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Diviseur commun. - Un diviseur commun à plusieurs nombres est un nombre qui les divise tous exactement. Le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres est le plus grand des nombres qui les divisent exactement.
Plus grand commun diviseur entre deux nombres. - Comme ce plus grand commun diviseur doit diviser le plus petit nombre, il ne peut le surpasser, et il lui serait précisément égal si le plus petit nombre divisait le plus grand. On commence donc par faire cette division. S'il y a un reste, le plus petit nombre n'est pas le plus grand commun diviseur; mais tout diviseur commun au dividende et au diviseur est aussi un diviseur commun au diviseur et au reste, et réciproquement, tout diviseur commun au reste et au diviseur est un diviseur commun au diviseur et au dividende; donc le plus grand commun diviseur cherché est aussi celui du plus petit nombre et du reste; donc la recherche du premier est ramenée à celle du second, et l'opération se simplifie, puisque les nombres sont plus petits. On continue le raisonnement et l'opération jusqu'à ce qu'on arrive à une division exacte. Le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur cherché.
Remarques :
1° Si le dernier diviseur est 1, les nombres sont dits premiers entre eux.

2° Tout diviseur commun à deux nombres divise tous les restes obtenus dans la recherche de leur plus grand commun diviseur et, par conséquent, le plus grand diviseur lui-même qui est un de ces restes.

3° En multipliant deux nombres par un troisième, tous les restes et, par suite, le plus grand commun diviseur sont aussi multipliés par ce nombre. Donc le plus grand commun diviseur entre 4 fois 1296 et 4 fois 354 est 4 fois 6 ou 24.

4° En divisant les deux nombres par un troisième nombre, leur plus grand commun diviseur est aussi divisé par ce nombre. Donc le plus grand commun diviseur entre la moitié de 1296 et la moitié de 354 est la moitié de 6 ou 3. Donc si l'on divise les deux nombres par leur plus grand commun diviseur lui-même, le plus grand commun diviseur des quotients est 1; donc ces quotients sont premiers entre eux.

Plus grand commun diviseur de plusieurs nombres. - Cette recherche se ramène à la précédente. On cherche le plus grand commun diviseur entre deux de ces nombres, puis le plus grand commun diviseur entre celui qu'on vient de trouver et un troisième nombre, et ainsi de suite. Le dernier plus grand commun diviseur est celui des nombres proposés.

Remarque - Tout diviseur commun à plusieurs nombres divise leur plus grand commun diviseur, et réciproquement, tout nombre qui divise le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres est un diviseur commun a tous ces nombres. Donc, pour trouver tous les diviseurs communs à plusieurs nombres, il subit de chercher tous les diviseurs de leur plus grand commun diviseur. (L.).

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