Nombre

Quand un nombre est énoncé sans que l'on indique la nature des unités qu'il représente, on le nomme nombre abstrait; dans le cas contraire, il s'appelle nombre concret; ainsi 7 est un nombre abstrait, et quand on dit 7 litres, le nombre est concret. Nous mentionnons ces dénominations parce qu'on risque de les rencontrer dans les anciens ouvrages d'arithmétique, mais nous devons avertir que la seconde tend à donner unie idée inexacte. Un nombre concret n'est pas un nombre, c'est une grandeur. Quand on dit 7 litres, le nombre est 7, le mot litre complète l'idée, mais ne la modifie pas.

Nous supposerons, dans la suite, que l'on ait, donné de ces mots des définitions qui ne dépendent que des propriétés communes à tous les objets auxquels ils s'appliquent. Ainsi, dans ces définitions, l'ordre des objets ne devra jouer aucun rôle; de plus, il sera bien entendu que ne rien ajouter à un de ces objets ce sera ne lui faire subir aucune modification. On appelle grandeurs mesurables ou quantités toutes les choses à propos desquelles on a défini les mots égaler, ajouter, en se conformant aux prescriptions précédentes, alors : « deux qualités égales à une autre sont égales entre elles », « le résultat obtenu en ajoutant plusieurs quantités est indépendant de l'ordre dans lequel on les ajoute », enfin, « quand on n'ajoute rien à une quantité on ne la modifie pas ». On dit qu'une quantité A est plus grande qu'une autre B (ou que B est plus petit que A), si l'on peut obtenir A en ajoutant à B une certaine quantité C. On dit que des quantités sont de même espèce, si l'on peut les concevoir égales, plus grandes ou plus petites les unes que les autres, et si l'on peut les ajouter entre elles. Le nombre qui mesure une quantité est une locution ou un signe qui sert à la représenter, à l'aide de laquelle on désigne cette quantité et toutes celles qui lui sont égales, de manière à les distinguer de toutes celles qui sont plus grandes ou plus petites. Mesurer une quantité, c'est chercher le nombre qui la mesure. Montrons maintenant comment on peut former les nombres. 

Nombres entiers. Considérons des quantités de même espèce, choisissons parmi ces quantités une quantité arbitraire que nous appellerons unité, nous dirons que l'unité et les quantités qui lui sont égales, et qui sont aussi des unités, sont mesurées par le nombre un; toutes les quantités égales du résultat de l'addition d'une unité avec une unité sont dites mesurées par le nombre deux; toutes les quantités égales au résultat de l'addition d'une unité avec, une quantité mesurée par le nombre deux sont dites mesurées par le nombre trois... On appelle nombres entiers ceux qui servent ainsi à mesurer les quantités résultant de l'addition de plusieurs unités. On peut concevoir que l'on ait donné un nom particulier à chacun de ces nombres, et qu'on l'ait représenté au moyen d'un  signe particulier, c'est ce que la numération nous apprend à faire.

Ajouter des nombres, c'est trouver le nombre qui mesure la quantité qui résulte de l'addition des quantités mesurées par ces nombres.

La soustraction est l'opération inverse de l'addition; elle a pour but de trouves un nombre qui ajouté à un nombre donné reproduit un autre nombre donné.

Nous  supposerons que l'on ait défini la multiplication des nombres entiers comme l'addition de nombres égaux au multiplicande, et la division comme une suite de soustractions successives de nombres égaux à un nombre donné. 

Nombres fractionnaires. Quelquefois l'unité est indivisible, c'est ce qui arrive, par exemple, quand cette unité est un être animé; mais le plus souvent elle est divisible, c.-à-d. qu'il existe des quantités de même espèce et égales entre elles qui, ajoutées, donnent l'unité. Supposons qu'il s'agisse de mesurer une quantité A qui ne puisse s'obtenir en ajoutant des unités; on partagera l'unité en deux parties égales que l'on appellera des demies, ou trois parties égales que l'on appellera des tiers, etc. S'il arrive que A et les quantités égales à A poissent s'obtenir par l'addition de demies, de tiers, etc.; s'il arrive par exemple que A résulte de l'addition de sept tiers, on dira que A est mesuré par le nombre fractionnaire sept-tiers. Ainsi les nombres fractionnaires sont ceux qui mesurent les quantités résultant de l'addition des parties égales de l'unité. Les nombres entiers et fractionnaires sont ceux que l'on appelle commensurables. Deux quantités sont commensurables quand il existe une unité qui peut servir à les exprimer toutes deux en nombres entiers.

Nombres incommensurables. Nous appellerons limite d'une quantité variable une quantité fixe dont celle-ci s'approche de manière à en différer d'aussi peu que l'on veut. Ceci posé, supposons qu'ayant successivement partagé l'unité en 2, 3, ..., n,... parties égales, la quantité A ne puisse jamais résulter de l'addition de parties égales de l'unité, on dira que A est incommensurable avec l'unité, et est mesurée par un nombre incommensurable; il s'agit maintenant de définir en nombre, c.-à-d. de définir toutes les quantités égales à A, de manière à les distinguer de celles qui sont plus grandes ou plus petites. Pour cela, il suffit de dire quels sont les nombres commensurables mesurant les quantités plus grandes que A et les nombres commensurables mesurantes quantités plus petites que A. En effet, si l'on connaît. tous les nombres commensurables mesurant les quantités plus grandes et plus petites que A, on saura, par exemple, que A est compris entre les m et les m + 1 n^me de l'unité, quelque grand que soit n, et si une autre quantité B pouvait jouir des mêmes propriétés, A et B différeraient entre elles de mains de la ne partie de l'unité, c.-à-d. d'aussi peu que l'on voudrait; B serait donc une des quantités égales à A. Ainsi un nombre incommensurable sera défini en fournissant le moyen de se procurer tous les nombres commensurables plus grands et plus petits, mesurant les quantités commensurables plus grandes et plus petites due celles qu'il mesure lui-même.

On peut maintenant dire que l'on appelle limite d'un nombre variable un nombre fixe dont le nombre variable peut s'approcher de manière à en différer d'aussi peu que l'on veut. Nous admettrons qu'une quantité sans cesse croissante, et qui ne peut surpasser une quantité donnée fixe, a une limite qu'elle peut atteindre, mais qu'elle n'atteint pas nécessairement; par suite, un nombre variable, qui croît sans cesse sans devenir plus grand qu'un nombre fixe donné, a une limite, de même : un nombre variable qui décroît sans cesse, sans devenir inférieur à un nombre fixe donné, a une limite. 

Il résulte de ces définitions et de ces remarques qu'un nombre incommensurable est la limite commune des nombres commensurables croissants plus petits que lui et des nombres commensurables décroissants plus grands que lui. Mais cette propriété des nombres incommensurables, qui peut servir à les définir, appartient aussi aux nombres commensurables et peut également servir à les définir.

L'idée du nombre entier naît de l'idée de pluralité, de l'idée de répétition, l'action simple est représentée chus cet ordre d'idées par le nombre un, l'acte suivi d'un acte identique est représenté par le nombre deux, l'acte suivi de deux actes identiques par le nombre trois, etc. Chacun de ces nombres est représenté par un symbole, les divers systèmes  de numération ont pour but de donner un nom et de représenter par divers caractères tous les nombres entiers. Dans cette théorie des nombres, il y e lieu de définir l'addition : ajouter plusieurs nombres entiers, c'est effectuer une répétition marquée par le premier  de ces nombres et la continuer autant de fois qu'il y a d'unités dans chacun des nombres suivants; les définitions des autres opérations se font comme dans la première théorie.

Une fraction est l'ensemble de deux nombres entiers dont l'un porte le nom de numérateur, l'autre celui de dénominateur; on représente une fraction en écrivant le numérateur au-dessus du dénominateur et en les séparant par un trait horizontal, on convient alors d'appeler fractions égales celles qui ont : 

1°) les mêmes numérateurs et les mêmes dénominateurs, ou, comme l'on dit, les mêmes termes; 

2°) celles dont les termes sont des équimultiples des mêmes nombres entiers.

Gérald Tenenbaum, Michel Mendès France, Les nombres premiers, entre l'ordre et le chaos, Dunod, 2011. 2100545159 Quoi de plus fascinant que les nombres premiers ? Depuis la plus haute Antiquité, leur suite infinie passionne mathématiciens, philosophes et profanes ; régulière puisque arithmétique, et cependant d'allure chaotique et aléatoire, elle constitue une intarissable source de défis pour l'esprit humain. Longtemps étudiée pour elle-même, la théorie des nombres premiers est aujourd'hui utilisée à la fois comme principe théorique pour des applications à haute valeur ajoutée, telles que la cryptographie, et comme paradigme de système stochastique. La recherche est plus active que jamais dans ce domaine de la théorie des nombres, ainsi qu'en témoignent de récentes et prestigieuses avancées.  Cet ouvrage invite le lecteur à une promenade initiatique autour du problème de la répartition des nombres premiers parmi les nombres entiers. Historique et méthodologique, le texte constitue une concise mais solide introduction aux techniques actuelles de la théorie analytique des nombres premiers.  Alain Bernard, Grégory Chambon, Caroline Ehrhardt, Le sens des nombres : mesures, valeurs et indormations chiffrées : une approche historique, Vuibert, 2010. 2311000160 En raison d une tradition qui remonte à l'Antiquité, les nombres nous apparaissent souvent comme l'objet privilégié de la pensée mathématique et philosophique. Ce prestige particulier fait pourtant oublier que bien avant qu ils ne deviennent l'objet de spéculations théologiques ou philosophiques les nombres ont d'abord été l'outil de la pensée scientifique et économique et qu ils ont servi à la gestion politique des États. Les nombres sont l'un des instruments avec lesquels, aujourd hui encore, nous appréhendons collectivement la réalité. La longue histoire des nombres et de leur usage ne se réduit pas à la maîtrise d'une série d objets idéaux ou théoriques : elle est complexe et plurimillénaire. C'est à la découverte de cette histoire que cet ouvrage nous invite et c'est en référence directe à des usages qui restent indissociables d'un contexte culturel, social et politique qu il y est question du « sens des nombres ». Toujours accompagnés d'une introduction, les textes historiques réunis dans ce volume sont également pourvus d'un commentaire. Pédagogique, il s'adresse particulièrement aux enseignants et aux formateurs d'enseignants qui s intéressent à la problématique choisie. Quant à cette dernière, exposée en détail dans chaque introduction, elle renvoie aux recherches contemporaines en épistémologie et en histoire des sciences.  (couv.). John Derbyshire, Dans la jungle des nombres premiers, Dunod, 2007.   2100500465 En 1859, le mathématicien Bernhard Riemann, alors âgé de 33 ans, utilise une hypothèse permettant de trouver combien de nombres premiers sont inférieurs à une certaine valeur. En 1900, l'" hypothèse de Riemann " figure dans la liste des 23 problèmes majeurs du XXe siècle. C'est depuis l'une des plus grandes énigmes mathématiques de tous les temps. Des bataillons de mathématiciens s'y sont attelés, utilisant des ordinateurs de plus en plus sophistiqués. Rien n'y a fait. L'hypothèse de Riemann n'est toujours pas résolue... Et pourtant, les systèmes de cryptographie moderne sont fondés sur cette hypothèse, de même que certaines propriétés physiques de l'atome! L'Institut Clay, aux Etats-Unis, offre un million de dollars à qui trouvera la clé de l'énigme...  Cet ouvrage passionnant retrace, dans les chapitres pairs, la saga de cette traque d'un genre bien particulier. Les chapitres impairs, quant à eux, s'adressent aux lecteurs férus de mathématiques. Une véritable plongée dans l'enfer des nombres premiers, pour tous les passionnés de mathématiques ou d'histoire des sciences. (couv.). Gérald Tenenbaum,  Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, 2008. - "La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques" disait Gauss. Parfaitement dans l'esprit de la collection "Echelles", l'ouvrage de G. Tenenbaum est une excellente introduction à l'application des méthodes de l'analyse et des probabilités à la théorie des nombres (autrement dit "l'arithmétique", la sciences des entiers positifs ou négatifs).  (couv.). Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers, Eloïse d'Ormesson, 2006. - Les nombres premiers donnent l'impression d'apparaître au hasard dans la suite des nombres entiers. Depuis des siècles, les mathématiciens s'échinent à en percer le secret. S'appuyant sur les arcanes de ce mystère, du Sautoy traite la question en détective. Sa Symphonie des nombres premiers se lit comme un polar qui débuterait en 1859, lorsque Riemann formule une hypothèse selon laquelle l'apparition des nombres premiers suivrait la partition d'un orchestre mathématique. Mais Riemann laisse sa thèse inachevée. (couv.).