Quand un nombre est énoncé sans que l'on indique la nature des unités qu'il représente, on le nomme nombre abstrait; dans le cas contraire, il s'appelle nombre concret; ainsi 7 est un nombre abstrait, et quand on dit 7 litres, le nombre est concret. Nous mentionnons ces dénominations parce qu'on risque de les rencontrer dans les anciens ouvrages d'arithmétique, mais nous devons avertir que la seconde tend à donner unie idée inexacte. Un nombre concret n'est pas un nombre, c'est une grandeur. Quand on dit 7 litres, le nombre est 7, le mot litre complète l'idée, mais ne la modifie pas.

Nous supposerons, dans la suite, que l'on ait, donné de ces mots des définitions qui ne dépendent que des propriétés communes à tous les objets auxquels ils s'appliquent. Ainsi, dans ces définitions, l'ordre des objets ne devra jouer aucun rôle; de plus, il sera bien entendu que ne rien ajouter à un de ces objets ce sera ne lui faire subir aucune modification. On appelle grandeurs mesurables ou quantités toutes les choses à propos desquelles on a défini les mots égaler, ajouter, en se conformant aux prescriptions précédentes, alors : « deux qualités égales à une autre sont égales entre elles », « le résultat obtenu en ajoutant plusieurs quantités est indépendant de l'ordre dans lequel on les ajoute », enfin, « quand on n'ajoute rien à une quantité on ne la modifie pas ». On dit qu'une quantité A est plus grande qu'une autre B (ou que B est plus petit que A), si l'on peut obtenir A en ajoutant à B une certaine quantité C. On dit que des quantités sont de même espèce, si l'on peut les concevoir égales, plus grandes ou plus petites les unes que les autres, et si l'on peut les ajouter entre elles. Le nombre qui mesure une quantité est une locution ou un signe qui sert à la représenter, à l'aide de laquelle on désigne cette quantité et toutes celles qui lui sont égales, de manière à les distinguer de toutes celles qui sont plus grandes ou plus petites. Mesurer une quantité, c'est chercher le nombre qui la mesure. Montrons maintenant comment on peut former les nombres. 

Nombres entiers. Considérons des quantités de même espèce, choisissons parmi ces quantités une quantité arbitraire que nous appellerons unité, nous dirons que l'unité et les quantités qui lui sont égales, et qui sont aussi des unités, sont mesurées par le nombre un; toutes les quantités égales du résultat de l'addition d'une unité avec une unité sont dites mesurées par le nombre deux; toutes les quantités égales au résultat de l'addition d'une unité avec, une quantité mesurée par le nombre deux sont dites mesurées par le nombre trois... On appelle nombres entiers ceux qui servent ainsi à mesurer les quantités résultant de l'addition de plusieurs unités. On peut concevoir que l'on ait donné un nom particulier à chacun de ces nombres, et qu'on l'ait représenté au moyen d'un  signe particulier, c'est ce que la numération nous apprend à faire.

Ajouter des nombres, c'est trouver le nombre qui mesure la quantité qui résulte de l'addition des quantités mesurées par ces nombres.

La soustraction est l'opération inverse de l'addition; elle a pour but de trouves un nombre qui ajouté à un nombre donné reproduit un autre nombre donné.

Nous  supposerons que l'on ait défini la multiplication des nombres entiers comme l'addition de nombres égaux au multiplicande, et la division comme une suite de soustractions successives de nombres égaux à un nombre donné. 

Nombres fractionnaires. Quelquefois l'unité est indivisible, c'est ce qui arrive, par exemple, quand cette unité est un être animé; mais le plus souvent elle est divisible, c.-à-d. qu'il existe des quantités de même espèce et égales entre elles qui, ajoutées, donnent l'unité. Supposons qu'il s'agisse de mesurer une quantité A qui ne puisse s'obtenir en ajoutant des unités; on partagera l'unité en deux parties égales que l'on appellera des demies, ou trois parties égales que l'on appellera des tiers, etc. S'il arrive que A et les quantités égales à A poissent s'obtenir par l'addition de demies, de tiers, etc.; s'il arrive par exemple que A résulte de l'addition de sept tiers, on dira que A est mesuré par le nombre fractionnaire sept-tiers. Ainsi les nombres fractionnaires sont ceux qui mesurent les quantités résultant de l'addition des parties égales de l'unité. Les nombres entiers et fractionnaires sont ceux que l'on appelle commensurables. Deux quantités sont commensurables quand il existe une unité qui peut servir à les exprimer toutes deux en nombres entiers.

Nombres incommensurables. Nous appellerons limite d'une quantité variable une quantité fixe dont celle-ci s'approche de manière à en différer d'aussi peu que l'on veut. Ceci posé, supposons qu'ayant successivement partagé l'unité en 2, 3, ..., n,... parties égales, la quantité A ne puisse jamais résulter de l'addition de parties égales de l'unité, on dira que A est incommensurable avec l'unité, et est mesurée par un nombre incommensurable; il s'agit maintenant de définir en nombre, c.-à-d. de définir toutes les quantités égales à A, de manière à les distinguer de celles qui sont plus grandes ou plus petites. Pour cela, il suffit de dire quels sont les nombres commensurables mesurant les quantités plus grandes que A et les nombres commensurables mesurantes quantités plus petites que A. En effet, si l'on connaît. tous les nombres commensurables mesurant les quantités plus grandes et plus petites que A, on saura, par exemple, que A est compris entre les m et les m + 1 n^me de l'unité, quelque grand que soit n, et si une autre quantité B pouvait jouir des mêmes propriétés, A et B différeraient entre elles de mains de la ne partie de l'unité, c.-à-d. d'aussi peu que l'on voudrait; B serait donc une des quantités égales à A. Ainsi un nombre incommensurable sera défini en fournissant le moyen de se procurer tous les nombres commensurables plus grands et plus petits, mesurant les quantités commensurables plus grandes et plus petites due celles qu'il mesure lui-même.

On peut maintenant dire que l'on appelle limite d'un nombre variable un nombre fixe dont le nombre variable peut s'approcher de manière à en différer d'aussi peu que l'on veut. Nous admettrons qu'une quantité sans cesse croissante, et qui ne peut surpasser une quantité donnée fixe, a une limite qu'elle peut atteindre, mais qu'elle n'atteint pas nécessairement; par suite, un nombre variable, qui croît sans cesse sans devenir plus grand qu'un nombre fixe donné, a une limite, de même : un nombre variable qui décroît sans cesse, sans devenir inférieur à un nombre fixe donné, a une limite. 

Il résulte de ces définitions et de ces remarques qu'un nombre incommensurable est la limite commune des nombres commensurables croissants plus petits que lui et des nombres commensurables décroissants plus grands que lui. Mais cette propriété des nombres incommensurables, qui peut servir à les définir, appartient aussi aux nombres commensurables et peut également servir à les définir.

L'idée du nombre entier naît de l'idée de pluralité, de l'idée de répétition, l'action simple est représentée chus cet ordre d'idées par le nombre un, l'acte suivi d'un acte identique est représenté par le nombre deux, l'acte suivi de deux actes identiques par le nombre trois, etc. Chacun de ces nombres est représenté par un symbole, les divers systèmes  de numération ont pour but de donner un nom et de représenter par divers caractères tous les nombres entiers. Dans cette théorie des nombres, il y e lieu de définir l'addition : ajouter plusieurs nombres entiers, c'est effectuer une répétition marquée par le premier  de ces nombres et la continuer autant de fois qu'il y a d'unités dans chacun des nombres suivants; les définitions des autres opérations se font comme dans la première théorie.

Une fraction est l'ensemble de deux nombres entiers dont l'un porte le nom de numérateur, l'autre celui de dénominateur; on représente une fraction en écrivant le numérateur au-dessus du dénominateur et en les séparant par un trait horizontal, on convient alors d'appeler fractions égales celles qui ont : 

1°) les mêmes numérateurs et les mêmes dénominateurs, ou, comme l'on dit, les mêmes termes; 

2°) celles dont les termes sont des équimultiples des mêmes nombres entiers.