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Brook Taylor est un mathématicien, né à Edmonton ( village du comté de Middlesex, à huit milles de Londres) le 18 août 1685, mort à Londres le 29 décembre 1731. Son père, John Taylor, écuyer, était fils d'un puritain rigoureux, Nathaniel Taylor, l'un de ceux que Cromwell, par un acte du 14 juin 1653, déclara propres à représenter le comté de Bedford au parlement. John Taylor conservait à un haut degré la sévérité de doctrine que ses ancêtres lui avaient transmise; mais cette sévérité, quoique maintenue encore par l'esprit du temps, se trouva sensiblement atténuée chez Brook. De là une source fâcheuse de mésintelligence entre le père et le fils. Heureusement le premier était très sensible aux jouissances de la musique; il accueillait avec beaucoup de bienveillance et recevait très généreusement les hommes distingués par leur habileté dans cet art. 

Le jeune Brook, instruit par leurs leçons, et animé du désir d'obtenir l'indulgence paternelle pour le relâchement de ses principes, devint de très bonne heure un excellent musicien. Un tableau de famille le représente, à treize ans, au milieu de ses frères et soeurs, recevant des mains des deux aînées une couronne ornée des emblèmes de l'harmonie. La date de cette scène correspond à l'an 1698 : le célèbre Haendel, qui a donné son premier opéra à Hambourg, en 1703, et qui n'est venu se fixer en Angleterre, qu'en 1710, n'était pas encore connu; Brook Taylor n'avait pu s'exercer que sur les anciennes compositions anglaises et écossaises.
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Taylor.
Brook Taylor (1685-1731).

La musique ne fut pas le seul des beaux-arts qu'il cultiva avec succès : on conserve de lui des dessins et des tableaux dont le mérite est vanté, et qui ne seraient pas déplacés parmi les bons ouvrages des artistes de profession. Il dessinait la figure avec une pureté de trait et une grâce de pinceau remarquables; mais il avait un goût de préférence pour le paysage. Ses tableaux originaux dans ce genre, assez ordinairement peints en détrempe, rivalisent en vigueur et en beauté de coloris avec les tableaux à l'huile, et offrent surtout des modèles intéressants de l'application des règles de perspectives linéaire et aérienne. 

Le même homme qui possédait à un degré si éminent les talent de la musique et de la peinture, a, comme on va le voir, traité des questions de haute théorie tenant à ces deux arts, avec une profondeur et une supériorité qui le placent dans les premiers rangs des mathématiciens de son temps. Il est naturel de conclure de ces faits, que l'éducation de Taylor n'a pas été bornée aux exercice, de peinture et de musique : ces exercices ne furent pour lui que des objets de délassement ses études sérieuses et principales étaient celles des langues, de la littérature et des mathématiques; il s'y livra avec un tel succès, qu'à l'âge de quinze ans, il était déjà désigné pour l'université, et qu'en 1701, il fut nommé membre du collège de Cambridge. A cette époque les mathématiques acquéraient une grande faveur dans l'université; les exemples de la considération accordée par le monde savant aux mathématiciens distingués excitaient puissamment l'émulation des jeunes gens capables d'une application soutenue et doués d'un esprit pénétrant. 

On présume que, dès les premiers moments de son admission à l'université de Cambridge, Taylor s'élança dans la carrière ouverte par Newton à ceux qui voulaient, comme on disait alors, expliquer et calculer les phénomènes du Système du monde; c'est du moins ce qu'il est naturel de conclure des relations d'estime qui le lièrent promptement avec les savants qui s'occupaient de la mécanique céleste. Il composa, en 1708, un mémoire sur les centres d'oscillation, qui fut publié quelques années après dans les Philosophical Transactions. En 1709, il obtint le grade de bachelier ès lois; et, en 1712, il fut élu membre de la Royal Society

Pendant les quatre années qui précédèrent cette élection, il entretint une correspondance avec le professeur Keill, sur diverses questions de mathématiques; sir William Young, son petit-fils, possédait une de ses lettres datée de 1712, adressée à Méchain, et contenant une solution détaillée du problème de Kepler, avec des applications: Cette même année, 1712, il présenta à la Royal Society, trois mémoires; l'un sur l'ascension de l'eau entre deux surfaces planes, le second sur les centres d'oscillation, et le troisième sur le célèbre problème de la corde vibrante, dont nous parlerons dans la suite de cette page. Il semble, d'après sa correspondance avec Keill, qu'en 1713, il avait présenté un quatrième mémoire sur son sujet favori, la musique, qui n'est pas imprimé dans les Philosophical Transactions. Le rang distingué auquel il s'était placé parmi les hommes adonnés aux sciences exactes lui acquit beaucoup de considération dans la Royal Society, qui, en 1714, le choisit pour secrétaire, et il prit, cette même année, à Cambridge, le grade de docteur ès lois. 

De grands débats existaient alors entre les mathématiciens anglais et ceux du continent; Taylor était, dans les rangs des premiers, regardé comme un auxiliaire d'une haute importance. Ces débats avaient lieu principalement sur le vaste champ de recherches, nouvellement ouvert par les découvertes mathématiques de Newton et de Leibniz; les incursions faites à l'aide du calcul infinitésimal sur un sol naguère inconnu, ou trop péniblement exploré, mettaient en évidence de grandes richesses, sources ordinaires des grandes dissensions. La priorité des inventions, le mérite tant des méthodes analytiques que des solutions de problèmes, la mesure des forces, etc., fournissaient matière à des discussions que l'amour-propre irritable et blessé rendait trop souvent aigres et partiales. 

Cependant au milieu de la foule de productions publiées par les différents partis, et condamnées à l'oubli comme les circonstances qui les avaient fait naître, apparaissaient quelques conceptions originales, fécondes, et qu'on pourrait appeler monumentales : une de ces conceptions est due à Taylor; nous y reviendrons quand nous aurons achevé l'indication de ses autres ouvrages. Vers 1714, il donna, dans une lettre adressée à sir Hans Sloane, un détail d'expériences sur le magnétisme qui ont été publiées dans les Philosophical Transactions, et l'année suivante, 1715, il y ajouta un essai curieux sur les lois de l'attraction magnétique : An account of an experiment for the discovery of the laws of magnetic attraction. Cette année 1715 correspond à la date d'impression que porte une partie des exemplaires de son Methodus incrementorum, traité auquel s'applique l'expression de conception monumentale, employée ci-dessus. 

Enfin la même année vit paraître un autre ouvrage de sa composition, sur la perspective, qui eut un grand succès, malgré la critique amère qu'en fit Bernoulli. Parmi les reproches que ce célèbre mathématicien faisait à Taylor, se trouvait celui de s'être approprié une méthode qui ne lui appartenait pas; et de fait, cette méthode avait été donnée longtemps auparavant (en l'an 1600), à Pesaro, par Guido Ubaldi, dans un traité bien rédigé et dont les décorateurs de théâtre se servaient fort utilement. Mais il semble bien que chacun des deux a été inventeur de son côté. L'ouvrage original de Taylor a eu trois éditions en Angleterre; et l'on en a fait une traduction française, qui a été imprimée à Lyon, en 1753. A la suite des trois éditions anglaises, a paru une publication de Kirby, intitulée Perspective de Taylor, rendue facile, « Brook Taylor's perspective made  easy ». Cette publication , devenue le Vade mecum des artistes les moins instruits, levait entièrement la principale objection de Bernoulli, portant sur les difficultés qui devaient éloigner les artistes de l'étude d'un ouvrage, selon lui, trop abstrait, eu égard à leur instruction première. 

Quatre mémoires composés vers 1717 : 1° Sur les équations numériques, les séries infinies; 2° Un problème proposé par Leibniz; 3° le Mouvement parabolique des projectiles; 4° enfin des recherches, publiées en 1721, sur la dilatation, par la chaleur, des liquides renfermées dans les thermomètres : An experiment made to ascertain the proportion of expansion of liquor in the thermometer, with regard to the degree of heat, paraissent être les derniers ouvrages sur les sciences mathématiques et physiques dont Taylor se soit occupé. Un traité des logarithmes, qu'il avait confié à son ami lord Paislay, n'a jamais été publié. 

On cite de lui quelques productions bien différentes, quant à leur genre, de celles qui étaient les objets de ses méditations ordinaires, et dont les dates, la dernière exceptée, se rapportent aux années comprises entre 1715 et 1720: une controverse avec le comte de Montmort, sur la doctrine de Malebranche; des fragments d'un traité sur les sacrifices juifs ; une longue dissertation sur la non culpabilité de l'action de manger du sang : On the Lawfulness of eating blood; enfin un essai intitulé Contemplatio philosophica, composé vers 1730, dans les derniers temps de sa vie, à une époque où sa santé était tout à fait dérangée, et publié, en 1793, par son petit-fils William Young. Newton affectionnait aussi les études et les compositions théologiques; mais c'est à l'auteur des Principia que l'immortalité est assurée; et, quoique dans un rang bien moins éminent; l'inventeur de la célèbre formule analytique que les mathématiciens appellent Théorème de Taylor a pour toujours inscrit son nom dans les fastes de l'analyse mathématique

Ce théorème est le principal résultat, ou plutôt le résumé du livre ci-dessus mentionné, ayant pour titre : Methodus incrementorum directa et inversa, imprimé à Londres en 1715. Lagrange  semble être le premier qui ait bien mis en évidence tout le parti qu'on peut tirer du Théorème de Taylor dans la haute analyse. Les biographes n'ont pas même soupçonné le mérite du Methodus incrementorum, et Montucla lui-même ne dit rien de ce traité dans son Histoire des mathématiques. L'énonciation analytique du théorème dont il s'agit constitue ce que les mathématiciens appellent une série ou un système, une suite de termes algébriques, liés entre eux par de certaines lois, et dont le nombre, en général infini, devient fini ou limité dans des cas particuliers. Cette série est appelée convergente ou divergente, respectivement, suivant que les valeurs de ses termes successifs sont continuellement décroissantes ou croissantes. 

Il faut remonter jusqu'à Archimède pour trouver le premier exemple des séries infinies, que celui-ci a employées dans le Traité des Spirales, à carrer des espaces. Cavalieri a fait de ce moyen le fondement de sa Méthode des indivisibles; seulement ces séries sont sommées par des considérations géométriques, et représentées par des figures, ou par une suite de lignes droites. Wallis, dans son Arithmetica infinitorum, publiée en 1665, a traité les séries algébriquement, et les a appliquées à la quadrature d'un système de courbes du genre de celles qu'on appelle paraboliques, lequel genre renferme, comme cas individuel, la parabole carrée par Archimède. Le même auteur dans sa Mathesis universalis, sive Arithmeticum opus integrum, ann. 1657, cap. 33, donne un exemple, le premier à ce qu'il semble, d'une série algébrique proprement dite, c'est-à-dire ordonnée suivant une suite de termes dont le nombre est en général infini, contenant chacun une puissance d'une quantité indéterminée. Mercator dans sa Logarithmotechnia, publiée en 1668, a carré l'hyperbole par un développement en série; Brounker, James Gregory, Newton et Leibniz ont ensuite apporté leur contribution; et nous leur devons des séries importantes. En 1689, 1692, 1696, 1698, et 1704, Jacques Bernoulli fit soutenir, sous sa présidence, cinq thèses ayant pour objet la doctrine des séries. Ces thèses ont été réunies à la fin de son Ars conjectandi, publié par son neveu, en 1711, et imprimées longtemps après, dans le recueil de ses oeuvres. 

Vers cette époque, Brook Taylor s'occupait de la méthode des incréments ou des différences auxquelles on a mal à propos ajouté l'épithète finies, lui donnait un algorithme, et embrassait le calcul inverse dans ses recherches. Newton n'a fait ni l'un ni l'autre, soit dans son livre De systemate mundi (le troisième des Principia, soit dans son Methodus differentialis (ann. 1711), où l'on trouve une méthode d'interpolation bien connue; et Taylor est arrivé au célèbre théorème qui porte son nom, en passant des incréments finis aux incréments évanouissants : ce qui est remarquable, eu égard à l'époque où il écrivait. 

Voici maintenant ce que ce théorème donne immédiatement : si l'on a une expression analytique composée de plusieurs termes dans lesquels une quantité variable entre sous des formes quelconques, ce que les mathématiciens appellent une fonction de cette quantité, et que la variable subisse un accroissement ou une diminution, il en résultera un changement correspondant dans la valeur de la fonction; et c'est ce changement dont le Théorème de Taylor donne la valeur générale. Cette valeur générale se trouve exprimée par une suite de termes dans lesquels entrent les différentielles (ce que Taylor après Newton appelle les fluxions), de différents ordres, de la fonction, combinées avec les puissances successives de l'incrément de la variable.

La formule du binôme de Newton , celle de Maclaurin pour le développement des fonctions, etc., s'en déduisent comme cas particuliers. Pour avoir une idée précise du rang que la formule de Taylor doit occuper parmi les découvertes analytiques, il faut entendre Lagrange qui en a fait la base de sa théorie des fonctions analytiques : 

« Dans un mémoire imprimé parmi ceux de l'Académie de Berlin, 1772, dit Lagrange, j'avançai que la théorie du développement des fonctions en série contenait les vrais principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou de limites; et je démontrai, par cette théorie, le Théorème de Taylor, qu'on peut regarder comme le principe fondamental de ce calcul, et qu'on n'avait encore démontré que par le secours de ce même calcul, ou par la considération des différences infiniment petites. Depuis, Arbogast a présenté à l'Académie un beau mémoire où la même idée est exposée avec des développements et des applications qui lui appartiennent » (Journal de l'école polytechnique, 9e cahier, p. 5). 
Ainsi voilà un théorème qui, établi d'abord par une certaine marche de raisonnement, conduit ensuite à la connaissance et à l'usage des plus puissants instruments connus de découverte en mathématiques, sans embarrasser l'esprit par des considérations d'infiniment petits, de limites, etc. On a étendu le théorème de Taylor à une fonction d'un nombre quelconque de variables; on a trouvé le moyen de substituer à un terme de sa série d'un rang quelconque une expression qui représente la somme de ce terme et de tous les suivants, etc.

Nous ne pouvons pas terminer la notice de ses travaux mathématiques sans mentionner un chapitre très remarquable de son Methodus incrementorum (propos. 21, probl. 17, p. 86), dans lequel il donne une solution du problème fameux de la corde vibrante, plus complète et plus approfondie que les solutions publiées avant la sienne. Nous en avons parlé à l'article Sauveur auquel nous renvoyons. 

Taylor, cédant à d'instantes invitations, fit un voyage à Paris, en 1716. La philosophie newtonienne y était alors cultivée; et les savants de cette capitale avaient un grand désir de connaître le secrétaire de la Royal Society. Il y fut reçu avec les témoignages les plus flatteurs de considération et d'estime; et le charme de ses entretiens ajouta encore à l'excellente opinion que ses ouvrages et sa réputation avaient fait concevoir de lui. Les mathématiciens ne furent pas les seules personnes qui l'accueillirent: il se lia avec lord Bolingbroke, le comte de Caylus, etc. Il revint à Londres au commencement de 1717 ; et après la composition de trois des traités que nous avons cités, sa santé se trouva tellement altérée que, pour la rétablir et goûter quelque repos, il prit le parti d'aller à Aix-la-Chapelle

Désirant s'occuper de sujets moraux et religieux, il se démit, en 1718, de sa place de secrétaire de la Royal Society. De retour en Angleterre, en 1719, il partagea son temps entre les compositions religieuses et la peinture qu'il aima toujours. On pense que la retraite à laquelle il se condamnait, a pu abréger sa vie. Vers la fin de 1720, il se rendit à l'invitation que lui fit lord Bolingbroke, d'aller passer quelque temps à la Source, maison de campagne voisine d'Orléans, que ce lord tenait de son épouse veuve d'un neveu de madame de Maintenon, le marquis de Villette. L'année suivante, Taylor épousa miss Bridges de Vallington, dans le comté de Surrey, jeune demoiselle d'une bonne famille, mais qui avait peu de fortune. Ce mariage lui occasionna une rupture avec son père, qui refusa son consentement; la mort de cette épouse, arrivée en 1723, et celle d'un enfant qu'il en avait eu et qui pouvait devenir un moyen de réconciliation, affecta vivement sa sensibilité. Cependant il passa les deux années qui suivirent ces événements malheureux dans l'habitation de son père à Bifrons. Là les soins tendres et empressés de ses soeurs, et le charme de la musique, non seulement adoucirent ses chagrins, mais le déterminèrent à se fixer sans retour à la campagne. Il contracta, en 1725, un second mariage qui eut l'entière approbation de son père et de sa famille, avec Sabetta, fille de John Sawbridge, écuyer d'Olanting, dans le comté de Kent. Son père étant mort en 1729, la propriété de Bifrons lui échut par succession. Il eut la douleur, l'année suivante, de perdre encore sa seconde femme, à la suite d'une couche. La fille dont la naissance donna lieu à ce funeste événement est devenue la mère de William Young à qui l'on doit des notes sur la vie privée de son grand-père. 

A dater de 1730, la santé de Taylor déclina tellement que ses amis perdirent tout espoir de le voir se rétablir. La cessation des travaux, sérieux devenait nécessaire, et cependant c'est à cette époque, comme nous l'avons dit, que Taylor composa la Contemplatio philosophica, où l'on voit ce que peut un esprit géométrique, quoique dans un corps malade, appliqué à des questions de métaphysique. Le chagrin qui l'accablait rendait infructueux les soins de ses parents et les consolations de ses nombreux amis, dans les premiers rangs desquels il faut placer Bolingbroke. Taylor ne survécut qu'un peu plus d'un an à sa seconde épouse, et mourut le 29 décembre 1731 , à l'âge de 46 ans.. Il fut inhumé au cimetière de Saint Ann's Soho. (P-NY).

Janet Taylor est une astronome qui vécut au XVIIIe siècle. Elle s'est intéressée à l'astronomie nautique.
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