Imago Mundi - Développement.

Idées et Méthodes
Dictionnaire

Développement (mathématiques). - Développer un calcul, c'est effectuer autant que possible les opérations indiquées, de manière que chaque résultat partiel sur lequel portera une des nouvelles opérations formulées soit le plus simple possible.On sait que deux surfaces sont applicables lors qu'on peut faire correspondre leurs points deux par deux, de façon qu'à un élément de ligne sur l'une corresponde un élément égal en longueur sur l'autre. Développer une surface sur une autre qui lui est applicable, c'est déterminer sur cette autre la courbe qui correspond à une courbe située sur la première. En particulier, développer une développable sur un plan, c'est trouver sur ce plan la courbe correspondant à une courbe située sur la développable.

Développement du cylindre droit. La section droite se transforme en une droite de même longueur; les génératrices deviennent des perpendiculaires sur cette droite; elles conservent leur longueur. On obtient le développement d'une courbe quelconque à la surface du cylindre en déterminant le développement de ses différents points d'intersection avec les génératrices.
Développement du cône. On le coupe par une sphère ayant son centre au sommet. Cette section se développe suivant un arc de cercle d'égale longueur et d'un rayon égal au rayon de la sphère; les génératrices se développent suivant des rayons de cet arc de cercle. On obtient le développement d'une courbe située à la surface en développant les points d'intersection avec les génératrices.

D'une façon générale, étant donnée une courbe sur une développable quelconque, on en obtient le développement au moyen des développements de ses intersections avec les génératrices. Il suffit de remarquer que ces génératrices se développent suivant des tangentes à la transformée de l'arête de rebroussement et que leur longueur, depuis le point de contact jusqu'à l'intersection avec la courbe, se conserve. D'autre part, les angles formés par les tangentes à la courbe et les génératrices aboutissant au point de contact se conservent aussi dans le développement. Cette propriété permet d'obtenir, en même temps que la transformée d'un point de la courbe, la tangente en ce point à la courbe développée. Enfin, les points d'inflexion de la courbe développée proviennent de ceux de la courbe dans l'espace pour lesquels le plan osculateur est perpendiculaire au plan tangent à la développable.