La mathématique universelle 

« Conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître », ce précepte de sa méthode, non moins que les habitudes de son génie mathématique, invitait Descartes à faire d'abord aux mathématiques l'application de la méthode. Descartes avait pour les mathématiques des aptitudes prodigieuses. Mais sans sa méthode il n'eût été qu'un admirable trouveur de solutions. Par sa méthode, il a renouvelé les mathématiques, et en a étendu presque à l'infini le champ et la portée. Longtemps avant la publication du Discours de la Méthode, il annonçait à ses amis qu'il avait découvert une façon de traiter des proportions en général, qui permettait de « démêler toutes les questions auxquelles s'étendent l'analyse géométrique et l'algèbre ». 

On appelle d'ordinaire géométrie analytique cette mathématique nouvelle, et on la fait consister dans l'application de l'algèbre à la géométrie. Les figures géométriques sont faites de deux éléments, des grandeurs et des formes; par elles-mêmes, les grandeurs se résolvent en nombres, mais les formes, qui sont des qualités, semblent rebelles à cette réduction. Descartes vit le premier que la forme d'une figure résulte de la position des points dont elle se compose et que cette position peut être déterminée par des grandeurs, abstraction faite de toute idée de forme, et ainsi, par l'intermédiaire de la position, il ramena la forme à la grandeur. 

Que tel ait été un des résultats de la réforme cartésienne des mathématiques, on ne saurait le contester; mais c'est loin d'en être le tout. La géométrie analytique n'est, dans l'oeuvre mathématique de Descartes, qu'un effet de la constitution d'une science plus générale. Cette science plus générale, c'est la mathématique universelle, ou science des proportions considérées en elles-mêmes, indépendamment de toute application à une matière spéciale.

 « J'ai découvert que toutes les sciences qui ont pour but la recherche de l'ordre et de la mesure se rapportent aux mathématiques; qu'il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les astres, les sons, ou tout autre objet, qu'on cherche cette mesure; qu'ainsi il doit y avoir une science générale qui explique tout ce qu'on peut trouver sur l'ordre et la mesure prise indépendamment de toute application à une matière spéciale. » (Reg., 4.)

 « Je n'eus pas dessein pour cela de tâcher d'apprendre toutes ces sciences particulières qu'on nomme communément mathématiques, et voyant que, encore que leurs objets sont différents, elles ne laissent pas de s accorder toutes en ce qu'elles n'y considèrent autre chose que les divers rapports ou proportions qui s'y trouvent, je pensai qu'il valait mieux que j'examinasse seulement ces proportions en général. » (Discours de la Méthode., 2e p.).

Le but de Descartes en réformant les mathématiques n'était donc pas de constituer une géométrie nouvelle, mais d'instituer une mathématique universelle, supérieure à l'arithmétique, à la géométrie, à la mécanique, à l'astronomie, à l'acoustique, qui, dégageant les rapports de leur union avec les nombres, les figures, les mouvements, les forces, les astres et les sons, les traitât en eux-mêmes, comme un genre au-dessus des espèces. C'est bien là ce qu'a voulu Descartes, et les plus autorisés de ses commentateurs ne s'y sont pas mépris. Peu de temps après la publication de la Géométrie, le P. Ciermans faisait remarquer qu'il aurait été plus à propos de lui faire porter le nom de mathématiques pures que celui de géométrie, « parce que les choses que contient ce traité n'appartiennent pas davantage à la géométrie qu'à l'arithmétique et aux autres parties des mathématiques ». De même Beaune et plus tard Prestet font honneur à Descartes d'avoir constitué sur des principes généraux « cet art d'inventer ce qu'on veut sur toutes sortes de grandeurs ». Ce but, Descartes l'a atteint, d'abord en réformant l'algèbre, puis en appliquant non pas, comme on le dit le plus souvent, l'algèbre à la géométrie, mais la géométrie à l'algèbre.

Dans l'algèbre, il simplifia les notations. 

« Tout ce qu'il faudra regarder comme l'unité pour la solution de la question, nous le désignerons par un signe unique que l'on peut représenter ad libitum; mais, pour plus de facilité, nous nous servirons de lettres minuscules, a, b, c, etc., pour exprimer les grandeurs déjà connues, et de majuscules, A, B, C, etc., pour exprimer les grandeurs inconnues, et souvent nous placerons les chiffres, 1, 2, 3, 4, etc., soit en tête de ces signes, pour indiquer le nombre des grandeurs, soit à la suite, pour exprimer le nombre des relations qu'elles contiennent. » (Reg., 16).

Ainsi entendue, la géométrie de Descartes est un traité de mathématique universelle par l'application de la géométrie à l'algèbre. L'algèbre traite des rapports et des proportions en général. Mais, il est besoin d'éclairer sa marche, « en supposant les rapports qu'elle considère, dans des sujets qui servent à en rendre la connaissance plus aisée, sans toutefois les y astreindre aucunement ». (Discours de la méthode, 2e p.) Or rien « de plus simple » et qui puisse être « plus distinctement représenté à l'imagination que les lignes». (Ibid.). 

« Rien ne se dit des grandeurs en général, qui ne se puisse rapporter à une grandeur quelconque en particulier. D'où il est très facile de conclure qu'il nous sera très utile de transporter ce qui se dit des grandeurs en général, à l'espèce de grandeur qui se représentera le plus facilement et le plus distinctement dans notre imagination. Or cette grandeur est l'étendue réelle du corps, abstraite de toute autre chose que ce qui est figuré. » (Reg., 4).

La physique

Après les rapports et les proportions en général, qui sont les objets les plus simples de la connaissance, Descartes, fidèle à sa méthode, aborde les phénomènes plus complexes de la nature; après la mathématique universelle la physique générale. L'ancienne physique, celle qui avait régné pendant tout le Moyen âge, et qu'on enseignait encore dans les livres et dans les collèges, ignorait la notion de loi; elle prétendait expliquer les phénomènes par des entités extra-phénoménales, âmes végétatives, formes substantielles, « petits lutins de facultés, comme devait dire Leibniz, apparaissant à propos comme les fées de l'Amadis, et faisant tout ce que voulait un philosophe ». 

Dans ce monde obscur qui doublait la réalité sensible, au lieu de l'expliquer, Galilée, Vésale, Aselli, Harvey, Michel Servet, le premier surtout, avaient bien fait quelques trouées lumineuses, et trouvé les lois, c.-à-d. l'explication positive et véritable de certains phénomènes. Mais de ces découvertes partielles ne s'était pas encore dégagée une théorie générale du monde physique, fondée sur la raison. Cette théorie, c'est un des mérites de Descartes de l'avoir le premier formulée. La physique cartésienne dérive en ligne directe de la méthode. La méthode, on l'a vu plus haut, prescrit de rechercher en toutes choses l'absolu, c.-à-d. les notions simples, claires et distinctes, au delà desquelles l'esprit ne peut plus rien demander. Appliquée aux choses sensibles, cette méthode aboutit à les décomposer toutes en éléments mathématiques, étendue, figures et mouvement, et à faire du monde un mécanisme infini où tout se produit et s'explique par les lois même de la géométrie et de la mécanique. 

« Je trouve qu'il ne s'y rencontre - dans les idées des choses corporelles - que fort peu de chose que je conçoive clairement et distinctement, à savoir la grandeur ou bien l'extension en longueur, largeur et profondeur, la figure qui résulte de la terminaison de cette extension, la situation que les corps diversement figurés gardent entre eux, et le mouvement et le changement de cette situation, auxquels on peut ajouter la substance, la durée et le nombre [...]. Quant aux autres choses, comme la lumière, les couleurs, les sons, les odeurs, les saveurs, la chaleur, le froid et les autres qualités qui tombent sous l'attouchement, elles se rencontrent dans la pensée avec tant d'obscurité et de confusion que j'ignore si elles sont vraies ou fausses. » (3e Méditation).

« Un corps ne peut perdre en étendue sans perdre en substance, ni gagner en étendue sans gagner en substance. » (Princip., II, 7).

Le mouvement est « le transport d'une partie de la matière ou d'un corps, du voisinage de ceux qui le touchent immédiatement, et que nous considérons comme en repos dans le voisinage de quelques autres ». (Princip., II, 25).

1° Chaque chose en particulier continue d'être en même état qu'il se peut, et jamais elle ne le change que par la rencontre des autres. C'est la formule même de l'inertie de la matière. Par elle-même, l'étendue est indifférente au repos et au mouvement. 

2° Chaque partie de la matière, en son particulier, ne tend jamais à se mouvoir suivant des lignes courbes, mais suivant des lignes droites. 

3° Si un corps qui se meut et qui en rencontre un autre, a moins de force pour continuer de se mouvoir en ligne droite que cet autre pour lui résister, il perd de sa détermination sans rien perdre de son mouvement, et, s'il a plus de force, il meut avec soi cet autre corps et perd autant de son mouvement qu'il lui en donne.

De ces lois, Descartes déduit, en une immense construction mathématique, l'explication de tous les phénomènes, allant toujours du général au particulier. D'abord les cieux se forment; la matière s'agglomère en soleils au centre des tourbillons. Ces tourbillons se meuvent; en eux les corps se groupent suivant des rapports fixes; puis se révèlent les lois des phénomènes terrestres, de la pesanteur, de la lumière, de la chaleur. La pesanteur est un effet du mouvement ; la lumière, un mouvement des particules les plus petites de la matière; la chaleur, un mouvement encore. Enfin la même conception mécanique s'étend aux phénomènes vitaux. 

« Le corps vivant est une machine où toutes les fonctions résultent de la seule disposition des organes, ni plus ni moins que les mouvements d'une horloge ou autre automate de celle de ses contrepoids et ressorts. » (De l'Homme, Vl).