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Exprimer les nombres
par le langage articulé et par l'écriture,
tel est le but de la numération, qu'on distingue pour cette
raison en numération parlée et en numération écrite,
dans presque tous les traités. Cependant les principes
essentiels restent les mêmes. Nous ne pouvons ici ni, expliquer par
le détail la numération décimale, aujourd'hui à
peu près universellement en usage ni nous livrer à des recherches
historiques sur les numérations qui ont été ou qu'on
croit avoir été employées successivement par les divers
peuples et aux diverses époques.
Toutes les numérations semblent
avoir reposé sur le principe uniforme des bases,
lequel consiste au fond à mettre un nombre N sous la forme :
N =a0+a1.B
+a2.B2+...
B étant
la base, et a0, a1,
a2,... des coefficients toujours
inférieurs à B, qui sont les
chiffres, par conséquent toujours inférieurs à B;
en y ajoutant le zéro qui sert à marquer la place d'un coefficient
nul, cela fait donc B caractères diftérents.
Dans la numération décimale
décimale, la plus usitée aujourd'hui, B
=10, et il faut par conséquent 10 caractères pour
écrire un nombre entier quelconque. Dans la numération binaire,
due à Leibniz, B=2
et on ne se sert que des deux caractère 0 et 1. La numération
duodécimale, qui a quelquefois été proposée,
exige deux chiffres de plus, représentant les nombres 10 et 11 par
un seul caractères. La numération héxadécimale,
qui, comme la numération binaire, est utilisée en informatique,
exige six chiffres de plus (on utilise les lettres A, B, C, D, E, F, pour
les écrire; A correspond à dix, F à quinze).
Il importe, dans l'étude de l'arithmétique, de s'exercer
à penser rapidement d'un système de numération à
un autre.
Cauchy paraît
être le premier qui ait proposé d'employer la numération
décimale avec cinq chiffres seulement, 1, 2, 3, 4, 5, plus le zéro,
bien entendu, en affectant certains chiffres d'un signe -, placé
au-dessus d'eux (ou, comme on le fera ici en les écrivant
en gras) et indiquant que le terme correspond au développement
ci-dessus doit être pris négativement. Par exemple, 3687 s'écrirait
dans ce système 4343, car 4000 - 300 - 10 - 3 = 3687.
Il est possible, avec un peu d'usage, de calculer dans ce système
aussi simplement (et peut-être plus simplement) qu'avec là
numération décimale ordinaire.
On peut imaginer beaucoup d'autres méthodes
de numération, en dehors du principe des bases. Nous indiquons,
uniquement à titre d'exemple, dans cet ordre d'idées, la
numération factorielle, où les chiffres successifs, de droite
à gauche, indiquent les coefficients par lesquels il faut multiplier
les factorielles 1! =1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24,
... pour obtenir le nombre en ajoutant les produits obtenus. Ainsi,
en numération factorielle; le nombre 36259 s'écrirait 7120301.
comme il est facile de le vérifier. Dans un tel système,
un chiffre est toujours au plus égal à son rang à
partir de la droite; mais le nombre des chiffres à employer est
illimité quand les nombres à représenter deviennent
très grands, ce qui rend cette numération, pour ainsi dire,
impraticable au point de vue des calculs ordinaires. Elle n'en est pas
moins précieuse pour certaines questions purement mathématiques.
Dans tout ce qui précède;
il ne s'agit que des nombres entiers. Nous rappelons seulement que l'usage
de la virgule, et des chiffres décimaux écrits à la
suite, permet d'écrire toutes les fractions décimales d'après
un principe analogue à celui qui préside à la numération
des entiers. Ainsi 37,568 représente 3.10
+7 + 5/10 + 6/102 + 8/103.
(C.-A.
Laisant). |
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