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Le cône

On nomme généralement cône une surface engendrée par une droite assujettie à passer par un point fixe, et dont le mouvement doit, d'ailleurs, être réglé par une condition spéciale. Cette condition que doit remplir la droite mobile peut être de rencontrer toujours une courbe donnée, qui prend alors le nom de directrice du cône, ou de rester tangente à une surface donnée, auquel cas le cône est dit circonscrit à la surface donnée.

En un sens plus particulier, on nomme cône la surface engendrée par une droite mobile tournant autour d'un axe fixe qu'elle rencontre toujours au même point, en faisant avec lui un angle constant. C'est le cône de révolution.

Plus particulièrement encore, on désigne sous le nom de  cône la surface précédente limitée à une section faite perpendiculairement à son axe, ou même le volume compris entre la surface ainsi limitée et le plan de base. On a ainsi le cône étudié en géométrie élémentaire.

Si l'on coupe un cône par un plan-parallèle à sa base, et que l'on enlève le cône supérieur, le volume restant s'appelle un tronc de cône.

Cônes de révolution

Définitions.
•  On appelle cône de révolution le solide engendré par la révolution complète d'un triangle rectangle autour de l'un des côtés de l'angle droit.

Le côté h, autour duquel tourne le triangle rectangle générateur, est à la fois l'axe et la hauteur du cône.

L'hypothénuse l est la  génératrice ou le côté du cône; pendant le mouvement, ce côté engendre la surface latérale du cône.

L'autre côté r du triangle générateur est le rayon du cône; il engendre le cercle qui lui sert de base. La base est perpendiculaire à l'axe

• Le cône de révolution est la limite de la pyramide régulière dans laquelle le nombre des faces latérales augmenterait indéfiniment; et le cône lui-même peut être considéré comme une pyramide régulière d'une infinité de faces.

Il suit de là que l'on peut appliquer au cône de révolution les propriétés de la pyramidee régulière.

Par exemple :

1° Toute section faite parallèlement à la base d'un cône de révolution est un cercle; et ce cercle est à la base du cône comme le carré de la hauteur du cône partiel est au carré de la hauteur totale;

2° Tout plan qui coupe dans un même rapport trois génératrices d'un cône est parallèle est parallèle à la base de ce cône;

3° Si les génératrices d'un cône sont coupées par plusieurs plans parallèles, les sections obtenues sont des figures semblables, et leurs surfaces sont entre elles comme les carrés de leurs distances au sommet du cône;

4° Si deux cônes ont même hauteur, les sections faites à égale distance des sommets parallèlement aux bases sont entre elles comme ces mêmes bases.

• En général, on appelle surface conique toule surface engendrée par une droite indéfinie AA' qui se meut dans l'espace, en passant toujours par un même point S.

La surface conique se compose de deux parties ou deux nappes opposées par le sommet.

Si la droite génératrice revient à sa position première AA', elle a engendré une surface conique fermée.

On considère quelquefois la génératrice comme devant s'appuyer constamment sur une ligne donnée ABCD, que l'on nomme directrice.

• Un cône quelconque est le solide compris entre une surface conique quelconque et un plan qui coupe toutes les génératrices.

On peut le considérer comme une pyramide quelconque d'une infinité de faces.

Les propriétés de la pyramide quelconque peuvent être appliquées au cône quelconque, qui en est la limite.

D'une manière plus générale, on désigne en géométrie sous le nom de surface conique toute surface engendrée par une droite qui passe constamment par un point donné en suivant le contour d'une ligne donnée appelée directrice.
 

Cône de révolution. - C'est un solide engendré par la révolution d'un triangle rectangle SAO, autour d'un des côtés SO de l'angle droit. S est dit le sommet du cône, SO sa hauteur. La surface engendrée dans le mouvement par l'hypoténuse SA forme la surface latérale du cône; le cercle décrit par AO forme sa base; la circonférence décrite par le point A, est appelée circonférence de base, SA se nomme le côté ou l'apothème du cône.

Propositions.
Théorème a.
La surface latérale d'un cône de révolution égale la moitié du produit de la génératrice par la circonférence de la base.

Scolies :

1° Soit r le rayon d'un cône, et soit l le côté; le surface latérale sera exprimée par ½.2rl ou rl;  la surface totale sera exprimée par .r(l+r).

2° En développant sur un plan la surface latérale d'un cône de révolution, on obtient un secteur circulaire, qui a pour rayon le côté du cône, et pour arc la circonférence de la base.

Dans un cône quelconque, le développement de la surface latérale donne un secteur irrégulier, que l'on évalue, comme la base, par des méthodes approximatives.

Théorème b.
Le volume d'un cône égale le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Scolies :

1° Le volume du cône de révolution a pour formule 1/3 r²h.

2° Un cône quelconque est le tiers du cylindre qui a même base  et même hauteur.

3° Deux cônes quelconques sont entre eux comme les produits des bases par les hauteurs :

Deux cônes de même base sont entre eux comme les hauteurs, et deux cônes de même hauteur sont entre eux comme les bases.

4° Deux cônes qui ont même hauteur et des bases équivalentes sont équivalents.

5° Le sommet d'un cône peut se mouvoir dans un plan parallèle à la base sans que le volume soit changé. 

Autres propriétés.
• Le volume d'un cône circulaire droit égale la surface latérale multipliée par le tiers de la distance du centre de la base au côté du cône.

• Le volume d'un cône circonscrit h une sphère, égale le produit de sa surface totale par le tiers du rayon de la sphère.

• Le volume d'un cône circulaire droit égale le tiers de la surface du triangle générateur multiplié par la circonférence du cône.

Géométrie analytique.
L'équation en coordonnées rectilignes d'un cône rapporté à son sommet pris pour origine est nécessairement homogène par rapport aux trois variables x, y. z, parce que les trois coordonnées d'un point de la surface doivent pouvoir subir une transformation proportionnelle, dans un rapport arbitraire, sans que le point représenté par les valeurs ainsi modifiées de x, de y, et de z cesse de représenter un point de la surface du cône.

Réciproquement, toute équation homogène entre trois coordonnées rectilignes, x, y, z, représente une surface conique, parce que, les trois variables liées entre elles par une pareille équation pouvant subir une mutation proportionnelle arbitraire, tous les points de la droite qui joindrait l'origine des coordonnées à un point de la surface appartiennent à cette même surface.

Les sections faites par les plans parallèles dans un cône sont toutes semblables, d'après la définition même de la similitude; les tangentes menées à ces sections, aux points situés sur une même génératrice, sont donc parallèles, et, par suite, contenues dans un même plan; ce plan est le plan tangent au cône, le long de la génératrice considérée. Un plan tangent à un cône le touche donc en tous les points de la génératrice qui passe par le point de contact. 

Les sections du cône de révolution, ou plus généralement du cône du second degré, par des plans, portent le nom de sections coniques. Ce sont le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Chacune correspond à la forme de la trajectoire, ou orbite, d'un corps sous l'effet d'une force d'attraction gravitationnelle. 

Troncs de cône de révolution

Définitions.
• Un tronc de cône de révolution à bases parallèles est la portion d'un cône de révolution comprise entre la hase et une section parallèle à cette base.

Le tronc de cône de révolution à bases parallèles peut être considéré comme engendré par un trapèze rectangle tournant autour du côté qui est perpendiculaire aux bases.

• Le tronc de cône de révolution à bases parallèles est la limite du trônc pyramidal régulier dans lequel le nombre des faces latérales augmente indéfiniment; et lui-même peut être considéré comme un tronc pyramidal régulier d'une infinité de faces.

Il suit de là que l'on peut appliquer au tronc de cône de révolution les propriétés du tronc pyramidal régulier.

Propositions.
Théorème 1.
• La surface latérale d'un tronc de cône de révolution égale la génératrice multipliée par la demi-somme des circonférences des bases.

Scolies :

1° En développant sur un plan la surface latérale d'un tronc de cône de révolution, on obtient un trapèze circulaire AD' qui a pour hauteur le côté AD du tronc, et pour bases les développements des circonférences des bases du tronc de cône.

2° La demi-somme des circonférences des bases est égale à la circonférence décrite à égale distance de ces mêmes bases; on peut l'appeler circonférence moyenne.

3° En appelant l le côté du tronc de cône, R et r, les rayons des bases, et r' le rayon moyen égal à (R+r)/2, on a pour expression de la surface latérale du tronc de cône : (2R+2r).l/2, soit l (R+r), ou bien, en fonction de la circonférence moyenne : 2r'l

Théorème 2.
Autre formulation. La surface latérale d'un tronc de cône de révolution, égale la hauteur du tronc, mullipliée par la circonférence qui aurait pour rayon la perpendiculaire élevée au milieu du côté et terminée à l'axe.

Scolie :

Le cône entier peut être- considéré comme un tronc de cône dont la base supérieure, est nulle. Donc la surface latérale d'un cône de révolution égale la hauteur multipliée par la circonférence qui aurait pour rayon la perpendiculaire élevée au milieu du côté et terminée à l'axe.
Théorème 3 (théorème d'Archimède).
Si une ligne polygonale régulière tourne autour d'un axe situé dans son plan et passant par son centre, alors : 
1° La surface engendrée égale la circonférence qui aurait pour rayon l'apothème de la ligne brisée, multipliée par la projection de cette même ligne brisée sur l'axe. (Nous supposons que l'axe ne coupe pas la ligne mobile).

2° Le volume d'un tronc de cône à bases parallèles égale le tiers de la hauteur multiplié par la somme des bases augmentée de leur moyenne géométrique.

Scolie :
Soient R et r les rayons des bases d'un tronc de cône de révolution, et h sa hauteur; les bases out pour expression R² et r²'; leur moyenne géométrique est Rr, et le volume est : 
1/3h (R²+r²+Rr) ou 1/3h(R²+r+Rr).

Théorème 4.
Si un triangle tourne autour d'un axe mené dans son plan par l'un des sommets, Le volume engendré égale, le tiers de la hauteur correspondante à ce sommet, multiplié par la surface qu'engendre le côté opposé. (Nous supposons que l'axe ne coupe pas le triangle tournant).

Théorème 5.
Si un secteur polygonal régulier tourne autour d'un axe mené dans son plan et par son centre, Le volume engendré égale le tiers de l'apothème, multiplié par la surface qu'engendre la ligne polygonale. (Nous supposons que l'axe ne coupe pas la surface tournante).

La surface décrite par la ligne polygonale ABCD égale KL X circ.OI, ou KL X 2OI.

Le volume engendré par le secteur OABCD a donc pour formule : 2 OI.1/3.OI.KL ou 2/3.OI².KL, ce qui correspond aux 2/3 du cylindre qui aurait OI pour rayon et KL pour hauteur.

Théorème 6.
Le volume d'un tronc conique circonscrit à une sphère égale le produit de sa surface totale par le tiers du rayon de la sphère.

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