutuellement, si l'on désigne par p, p', p" ... les probabilités que ces causes agissent, par q, q', q" ... les probabilités qu'agissant elles donnent respectivement à l'événement attendu E, la probabilité de cet événement est pq + p'q' + p"q" +...

Théorème de Bayes. Soient p, p', p"... les probabilités que des causes c, c', c"..., indépendantes, agissent pour produire l'événement E, soient q, q', q"... les probabilités que, ces causes agissant, elles donnent à l'événement E, la probabilité que, l'événement E étant arrivé, la cause c a produit l'événement, est : pq /(pq + p'q' + p"q"...). La probabilité que la cause c' l'a produit est : p'q'/(pq + p'q' + p"q") et ainsi de suite.

Pour terminer cet article on mentionnera une partie du calcul des probabilités qui a pour but de faire connaître les faits qui, sans être certains, ont cependant de très grandes chances de se produire; dans cet ordre d'idées, il convient surtout de mentionner un célèbre théorème de Jacques Bernoulli qui peut s'énoncer comme il suit : si un événement a une probabilité p, il se présentera dans un très grand nombre s d'épreuves un nombre de fois égal à sp±e, et la quantité e est de l'ordre de la racine carrée du nombre s des épreuves. Le théorème de Bernoulli fait connaître la probabilité P très voisine de l'unité, que e sera inférieur à une limite donnée l.

Inversement, si dans s épreuves on observe un événement E, m fois sa probabilité sera m/s±e, et e sera de s l'ordre de la racine carrée de s. Ces théorèmes et quelques autres analogues sont d'une grande utilité pratique.

Parmi les applications du calcul des probabilités, il faut placer en première ligne la théorie des jeux de hasard. Ce sont d'ailleurs des questions relatives aux jeux qui ont donné naissance au calcul des probabilités dont Pascal et Fermat sont des inventeurs. La théorie du jeu a aussi son côté pratique; la théorie des assurances sur la vie, contre l'invalidité..., fait partie de la théorie du jeu.

Le calcul des probabilités est la base de toute statistique sérieuse, il fournit aux physiciens, aux astronomes, etc. des moyens précieux pour discuter leurs expériences ou les résultats de leurs calculs, enfin il permet souvent de contrôler certaines affirmations, de retrouver des erreurs, etc.

En bibliothèque - Gouraud, Histoire du calcul des probabilités; Paris, 1848, in-8.-A. Cournot, Essai sur les fondements de nos connaissances et sur les caractères de la critique philosophique; Paris, 1851,2 vol. in-8; Poisson, Recherches sur la probabilité des jugements (ouvrage assez complet et cependant facile à lire). - Laplace, Théorie analytique des probabililés (ouvrage qu il ne faut lire que si l'on a déjà quelques notions sur le calcul des probabilités). - Jacques Bernoulli, Ars conjectandi. - Les œuvres de Pascal. - Traités de Lacroix, Cournot, Liagre, Laurent, Bertrand, Poincaré (par ordre chronologique).