Il est courant de partager le Pythagoriciens en plusieurs groupes, selon l'époque à laquelle ils ont vécu :

Les Pythagoriciens présocratiques :
Se sont les Pythagoriciens proprement dits. Ils se caractérisent par des préoccupations aussi bien de nature mystique et religieuse que scientifique. Ils sont sur ce dernier point proches des préoccupations de leurs contemporains, tout en se singularisant par leurs réflexions mathématiques. On distinguera [b] : 

Les Pythagoriciens anciens :
Cercops, Pétron, Brontin, Hippase de Métaponte, Calliphon, Democédès, Parméniscos.

Les Pythagoriciens moyens :
Le plus connu est Alcméon. On cite aussi Iccos, Paron et Aminias.

Les Pythagoriciens récents :
Ménestor, Xouthos, Boïdas, Thrasyalcès, Ion de Chio, Damon le musicien, Hippon, Phaléas, Hippodamos, Polyclète, Oenopide, Hyppocrate de Chio, Eschyle, Théodore, Philolaüs, Eurytos, Archippos, Lysis, Opsimos, Archytas, Occelos, Timée, Hicétas, Ecphantos, Xénophile, Dioclès, Echécrate, Polymnastos, Phanton, Arion, Proros, Amyclas, Clinias, Damon, Phintias, Simos, Myonide, Euphranor, Lycos.

On notera encore que la philosophie pythagoricienne (on parle aussi de philosophie italique) a laissé sa marque au-delà des seules sectes pythagoriciennes. Celles de Pythagoriciens anciens se révèle très active, par exemple, dans la pensée de Platon, et plus tard dans le néo-platonisme. Les Humanistes de la Renaissance (Marcile Ficin, Pic de la Mirandole, etc.) ont encore été souvent très sensibles à la thématique pythagoricienne. Sans parler, bien sûr, de quelques uns de fondateurs de l'astronomie moderne, tels que Kepler ou Newton.

[a] Une autre comparaison a été donné par Chaignet, qui compare plutôt les l'école pythagoricienne à l'ordre des jésuites...

[b] Certains auteurs anciens les ont aussi divisés en Pythagoriques, et en Pythagoristes. Les premiers étant supposés plus portés que les seconds à l'ésotérisme. Cette distinction n'est plus jugée très pertinente.

Les Pythagoriciens croyaient à la métempsycose (ou transmigration des âmes). Ils pensaient ques des exercices de purification étaient nécessaires pour délivre l'homme de cette "roue des naissances"; le meilleur de tous ces exercices, ajoutaient-ils, consistait cependant à cultiver les connaissances, et plus spécialement à étudier les propriétés des nombres, selon ce slogan pythagoricien qui affirmait : "tout est nombre". Le nombre était pour eux moins une entité abstraite que le principe même des choses, de la même façon que pouvaient l'être, par exemple, les éléments (eau, air, feu, terre...) pour d'autre Présocratiques. On comprend dès lors que le pythagorisme ait produit quelques uns des premiers résultats des mathématiques, mais aussi de l'astronomie occidentales.

L'astronomie pythagoricienne
Ils expliquaient que la Terre et le Soleil sont sphériques, que les planètes et les comètes tournent autour du Soleil, que la Lune est un corps semblable à la Terre, que les étoiles sont des soleils qui éclairent des astres habités.

Les pythagoriciens crurent retrouver le canon musical dans l'harmonie des sphères célestes. Les sept astres errants (autrement dit les planètes), la Lune, Mercure, Vénus, le Soleil, Mars, Jupiter et Saturne, devaient correspondre aux sept sons de l'octave, et leurs distances ou intervalles devaient offrir les mêmes rapports. Kepler lui-même fut tellement séduit par l'idée pythagoricienne, qu'il passa plusieurs années à la retourner en tous sens, avant d'arriver à la découverte ses fameuses lois (lois de Kepler) qui décrivent la course des planètes sur leur orbite.

S'appuyant sur son canon musical, les pythagoriciens donnaient à la distance de la Terre à la Lune 126 000 stades; les 5/2 de cette valeur, ou 315 000 stades, il les assignait à la distance de la Lune au Soleil; le triple, ou 378 000 stades, à la distance du Soleil aux étoiles fixes. Total : 819 000 stades pour tout l'espace compris entre la Terre et le ciel des fixes. Dans cette hypothèse, la distance de la Terre à la Lune représentait l'intervalle d'un ton entier, tandis que les distances de la Lune à Mercure et de Mercure à Vénus exprimaient chacune un demi-ton ou 63 000 stades; l'intervalle entre Vénus et le Soleil était celui d'un ton et demi, ou de 189 000 stades; la distance du Soleil à mars était, comme celle de la Terre à la Lune, d'un ton; de Mars à Jupiter, comme de Jupiter à Saturne, il n'y avait qu'un demi-ton; enfin de Saturne au ciel des fixes (Signiferum), il n'y avait qu'un ton et demi [1].

En jetant un coup d'œil sur cette table des distances, on remarque avec étonnement que le Soleil s'y trouve placé au milieu des planètes, y compris la Terre et la Lune. C'est sans doute de ce fait-là qu'on est parti pour prêter à Pythagore une idée qu'il ne nous paraît jamais avoir eue lui-même, à savoir que toutes les planètes tournent autour du Soleil.

Partant du principe que tout se fait régulièrement avec nombre, poids et mesure, Pythagore et ses disciples admettaient que le Soleil, la Lune, les planètes se meuvent circulairement et uniformément, en sens contraire du mouvement général diurne du ciel, c'est-à-dire qu'elles se meuvent de l'occident à l'orient.

Mais comment expliquaient-ils alors les irrégularités que ces astres présentent à l'observation? Car, après avoir divisé le zodiaque en quatre quarts (quatre quarts de cercle) correspondant aux quatre saisons (le nombre quatre revient sans cesse dans la doctrine du maître), les Pythagoriciens devaient, comme d'autres), savoir que le Soleil, dans son mouvement propre annuel, parcourt des arcs de cercle égaux dans des temps inégaux. Ils avaient, en effet, noté avec beaucoup de soin que le Soleil met 90 jours et un huitième (3 heures) pour aller du solstice d'hiver à l'équinoxe du printemps, c'est-à-dire pour décrire le premier quart de cercle; qu'il met 94 jours et 1/2 pour aller de l'équinoxe du printemps au solstice d'été, ou pour décrire le deuxième quart de cercle; qu'il met 92 jours et 1/2 pour aller du solstice d'été à l'équinoxe d'automne, ou pour décrire le troisième quart de cercle; enfin qu'il met 88 jours et 1/8 pour revenir de l'équinoxe d'automne au solstice d'hiver, ou pour décrire le quatrième quart de cercle : ce qui fait pour la totalité du parcours circulaire une durée de 365 jours et environ 1/4.

Les Pythagoriciens savaient encore que le mouvement inégal annuel du Soleil s'effectue, non seulement en sens contraire du mouvement général diurne de la sphère du monde, de la sphère droite des fixes, mais qu'il s'opère dans un plan incliné (sous un angle d'environ 23 degrés) sur l'équateur de cette sphère, autour duquel il forme comme une hélice; et que les plans des orbites de la Lune et des planètes approchent plus ou moins de cette inclinaison (elliptique), sans cependant coïncider avec elle. C'est là ce qui avait fait imaginer autant de sphères obliques qu'il y avait d'astres errants (sept), toutes contenues dans la sphère droite du monde.

Toutes ces sphères, au nombre de huit (une droite et sept obliques), le double du quaternaire ou de la tétrade, (le cube de deux ou de la dyade), que les Égyptiens supposaient solides, en cristal bleu, transparent, ajoutaient encore à la difficulté d'expliquer les inégalités des mouvements du Soleil et de la Lune, surtout les stations et les rétrogradations des planètes Jupiter et Saturne.

Pour résoudre ces difficultés, que firent les Pythagoriciens? Ils imaginèrent, au rapport de Géminus, que les centres des sphères obliques, susceptibles de se déplacer, ne coïncident pas avec le centre de la sphère du monde (sphère droite des fixes), mais qu'ils étaient situés un peu en dehors, tantôt plus près, tantôt plus loin de ce centre, enfin qu'à raison de leur excentricité, le Soleil, la Lune et les planètes se mouvaient, par suite d'un simple effet optique, plus vite quand ils se rapprochainet de la Terre, et plus lentement quand ils s'en éloignaient. Afin de mieux expliquer ces changements de distance, Pythagore inventa, dit-on, la fameuse théorie des cercles auxiliaires, nommés épicycles (littéralement des cercles posés sur des cercles), théorie qui fut plus tard adoptée et développée par Ptolémée.

Mais ce qui fait plus honneur au génie de Pythagore que l'invention des épicycles, c'est d'avoir, s'il faut en croire Pline, le premier trouvé que l'étoile du matin et l'étoile du soir sont un seul et même astre, Vénus [2].

Mouvement de rotation de la Terre.
L'école de Pythagore imagina la première d'expliquer le mouvement général diurne de la sphère céleste par le mouvement de la Terre autour d'elle-même. Cela résulte clairement de ces paroles d'Aristote ; "Les Pythagoriciens soutiennent que la Terre, étant un des astres (errants) produit, en tournant autour d'elle-même, la nuit et le jour ( thn ghn, en twn astrwn ousan, kuklw jeromenhn peri ti meson nukta te kai hmeran poiein [3]).

S'il restait encore quelque doute sur la réalité de cette antique conception, le passage suivant de Cicéron serait certainement propre à le dissiper : Hicétas de Syracuse (Pythagoricien) enseignait que le ciel, que les étoiles [etc.], demeurent immobiles, pendant que la Terre seule tourne; celle-ci, en tournant avec rapidité autour de son axe, produit exactement le même effet que si la, la Terre demeurant immobile, le ciel tournait [4]."

Plutarque attribue la même idé à Héraclide de Pont et à Ecphante, également de l'école de Pythagore. "Heraclide de Pont et Ecphante font, dit-il, tourner la Terre (kinousi thn ghn), non point par un mouvement de translation (ou mhn metadatikws), mais par un mouvement de rotation d'occident en orient autour de son propre centre (trocou de dinhn enzwnismenhn apu dusmwn ep anatolas peri to idion auths kentron [5].

Ce dernier passage est au moins aussi explicite que les autres. Il s'agit bien ici, à n'en pas douter, du mouvement de rotation de la Terre autour de son propre axe, et non pas du mouvement de translation de notre planète autour du Soleil. Cette distinction était importante à établir, ne fût-ce que pour prévenir les confusions, si faciles à introduire dans l'histoire des sciences. (Hoefer).

[3] Aristote, De Caelo, II, 13.
 

[4] Cicéron, Academ., II, 39 : … quae (sc. Terra) cum circum axem se summa celeritate convertat et torquet, eadem effici omnia, quam si stante terra caelum moveretur.

[5] Plutarque, de Placitis philosophorum, III, 13.