1° Lorsque
le diviseur n'a qu'un chiffre et que le dividende est plus petit que dix
fois le diviseur, le quotient n'a qu'un chiffre qui est immédiatement
donné par la table, de la multiplication. Il suffit de considérer
la colonne verticale qui commence par le diviseur et de chercher dans cette
colonne soit le dividende, soit le plus petit des deux nombres entre lesquels
il est compris, le rang qu'occupe ce nombre indique le chiffre du quotient.
2° Lorsque le
diviseur a plusieurs chiffres et que le dividende eut encore plus petit
que dix fois le diviseur, le quotient, qui n'a encore qu'un chiffre, petit
aussi se trouver immédiatement, si, comme dans le cas précédent,
on a le tableau des neuf premiers multiples du diviseur.
On peut former ce
tableau en ajoutant le diviseur, d'abord à lui-même et ensuite
successivement à chaque somme trouvée.
Ainsi le quotient
de 7486 par 987 est 7 à moins d'une unité, puisque 7486 est
compris entre 7 fois 987 et 8 fois 987.
Mais comme il faut
former des multiples inutiles, on a cherché à abréger
le calcul en supposant que le nombre par lequel il faut multiplier 987
unités pour avoir 7481; unités doit être à peu
près le même que celui par lequel il faut multiplier 9 centaines
pour avoir 74 centaines, ce qui ramènerait au cas précédent.
Mais ce nombre serait
8, tandis que le véritable est 7. On s'expose donc ainsi à
mettre un chiffre trop fort, et l'on doit l'essayer pour s'assurer qu'il
ne l'est pas.
3° Lorsque le
diviseur a plusieurs chiffres et que le dividende est plus grand que dix
fois le diviseur, il est évident que le quotient a plusieurs chiffres
et qu'on ne peut trouver à la fois tous ces chiffres; on doit donc
les chercher successivement. Pour fixer les idées, soit à
diviser 7486784 par 987. Comme le quotient a plusieurs chiffres, le dividende
se compose de la somme des différents produits obtenus en multipliant
987 par tous ces chiffres du quotient, et probablement encore d'un excès
sur cette somme, excès plus petit que le diviseur et qui sera le
reste de la division. Si l'on pouvait connaître d'avance chacun de
ces produits, il serait facile de trouver chaque chiffre du quotient et
même dans tel ordre qu'on voudrait, puisque chaque dividende partiel
ferait connaître l'ordre des unités du chiffre correspondant
du quotient ; mais en réalité, tous ces produits partiels
sont confondus. On sait bien où commence vers la droite le produit
du diviseur par chaque chiffre du quotient, puisque les unités du
produit sont de meure ordre que celles du quotient mais on ne sait pas
où il se termine vers la gauche.
II n'y a que le produit
du diviseur par le chiffre des unités de l'ordre le plus élevé
du quotient dont on puisse assigner exactement la place sur la gauche du
dividende. C'est donc ce chiffre qu'il faut chercher le premier. Le calcul
doit donc être ordonné par rapport au résultat de l'opération
et non par rapport aux données, comme dans la multiplication, la
soustraction et l'addition, et c'est là ce qui fait la principale
difficulté de la théorie de la division.
II faut donc connaître
d'abord le nombre des chiffres du quotient pour pouvoir trouver chacun
de ces chiffres. Or, en multipliant le diviseur par 10, 100, 1000, 10000,
on reconnaît que le dividende 7186784 est compris entre 9870000 et
987000 donc le quotient est compris entre 1000 et 10000, donc le premier
chiffre à gauche du quotient est de l'ordre des mille, et l'on peut
conclure aussitôt cette règle que le quotient a autant de
chiffres que le dividende en a de plus que le diviseur, et un de plus quand
le premier chiffre du dividende surpasse celui du diviseur.
Cherchons donc le
chiffre des mille du quotient. Il est évident que le produit du
diviseur par ce chiffre est aussi de l'ordre des mille, qu'il doit se trouver
dans les mille du dividende, et que les trois derniers chiffres à
droite du dividende ne peuvent nullement servir à trouver le chiffre
cherché.
Mais, dans les 7486
mille du dividende, il y a des mille qui proviennent de la multiplication
du diviseur par les autres chiffres du quotient ; donc, puisque 7486 est
plus grand que le produit de 987 par le chiffre des mille du quotient,
on peut craindre qu'en cherchant simplement le nombre par lequel il faut
multiplier 987 pour avoir 7486, on ne trouve un chiffre trop fort.
Heureusement il n'en
est pas ainsi. En effet, en examinant le tableau des neuf premiers multiples
de 987, on trouve que 7486 est compris entre 7 fois 987 et 8 fois 987 ;
donc mille fois 7486 ou 7486000 sera compris entre 7 mille fois 987 et
8 mille fois 987, et il en sera de même de 7486784, puisque 784 est
plus petit que mille. Donc le dividende total 7486184 est compris entre
7 mille fois 987 et 8 mille fois 987, comme Ie dividende partiel 7486,
est compris entre 7 fois 987 et 8 fois 987. Donc le chiffre des plus hautes
unités du quotient est 7, ou rentre donc ainsi dans le cas précédent.
Si du dividende total
on retranche le produit de 987 par 7000, le reste est 577784. C'est un
nouveau dividende sur lequel on raisonne comme sur le précédent,
en ne prenant pour trouver le chiffre des centaines que la partie 577 7
centaines. On continue de la même manière pour avoir tous
les chiffres du quotient.
Donc, la recherche
du quotient de deux nombres entiers quelconques se réduit en définitive
au cas où le dividende a deux chiffres au plus et le diviseur un
seul chiffre. La division se ramène ainsi à l'addition de
deux nombres d'un seul chiffre, c'est-à-dire à une opération
qui peut se faire sur les doigts; donc la division rationnellement expliquée
et ramenée à l'opération élémentaire
peut être exécutée par les intelligences les plus ordinaires.
On peut s'assurer
à chaque division partielle si le chiffre du quotient est exact
quand on procède par tâtonnement; car il est trop grand, si
le produit du diviseur par ce chiffre ne peut se retrancher du dividende
correspondant; il est trop faible, si le reste de cette soustraction est
plus grand que le diviseur. La vérification du quotient total est
indiquée par la définition même de l'opération,
car en multipliant le diviseur par ce quotient et en ajoutant le reste
au produit, on doit retrouver le dividende total.