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L'analyse mathématique

Les mots analyse et synthèse ont eu, pendant l'Antiquité en géométrie, le sens qu'ils ont encore aujourd'hui en philosophie. Voici, par exemple, sur l'analyse mathématique le texte classique du géomètre grec Pappus (trad. Duhamel, Méthode dans les sciences de raisonnement, p. 40) : 
« Dans le genre théorétique, supposant vraie la chose en question et regardant comme vraies les conséquences qui s'en déduisent, comme elles le sont en effet d'après l'hypothèse, nous avançons jusqu'à ce que nous parvenions à quelque chose de connu. Si cette chose est vraie, la proposée le sera aussi, et la démonstration se fera en sens inverse de l'analyse. Dans le genre problématique, nous regardons comme exécuté ce qui est proposé, et, en suivant les conséquences qui en résultent, nous tâchons de parvenir à quelque chose qui soit connu. Si cette chose est possible et exécutable, la proposée le sera aussi et la démonstration se fera en sens inverse de l'analyse. ».
Peu à peu ce sens s'est altéré. Viète, dans son Isagoge in artem analyticem, s'exprime en ces termes : 
« Il est en mathématiques une méthode pour la recherche de la vérité, que Platon passe pour avoir inventée, que Théon a nommée analyse et qu'il a définie ainsi. Regarder la chose cherchée comme si elle était donnée, et marcher, de conséquences en conséquences, jusqu'à ce que l'on reconnaisse comme vraie la chose cherchée. Au contraire la synthèse se définit : Partir d'une chose donnée, pour arriver de conséquences en conséquences à trouver une chose cherchée. »
Descartes, pour sa part, a remarqué, qu'il fallait que la démonstration en sens inverse de l'analyse, ou synthèse, fut toujours possible afin que l'analyse eût une valeur probante. On peut en effet, par accident et par hasard, aboutir à une proposition vraie en partant de prémisses fausses, par conséquent la vérité de la proposition à laquelle on aboutit ne prouve pas nécessairement la vérité de la proposition qui servait de point de départ. Dans quel genre devons-nous ranger l'analyse mathémathique? Devons-nous la regarder comme une analyse extensive ou comme une analyse compréhensive? Réponse : Ni l'un ni l'autre. Les rapports de compréhension et d'extension ne peuvent exister que là ou les idées sont prises selon les relations d'individu à espèce, d'espèce à genre, et vice versa. Or, en mathématiques, Lachelier l'a fait remarquer (De natura syllogismi, I), les démontrations ne reposent pas sur les liaisons d'espèce à genre, mais bien sur les relations de conditionnant à conditionné.  - Les théorèmes sur les angles ne sont ni plus ni moins généraux que les théorèmes sur les surfaces, et c'est cependant sur les premiers qu'on s'appuie pour démontrer les seconds.

Descartes ne s'est pas contenté d'amender la théorie de Pappus sur l'analyse, il a voulu faire de l'analyse mathématique la méthode universelle. Sa méthode, il le dit lui-même; ne fait qu' « emprunter tout le meilleur de l'analyse des anciens et de l'algèbre des modernes ». Imbu de l'esprit mathématique, il a voulu le transporter partout. Il a peut-être en tort de vouloir traiter les questions de métaphysique, de physique, de physiologie, de psychologie comme de pures questions de mathématiques, mais il a incontestablement eu raison en donnant pour fondement à toutes les sciences la méthode analytique :

« Diviser chacune des difficultés qu'on examine en autant de parties qu'il est requis pour les mieux résoudre; conduire par ordre ses pensées en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés à la connaissance des plus composés ».
L'enseignement élémentaire de la géométrie se fait par la synthèse, celui de l'algèbre par l'analyse; aussi a-t-on peu à peu pris l'habitude d'appeler synthétiques les démonstrations faites par des considérations purement géométriques, et analytiques les démonstrations effectuées à l'aide du calcul algébrique. Aujourd'hui, l'analyse est la science du calcul; elle comprend plusieurs branches, que nous allons énumérer.

Analyse infinitésimale
Aujourd'hui, en mathématiques, lorsqu'on parle d'analyse sans autre précision, c'est le plus souvent à l'analyse infinitésimale que l'on se réfère. Sous ce nom on désigne le calcul différentiel, le calcul intégral et le calcul des variations. L'analyse infinitésimale s'appelle aussi calcul infinitésimal. Le but de l'analyse infinitésimale est l'étude des fonctions (Lagrange a intitulé son traité d'analyse Théorie des fonctions analytiques; Cournot a donné un titre analogue à son traité de calcul différentiel et intégral); le moyen employé, en analyse infinitésimale, est l'application répétée d'un petit nombre de principes fondamentaux sur les limites.

Analyse algébrique.
On donne ce nom à une branche des mathématiques, proche de la précédente, qui tient le milieu entre ce que l'on est convenu d'appeler les éléments d'algèbre et les calculs transcendants. Dans l'ouvrage célèbre de Cauchy, qui est intitulé Analyse algébrique et qui est devenu très rare, on trouve les propriétés élémentaires et générales des fonctions, la théorie des séries simples et doubles et celle des produits infinis; ce que Cauchy appelle analyse algébrique, Euler l'appelait introduction à l'analyse infinitésimale (introductio in analysin infanitorum).

Analyse des courbes. Nom donné quelquefois à la géométrie analytique. 

Analyse numérique.
Cette science, que l'on appelle aussi arithmologie, théorie des nombres (Arithmétique), a pour but l'étude des propriétés des nombres en eux mêmes, indépendamment des opérations que l'on peut effectuer sur ces nombres; elle étudie surtout leur composition, leur décomposition et leur formation; les ouvrages les plus célèbres sur cette branche  sont la Théorie des nombres de Legendre et les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Les théorèmes suivants, par exemple, sont du ressort de l'analyse numérique. « Tout nombre entier est la somme de quatre ou d'un nombre moindre de carrés. » « Si p est un nombre premier qui ne divise pas ap-1est divisible par p. » etc.

Analyse indéterminée (ou analyse de Diophante). 
L'analyse indéterminée est une branche de l'analyse numérique, qui a pour but la résolution des équations en nombre inférieur aux inconnues en n'acceptant que les solutions en nombres entiers. Cette analyse indéterminée peut être du premier, du second, ... degré, suivant que les équations à résoudre sont du premier, du second, ... degré; l'analyse indéterminée du premier degré ne présénte pas de difficultés, lorsqu'on ne la complique pas de conditions telles que d'exiger, par exemple, que les solutions soient positives, ou comprises entre des limites données, ou soient des nombres premiers, etc...

Une équation du premier degré

(1) ax+by=c

à coefficients entiers a, b, c, peut toujours être supposée telle que a, b, c n'aient pas de facteur commun; alors c et b doivent être premiers entre eux, car, s'ils avaient un facteur commun, ce facteur appartiendrait à c. Pour trouver une solution à l'équation (1), on réduit b/a en fraction continue en prenant les fractions intégrantes de la forme 1/n, n désignant un entier positif; en appelant p/q l'avant-dernière réduite, on a :

ap - bq = ± 1,  apc - bqc = ± c;

donc x = ± cp, y =± cq constitue une solution de (1). Appelant y0, x0, la solution trouvée, la solution générale est donnée par les formules :

x = x0+bt, y=y0+at,

t désignant un entier arbitraire.

Si l'on avait à résoudre une équation à trois inconnues :

(2)  ax+by+cz=d,

on pourrait la résoudre en nombres entiers comme il suit : soit a le plus petit des coefficients a, b, c, on posera :

b=aq+b', c=aq'+c'

b' et c' désignant les restes de la division de b et c par a et (2) deviendra :

ax + (aq + b')y + (aq' + c')z = d ;

posons :

x+qy+q'z=x1, ou x = -qy-q'z+x1
on aura :
ax1 + b'y + c'z = d,

équation plus simple que (2) et que l'on traitera comme (2), jusqu'à ce qu'un des coefficients devienne égal à 0 ou à 1; on sera alors ramené au cas précédent. La même méthode s'applique évidemment au cas d'un plus grand nombre d'inconnues. L'analyse indéterminée du premier degré ne présente plus aujourd'hui de difficultés quand on impose aux inconnues la seule condition d'être entières; l'analyse indéterminée des degrés supérieurs présente, au contraire, de grandes difficultés, et qui ont occupé les plus illustres mathématiciens. Il y a, par exemple, un théorème énoncé par Fermat,en 1630, et qui, en dépit des efforts qui ont été déployés pendant plusieurs siècles, n'a été démontré que très récemment. Ce théorème est le suivant : si m > 2 l'équation indéterminée : xm + ym = zm n'a pas de solutions entières.

Quand m = 2 on résout l'équation : x2+y2=z2 en posant :  x= (a -b)/2, z=(a+b)/2, y= racine carrée de ab, et en prenant pour a et b des carrés impairs. Exemples : 

b = 1, a = 9 donne x = 4, z= 5, y= 3, 
b = 1, a = 25 donne x=12, z=13: y = 5, 
b = 9, a = 25 donne x = 4, z =17, y = 15, 
..................................................................
Au final, la démonstration du grand théorème de Fermat a été obtenue par Andrew Wiles, en septembre 1994 (et publiée l'année suivante). L'analyse indéterminée du premier degré a été traitée en posant complètement par Bachet, dans un ouvrage intitulé : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres (1612).

Analyse combinatoire
L'analyse combinatoire s'occupe d'étudier les différentes manières différentes de grouper en nombre déterminé des éléments donnés, de façon que tous les mêmes objets ne se trouvent qu'une fois ensemble. Ces concepts centaraux sont les permutations, les arrangement et les combinaisons proprement dites. 

On donne le nom de permutations aux résultats que l'on obtient en disposant les uns à la suite des autres, de toutes les manières possibles, un nombre déterminé d'objets (éléments d'un ensemble fini), de manière que toutes les objets entrent dans chaque résultat et que chacune n'y entre qu'une fois.

• Nombre des permutations de n objets : n objet ne peut donner qu'un résultat; deux objets a et b fournissent les deux permutations ab et ba : ce nombre de permutations peut s'écrire 1 X 2. Soient actuellement trois objets a, b, c, on prendra chaque permutation des deux premiers onjets, et on y intercalera c à toutes les places possibles, ce qui donne trois résultats pour chacun, en tout 1 X2 x 3, qui sont :

abc acb cab bac bca cba.

De même, pour quatre objets, on trouvera que le nombre des permutations est 1 x 2 X3 X 4, et généralement il est 1 X 2 X 3 X ... n, pour n objets.

Les arrangements sont des résultats analogues, mais ne contenant que quelques-uns des objets. 
• Nombre des arrangements de m objets n à n : le nombre des arrangements 1 à 1 est évidemment m. Pour former les arrangements 2 à 2, on pourra écrire à la droite de chacun des arrangements 1 à 1 chacun des m-1 autres objets, ce qui donnera pour chacun m-1 résultats différents, et en tout m(m- 1) arrangements 2 à 2. De même, pour obtenir les arrangements 3 à 3, à droite de chaque arrangement 2 à 2 on écrira successivement chacun des m-2 objets restants, d'où m-2 résultats différents, en tout m(m-1) (m -2) arrangements 3 à 3, et ainsi de suite.
Enfin, les combinaisons sont des arrangements qui diffèrent entre eux, au moins par l'un des objets qui y entrent. 
• Nombre des combinaisons de m objets n à n : nous le déduirons de celui des arrangements à l'aide d'une remarque très simple : c'est que chaque combinaison fournirait des arrangements différents en faisant subir aux n objets toutes les permutations possibles. Or, le nombre de ces permutations est 1, 2, 3... Le nombre des combinaisons est donc :

m(m-1) (m-2...) / 1.2.3...

L'analyse combinatoire joue un rôle important dans toutes les branches des mathématiques, mais surtout dans la partie de l'algèbre supérieure qui s'occupe de la résolution des équations et dans le calcul des probabilités (H. Laurent).
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