Imago Mundi - Calcul différentiel.

Idées et Méthodes
Dictionnaire

Calcul différentiel (mathématiques). - L'analyse infinitésimale, en général, a pour but l'étude des fonctions à l'aide de procédés qui lui sont propres. Ces procédés consistent dans l'application répétée d'un petit nombre de principes relatifs aux limites des quantités variables. Dire qu'elle a pour but l'étude des fonctions, c'est dire que ses applications ont un champ très vaste et s'étendent à toutes les branches des sciences physiques; elle leur prête son concours dans l'étude des lois, des phénomènes les plus divers, presque toutes les lois se traduisant par des relations analytiques entre des quantités variables. L'analyse infinitésimale est une science; le calcul différentiel n'est pas à proprement parler une science : c'est un procédé, un instrument commode dont l'analyse infinitésimale fait usage pour atteindre les buts qu'elle se propose, et il n'y a pas une question résolue à l'aide du calcul différentiel que l'on ne puisse résoudre autrement, mais il est peu probable que les mathématiciens lui substituent jamais un instrument plus merveilleux et plus parfait. Voici dans quelles circonstances est né le calcul différentiel.

Les Anciens avaient défini la tangente à une courbe en un point donné, comme étant une droite rencontrant la courbe eu ce seul point; c'est Descartes qui fit comprendre ce que cette définition a de vicieux et imagina celle que l'on donne aujourd'hui. Descartes, Fermat, Pascal, Roberval, Barrow, etc., firent alors connaître successivement des méthodes fort ingénieuses pour la construction des tangentes et la recherche des maxima et des minima, et jetèrent ainsi les fondements du calcul infinitésimal. Deux auteurs illustres à plus d'un titre, Leibniz et Newton, ont essayé de synthétiser et de réunir eu corps de doctrine toutes ces méthodes en les régularisant; le résultat de leurs efforts a été la création du calcul différentiel et du calcul des fluxions, qui tous deux remplissaient le même but, ainsi, du reste, que le calcul des dérivées, imaginé beaucoup plus tard par Lagrange. Des luttes homériques s'engagèrent alors entre les géomètres anglais partisans de Newton et les géomètres du continent partisans des doctrines de Leibniz, au sujet de l'invention des nouveaux calculs; aujourd'hui cette discussion paraît close, et l'on peut dire que :

1° l'analyse infinitésimale n'a été inventée de toutes pièces par personne, et que Descartes, Fermat, Pascal, Roberval, Barrow, et même à certains égards Archimède, lui ont donné naissance;

2° Newton, Leibniz l'ont réduite à peu près simultanément en algorithme, le premier sous le nom de calcul des fluxions, le second sous le nom de calcul différentiel, et cela chacun sans avoir connaissance des travaux de l'autre;

3° enfin on peut dire avec Poisson (Acad. des sciences, 1833, t. XII, Mémoire sur le calcul des variations) :
« La création du calcul différentiel ne remonte pas au delà de Leibniz, auteur de la notation et de l'algorithme qui ont généralement prévalu dès l'origine de ce calcul, et auquel l'analyse infinitésimale est redevable de tous ses progrès. »

Il nous reste maintenant à comparer la méthode de Leibniz avec celle de Newton, sur laquelle elle a prévalu, et avec celle que Lagrange a essayé en vain de lui substituer. Disons toutefois que la méthode de Leibniz n'a été exposée d'une façon irréprochable que Cauchy a contribué dans une large mesure à donner toute la rigueur désirable aux principes posés par l'inventeur du calcul différentiel. La méthode de Newton pour le tracé des tangentes n'est que la particularisation d'une méthode plus générale imaginée antérieurement par Roberval; Newton considère un point en mouvement sur la courbe à laquelle il veut mener une tangente, il décompose la vitesse de ce mouvement en deux autres dirigées suivant l'abscisse x et l'ordonnée y, ces vitesses qu'il désigne par x° et y° [en fait, des lettres surmontées de points que les limitations du web nous obligent à remplacer par des lettres suivies de °...] sont ce qu'il appelle la fluxion de l'abscisse et la fluxion de l'ordonnée, x et y sont des fluentes.

Il démontre alors que le coefficient angulaire de la tangente est x°/y°; il est inutile d'ajouter qu'il fait d'autres applications à la théorie des fluxions. On voit que la théorie des fluxions est celle des dérivées prises par rapport à cette variable, étrangère en général à la question, et qui est le temps. La méthode de Leibniz consiste à regarder la tangente comme une sécante passant par deux points très voisins ayant pour coordonnées x, y et x+dx, y+dy, si bien que le coefficient angulaire de la tangente est, rapport fini de deux quantités très petites, dx et dy, appelées différentielles de x et de y; enfin il remplace dy par le produit de dx par la dérivée de y, qu'il apprend à calculer (sans prononcer le mot dérivée), et admet qu'il commet me erreur tout à fait négligeable. Ni la méthode de Newton, ni celle de Leibniz ne pouvaient satisfaire les esprits entièrement rigoureux, ce qui explique pourquoi de bons esprits se sont refusés dès l'abord à accepter les nouveaux calculs.

Newton introduisait le temps dans des questions où cet élément n'avait que faire, et, chose plus grave, il négligeait de définir la vitesse dont il supposait que l'on avait l'idée pour ainsi dire innée. La doctrine de Leibniz n'était pas non plus rigoureuse dans ses termes, mais elle l'était dans le fond, ainsi qu'il a été démontré plus tard; et par le fait, sans cela, elle n'aurait pas fait son chemin dans la science.