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Paraboloïde (géométrie). - Parmi les quadriques (surfaces du deuxième ordre), on donne le nom de paraboloïdes à deux surfaces dont l'étude analytique présente de frappantes analogies, bien que leur apparence extérieure soit complètement différente. Ce sont le paraboloïde elliptique et le paraboloïde hyperbolique. Elles offrent, l'une et l'autre, deux plans de symétrie ; et si on les rapporte à ces deux plans, l'origine étant au sommet, en coordonnées rectangulaires, l'équation de la surface est y²/p + z²/q = 2x pour le paraboloïde elliptique, et y²/p - z²/q = 2x pour le paraboloïde hyperbolique. 

Le paraboloïde elliptique est coupé suivant des paraboles par tous les plans passant par l'axe, ces paraboles ayant toutes leurs branches infinies dirigées dans un même sens. Des plans perpendiculaires à l'axe donnent comme sections des ellipses; si p = q, ces ellipses deviennent des cercles, et le paraboloïde de révolution peut être alors engendré par une parabole tournant auteur de son axe. Le plan perpendiculaire à l'axe, au sommet d'un paraboloide elliptique, est tangent à la surface, laquelle est tout entière située d'un même coté de ce plan. 

Dans le paraboloïde hyperbolique, le plan perpendiculaire à l'axe, au sommet, est encore tangent à la surface, mais il coupe celle-ci suivant deux droites; et la surface s'étend à l'infini de part et d'autre de ce plan tangent au sommet. Oh peut y placer nue infinité de droites, ou génératrices rectilignes; et toutes ces droites sont parallèles à l'un ou l'autre de deux plans Les passant par l'axe et qu'on appelle les plans directeurs. 

Un paraboloïde hyperbolique peut être considéré comme engendré par une droite qui se déplace en s'appuyant sur deux droites fixes (D) (D') et restant p-rallèle à unplan fixe (P). Naturellement, les droites (D) (D') ne sont ni l'une ni l'autre parallèles au plan (P); et ce dernier est parallèle à l'un des plans directeurs. La forme d'une selle de cheval ou d'un col, en topograpphie, donne une idée assez exacte d'un paraboloïde hyperbolique dans le voisinage de son sommet. (C.-A. Laisant).

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