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Lieu géométrique

On appelle lieu géométrique une ligne ou une surface dont tous les points jouissent d'une propriété commune à l'exclusion de tous les autres points de l'espace. Un lieu peut être relatif aux points d'une surface : c'est alors une ligne dont tous les points jouissent d'une même propriété dont ne jouit aucun autre point de cette surface.

Par exemple, la perpendiculaire sur le milieu d'un segment de droite est, dans le plan de ce segment et de cette perpendiculaire, le lieu des points également distants de ce segment de droite; le plan perpendiculaire sur le milieu d'un segment de droite est le lieu des points de l'espace également distants des extrémités du segment de droite. 

Le lieu des points également distants de trois points est la perpendiculaire au plan de ces points menée par le centre du cercle circonscrit au triangle ayant ces points pour sommets. 

Les anciens géomètres appelaient lieux plans la droite et la circonférence du cercle, lieux solides les sections coniques, et lieux linéaires les courbes en général. 

On appelle quelquefois problème local celui qui a pour but la recherche de la nature d'un lieu géométrique. Par exemple : trouver le lieu des points tels que le rapport de leurs distances à deux points fixes soit constant.

Si un lieu géométrique est une ligne ou une surface, réciproquement toute ligne, toute surface est, en général, un lieu de points jouissant d'une certaine propriété pouvant servir à définir cette ligne ou cette surface; mais on conçoit qu'une ligne ou une surface puisse être définie d'une infinité de manières comme lieu. Ainsi, par exemple, en géométrie plane on peut définir la droite comme lieu des points également distants de deux points, comme lieu des points tels que le rapport de leurs distances à deux droites fixes soit constant, etc. 

Il résulte de là que le problème qui consiste à trouver le lieu des points qui jouissent d'une propriété donnée peut être résolu au moyen de réponses de formes très différentes, et la solution d'un pareil problème consiste à transformer la définition du lieu demandé en une autre qui désigne le lieu d'une façon plus simple; ainsi, quand on demande le lieu des points d'un plan tels que le rapport de leurs distances à deux points fixes soit donné, on peut répondre que ce lieu est un cercle. Au fond, on a simplement transformé l'énoncé du problème, en répondant que le lieu demandé est aussi le lieu des points également distants d'un point fixe.

Lorsqu'un lieu est une droite, un cercle, un plan, une sphère, un cône, un cylindre, les procédés de la géométrie élémentaire peuvent le plus souvent permettre de le démontrer, et les propriétés de ces figures étant bien connues, la question peut être considérée comme résolue. Pour les autres lieux, il a fallu indiquer ce que l'on considérait comme une définition simple de ces lieux, et l'on conçoit de cette manière d'entendre la simplicité a quelque chose très arbitraire; cependant Descartes en inventant les coordonnées a permis de classer les différents lieux en les définissant d'une manière assez simple. 

On peut dire, d'une manière générale, qu'un point est déterminé par deux paramètres dans le plan et par trois paramètres dans l'espace. Ces paramètres sont ses coordonnées; le plus souvent ces coordonnées sont les distances du point à des droites ou à des plans fixes. Si l'on établit une relation entre les coordonnées d'un point, on définit un lieu, et tout lieu peut être défini par une ou deux relations entre les coordonnées d'un point; ce sont ces équations qui sont la base de la classification des lieux, classification qui a pour but de reconnaître l'identité de certains lieux définis de manières très différentes.

L'un des buts principaux que l'on se propose en géométrie analytique est de chercher les équations des lieux, ce qui, au fond, n'est qu'une transformation de coordonnées. Quand, par exemple, je demande de trouver l'équation du lieu des points tels que le rapport de leurs distances à un point fixe et à une droite fixe soit constant, je ne fais pour résoudre la question que transformer l'équation du lieu p = kf. (H. laurent).

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