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Paraboloïde
(géométrie). - Parmi les quadriques
(surfaces du deuxième ordre), on donne le nom de paraboloïdes
à deux surfaces dont l'étude analytique
présente de frappantes analogies, bien que leur apparence extérieure
soit complètement différente. Ce sont le paraboloïde
elliptique et le paraboloïde hyperbolique. Elles offrent, l'une et
l'autre, deux plans de symétrie
; et si on les rapporte à ces deux plans, l'origine
étant au sommet, en coordonnées
rectangulaires, l'équation de la surface
est y²/p + z²/q = 2x pour le paraboloïde elliptique, et
y²/p - z²/q = 2x pour le paraboloïde hyperbolique.
Le paraboloïde
elliptique est coupé suivant des paraboles
par tous les plans passant par l'axe, ces paraboles
ayant toutes leurs branches infinies dirigées
dans un même sens. Des plans perpendiculaires à l'axe donnent
comme sections des ellipses; si p = q, ces ellipses
deviennent des cercles, et le paraboloïde
de révolution peut être alors engendré par une parabole
tournant auteur de son axe. Le plan perpendiculaire à l'axe, au
sommet d'un paraboloide elliptique, est tangent à la surface, laquelle
est tout entière située d'un même coté de ce
plan.
Dans le paraboloïde
hyperbolique, le plan perpendiculaire à l'axe, au sommet, est encore
tangent
à la surface, mais il coupe celle-ci suivant deux droites; et la
surface s'étend à l'infini de part et d'autre de ce plan
tangent au sommet. Oh peut y placer nue infinité de droites, ou
génératrices rectilignes; et toutes ces droites sont parallèles
à l'un ou l'autre de deux plans Les passant par l'axe et qu'on appelle
les plans directeurs.
Un paraboloïde
hyperbolique peut être considéré comme engendré
par une droite qui se déplace en s'appuyant sur deux droites fixes
(D) (D') et restant p-rallèle à unplan fixe (P). Naturellement,
les droites (D) (D') ne sont ni l'une ni l'autre parallèles au plan
(P); et ce dernier est parallèle à l'un des plans directeurs.
La forme d'une selle de cheval ou d'un col, en topograpphie, donne une
idée assez exacte d'un paraboloïde hyperbolique dans le voisinage
de son sommet. (C.-A. Laisant). |
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