Les équations différentielles

On appelle équation différentielle ordinaire une équation entre une ou plusieurs fonctions de forme inconnue d'une seule variable, la variable dont elles dépendent et leurs dérivées des différents ordres. Une équation différentielle est d'ordre n quand elle renferme des dérivées de cet ordre des fonctions inconnues, sans renfermer de dérivées d'ordre supérieur. Cauchy a démontré le premier, et cela de deux manières différentes, que tout système d'équations différentielles du premier ordre qui pouvait être résolu, ou censé résolu, par rapport aux dérivées des fonctions inconnues, admettait une solution générale, dans laquelle chaque fonction inconnue était exprimée en fonction de la variable indépendante et d'autant de constantes arbitraires qu'il y a de fonctions inconnues; mais, outre cette solution, dite intégrale générale (calcul intégral), il peut en exister d'autres, contenant moins d'arbitraires, et que l'on appelle intégrales singulières. Souvent on suppose les solutions résolues par rapport aux constantes arbitraires, et chacune des solutions mises sous cette forme est dite une intégrale. Les équations d'ordre supérieur admettent également des solutions ou intégrales; on les ramène d'ailleurs à des équations du premier ordre, en prenant les dérivées des fonctions inconnues pour nouvelles fonctions inconnues.

La théorie des équations différentielles est un sujet très vaste, sur lequel on a beaucoup écrit et qui est à peine effleuré; le nombre des équations que l'on sait résoudre, ou, comme l'on dit, intégrer, est très petit, et il ne faut pas s'en étonner; la plupart des équations différentielles pourraient servir à définir des nouvelles transcendantes non exprimables à l'aide des fonctions de l'analyse et de l'algèbre, y compris les fonctions log, sin, cos, tg et même les transcendantes plus compliquées, telles que les fonctions elliptiques employées en nombre fini. Quoi qu'il en soit, on est parvenu. 

1°) à intégrer certains types complètement; 

2°) à trouver des solutions d'autres types; 

3°) enfin on peut étudier sur certaines équations les propriétés des fonctions qu'elles peuvent servir à définir et prouver que ces fonctions ne peuvent pas s'exprimer à l'aide des fonctions connues antérieurement.

Equations aux différentielles totales. - On appelle ainsi des équations qui ont lieu entre des fonctions inconnues, leurs variables et leurs différentielles totales. (J'ajoute du premier ordre, car il ne semble pas que l'on se soit occupé d'équations renfermant des différentielles dordre supérieur). Les équations aux différentielles totales n'admettent que rarement des solutions ou intégrales, et pour qu'elles en admettent, il faut que certaines conditions soient satisfaites.